Theorem unbdqndv2 32502

Description: Variant of unbdqndv1 32499 with the hypothesis that ( ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) / ( y - x ) ) is unbounded where x <_ A and A <_ y. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
unbdqndv2.x	|- ( ph -> X C_ RR )
unbdqndv2.f	|- ( ph -> F : X --> CC )
unbdqndv2.1	|- ( ph -> A. b e. RR+ A. d e. RR+ E. x e. X E. y e. X ( ( x <_ A /\ A <_ y ) /\ ( ( y - x ) < d /\ x =/= y ) /\ b <_ ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) / ( y - x ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
unbdqndv2	|- ( ph -> -. A e. dom ( RR _D F ) )

Distinct variable groups:   A, b, d, x, y   F, b, d, x, y   X, b, d, x, y   ph, b, d, x, y

Proof of Theorem unbdqndv2

Dummy variables c w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 |- ( z e. ( X \ { A } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) / ( z - A ) ) ) = ( z e. ( X \ { A } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) / ( z - A ) ) )
2		ax-resscn 9993	. . . 4 |- RR C_ CC
3	2	a1i 11	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. dom ( RR _D F ) ) -> RR C_ CC )
4		unbdqndv2.x	. . . 4 |- ( ph -> X C_ RR )
5	4	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. dom ( RR _D F ) ) -> X C_ RR )
6		unbdqndv2.f	. . . 4 |- ( ph -> F : X --> CC )
7	6	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. dom ( RR _D F ) ) -> F : X --> CC )
8		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = ( 2 x. c ) -> ( b <_ ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) / ( y - x ) ) <-> ( 2 x. c ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) / ( y - x ) ) ) )
9	8	3anbi3d 1405	. . . . . . . . . 10 |- ( b = ( 2 x. c ) -> ( ( ( x <_ A /\ A <_ y ) /\ ( ( y - x ) < d /\ x =/= y ) /\ b <_ ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) / ( y - x ) ) ) <-> ( ( x <_ A /\ A <_ y ) /\ ( ( y - x ) < d /\ x =/= y ) /\ ( 2 x. c ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) / ( y - x ) ) ) ) )
10	9	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( b = ( 2 x. c ) -> ( E. y e. X ( ( x <_ A /\ A <_ y ) /\ ( ( y - x ) < d /\ x =/= y ) /\ b <_ ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) / ( y - x ) ) ) <-> E. y e. X ( ( x <_ A /\ A <_ y ) /\ ( ( y - x ) < d /\ x =/= y ) /\ ( 2 x. c ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) / ( y - x ) ) ) ) )
11	10	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( b = ( 2 x. c ) -> ( E. x e. X E. y e. X ( ( x <_ A /\ A <_ y ) /\ ( ( y - x ) < d /\ x =/= y ) /\ b <_ ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) / ( y - x ) ) ) <-> E. x e. X E. y e. X ( ( x <_ A /\ A <_ y ) /\ ( ( y - x ) < d /\ x =/= y ) /\ ( 2 x. c ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) / ( y - x ) ) ) ) )
12	11	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( b = ( 2 x. c ) -> ( A. d e. RR+ E. x e. X E. y e. X ( ( x <_ A /\ A <_ y ) /\ ( ( y - x ) < d /\ x =/= y ) /\ b <_ ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) / ( y - x ) ) ) <-> A. d e. RR+ E. x e. X E. y e. X ( ( x <_ A /\ A <_ y ) /\ ( ( y - x ) < d /\ x =/= y ) /\ ( 2 x. c ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) / ( y - x ) ) ) ) )
13		unbdqndv2.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. b e. RR+ A. d e. RR+ E. x e. X E. y e. X ( ( x <_ A /\ A <_ y ) /\ ( ( y - x ) < d /\ x =/= y ) /\ b <_ ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) / ( y - x ) ) ) )
14	13	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A e. dom ( RR _D F ) ) /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) -> A. b e. RR+ A. d e. RR+ E. x e. X E. y e. X ( ( x <_ A /\ A <_ y ) /\ ( ( y - x ) < d /\ x =/= y ) /\ b <_ ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) / ( y - x ) ) ) )
15		2rp 11837	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR+
16	15	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A e. dom ( RR _D F ) ) /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) -> 2 e. RR+ )
17		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A e. dom ( RR _D F ) ) /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) -> c e. RR+ )
18	16, 17	rpmulcld 11888	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A e. dom ( RR _D F ) ) /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) -> ( 2 x. c ) e. RR+ )
19	12, 14, 18	rspcdva 3316	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A e. dom ( RR _D F ) ) /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) -> A. d e. RR+ E. x e. X E. y e. X ( ( x <_ A /\ A <_ y ) /\ ( ( y - x ) < d /\ x =/= y ) /\ ( 2 x. c ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) / ( y - x ) ) ) )
20		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A e. dom ( RR _D F ) ) /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) -> d e. RR+ )
21		rsp 2929	. . . . . 6 |- ( A. d e. RR+ E. x e. X E. y e. X ( ( x <_ A /\ A <_ y ) /\ ( ( y - x ) < d /\ x =/= y ) /\ ( 2 x. c ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) / ( y - x ) ) ) -> ( d e. RR+ -> E. x e. X E. y e. X ( ( x <_ A /\ A <_ y ) /\ ( ( y - x ) < d /\ x =/= y ) /\ ( 2 x. c ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) / ( y - x ) ) ) ) )
22	19, 20, 21	sylc 65	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A e. dom ( RR _D F ) ) /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) -> E. x e. X E. y e. X ( ( x <_ A /\ A <_ y ) /\ ( ( y - x ) < d /\ x =/= y ) /\ ( 2 x. c ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) / ( y - x ) ) ) )
23		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- if ( ( c x. ( y - x ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` A ) ) ) , x , y ) = if ( ( c x. ( y - x ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` A ) ) ) , x , y )
24	5	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ A e. dom ( RR _D F ) ) /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A <_ y ) /\ ( ( y - x ) < d /\ x =/= y ) /\ ( 2 x. c ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) / ( y - x ) ) ) ) -> X C_ RR )
25	7	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ A e. dom ( RR _D F ) ) /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A <_ y ) /\ ( ( y - x ) < d /\ x =/= y ) /\ ( 2 x. c ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) / ( y - x ) ) ) ) -> F : X --> CC )
26	3, 7, 5	dvbss 23665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ A e. dom ( RR _D F ) ) -> dom ( RR _D F ) C_ X )
27		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ A e. dom ( RR _D F ) ) -> A e. dom ( RR _D F ) )
28	26, 27	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ A e. dom ( RR _D F ) ) -> A e. X )
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ A e. dom ( RR _D F ) ) /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) -> A e. X )
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ A e. dom ( RR _D F ) ) /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> A e. X )
31	30	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ A e. dom ( RR _D F ) ) /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A <_ y ) /\ ( ( y - x ) < d /\ x =/= y ) /\ ( 2 x. c ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) / ( y - x ) ) ) ) -> A e. X )
32	17	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ A e. dom ( RR _D F ) ) /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A <_ y ) /\ ( ( y - x ) < d /\ x =/= y ) /\ ( 2 x. c ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) / ( y - x ) ) ) ) -> c e. RR+ )
33	20	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ A e. dom ( RR _D F ) ) /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A <_ y ) /\ ( ( y - x ) < d /\ x =/= y ) /\ ( 2 x. c ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) / ( y - x ) ) ) ) -> d e. RR+ )
34		simplrl 800	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ A e. dom ( RR _D F ) ) /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A <_ y ) /\ ( ( y - x ) < d /\ x =/= y ) /\ ( 2 x. c ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) / ( y - x ) ) ) ) -> x e. X )
35		simplrr 801	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ A e. dom ( RR _D F ) ) /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A <_ y ) /\ ( ( y - x ) < d /\ x =/= y ) /\ ( 2 x. c ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) / ( y - x ) ) ) ) -> y e. X )
36		simpr2r 1121	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ A e. dom ( RR _D F ) ) /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A <_ y ) /\ ( ( y - x ) < d /\ x =/= y ) /\ ( 2 x. c ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) / ( y - x ) ) ) ) -> x =/= y )
37		simpr1l 1118	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ A e. dom ( RR _D F ) ) /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A <_ y ) /\ ( ( y - x ) < d /\ x =/= y ) /\ ( 2 x. c ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) / ( y - x ) ) ) ) -> x <_ A )
38		simpr1r 1119	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ A e. dom ( RR _D F ) ) /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A <_ y ) /\ ( ( y - x ) < d /\ x =/= y ) /\ ( 2 x. c ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) / ( y - x ) ) ) ) -> A <_ y )
39		simpr2l 1120	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ A e. dom ( RR _D F ) ) /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A <_ y ) /\ ( ( y - x ) < d /\ x =/= y ) /\ ( 2 x. c ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) / ( y - x ) ) ) ) -> ( y - x ) < d )
40		simpr3 1069	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ A e. dom ( RR _D F ) ) /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A <_ y ) /\ ( ( y - x ) < d /\ x =/= y ) /\ ( 2 x. c ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) / ( y - x ) ) ) ) -> ( 2 x. c ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) / ( y - x ) ) )
41	1, 23, 24, 25, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40	unbdqndv2lem2 32501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ A e. dom ( RR _D F ) ) /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A <_ y ) /\ ( ( y - x ) < d /\ x =/= y ) /\ ( 2 x. c ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) / ( y - x ) ) ) ) -> ( if ( ( c x. ( y - x ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` A ) ) ) , x , y ) e. ( X \ { A } ) /\ ( ( abs ` ( if ( ( c x. ( y - x ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` A ) ) ) , x , y ) - A ) ) < d /\ c <_ ( abs ` ( ( z e. ( X \ { A } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) / ( z - A ) ) ) ` if ( ( c x. ( y - x ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` A ) ) ) , x , y ) ) ) ) ) )
42	41	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ A e. dom ( RR _D F ) ) /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A <_ y ) /\ ( ( y - x ) < d /\ x =/= y ) /\ ( 2 x. c ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) / ( y - x ) ) ) ) -> if ( ( c x. ( y - x ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` A ) ) ) , x , y ) e. ( X \ { A } ) )
43		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = if ( ( c x. ( y - x ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` A ) ) ) , x , y ) -> ( w - A ) = ( if ( ( c x. ( y - x ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` A ) ) ) , x , y ) - A ) )
44	43	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = if ( ( c x. ( y - x ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` A ) ) ) , x , y ) -> ( abs ` ( w - A ) ) = ( abs ` ( if ( ( c x. ( y - x ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` A ) ) ) , x , y ) - A ) ) )
45	44	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( w = if ( ( c x. ( y - x ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` A ) ) ) , x , y ) -> ( ( abs ` ( w - A ) ) < d <-> ( abs ` ( if ( ( c x. ( y - x ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` A ) ) ) , x , y ) - A ) ) < d ) )
46		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = if ( ( c x. ( y - x ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` A ) ) ) , x , y ) -> ( ( z e. ( X \ { A } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) / ( z - A ) ) ) ` w ) = ( ( z e. ( X \ { A } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) / ( z - A ) ) ) ` if ( ( c x. ( y - x ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` A ) ) ) , x , y ) ) )
47	46	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = if ( ( c x. ( y - x ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` A ) ) ) , x , y ) -> ( abs ` ( ( z e. ( X \ { A } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) / ( z - A ) ) ) ` w ) ) = ( abs ` ( ( z e. ( X \ { A } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) / ( z - A ) ) ) ` if ( ( c x. ( y - x ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` A ) ) ) , x , y ) ) ) )
48	47	breq2d 4665	. . . . . . . . . 10 |- ( w = if ( ( c x. ( y - x ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` A ) ) ) , x , y ) -> ( c <_ ( abs ` ( ( z e. ( X \ { A } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) / ( z - A ) ) ) ` w ) ) <-> c <_ ( abs ` ( ( z e. ( X \ { A } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) / ( z - A ) ) ) ` if ( ( c x. ( y - x ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` A ) ) ) , x , y ) ) ) ) )
49	45, 48	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( w = if ( ( c x. ( y - x ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` A ) ) ) , x , y ) -> ( ( ( abs ` ( w - A ) ) < d /\ c <_ ( abs ` ( ( z e. ( X \ { A } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) / ( z - A ) ) ) ` w ) ) ) <-> ( ( abs ` ( if ( ( c x. ( y - x ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` A ) ) ) , x , y ) - A ) ) < d /\ c <_ ( abs ` ( ( z e. ( X \ { A } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) / ( z - A ) ) ) ` if ( ( c x. ( y - x ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` A ) ) ) , x , y ) ) ) ) ) )
50	49	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ A e. dom ( RR _D F ) ) /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A <_ y ) /\ ( ( y - x ) < d /\ x =/= y ) /\ ( 2 x. c ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) / ( y - x ) ) ) ) /\ w = if ( ( c x. ( y - x ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` A ) ) ) , x , y ) ) -> ( ( ( abs ` ( w - A ) ) < d /\ c <_ ( abs ` ( ( z e. ( X \ { A } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) / ( z - A ) ) ) ` w ) ) ) <-> ( ( abs ` ( if ( ( c x. ( y - x ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` A ) ) ) , x , y ) - A ) ) < d /\ c <_ ( abs ` ( ( z e. ( X \ { A } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) / ( z - A ) ) ) ` if ( ( c x. ( y - x ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` A ) ) ) , x , y ) ) ) ) ) )
51	41	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ A e. dom ( RR _D F ) ) /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A <_ y ) /\ ( ( y - x ) < d /\ x =/= y ) /\ ( 2 x. c ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) / ( y - x ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( if ( ( c x. ( y - x ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` A ) ) ) , x , y ) - A ) ) < d /\ c <_ ( abs ` ( ( z e. ( X \ { A } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) / ( z - A ) ) ) ` if ( ( c x. ( y - x ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` x ) - ( F ` A ) ) ) , x , y ) ) ) ) )
52	42, 50, 51	rspcedvd 3317	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ A e. dom ( RR _D F ) ) /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) /\ ( ( x <_ A /\ A <_ y ) /\ ( ( y - x ) < d /\ x =/= y ) /\ ( 2 x. c ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) / ( y - x ) ) ) ) -> E. w e. ( X \ { A } ) ( ( abs ` ( w - A ) ) < d /\ c <_ ( abs ` ( ( z e. ( X \ { A } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) / ( z - A ) ) ) ` w ) ) ) )
53	52	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ A e. dom ( RR _D F ) ) /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( ( x <_ A /\ A <_ y ) /\ ( ( y - x ) < d /\ x =/= y ) /\ ( 2 x. c ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) / ( y - x ) ) ) -> E. w e. ( X \ { A } ) ( ( abs ` ( w - A ) ) < d /\ c <_ ( abs ` ( ( z e. ( X \ { A } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) / ( z - A ) ) ) ` w ) ) ) ) )
54	53	rexlimdvva 3038	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A e. dom ( RR _D F ) ) /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) -> ( E. x e. X E. y e. X ( ( x <_ A /\ A <_ y ) /\ ( ( y - x ) < d /\ x =/= y ) /\ ( 2 x. c ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` x ) ) ) / ( y - x ) ) ) -> E. w e. ( X \ { A } ) ( ( abs ` ( w - A ) ) < d /\ c <_ ( abs ` ( ( z e. ( X \ { A } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) / ( z - A ) ) ) ` w ) ) ) ) )
55	22, 54	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A e. dom ( RR _D F ) ) /\ ( c e. RR+ /\ d e. RR+ ) ) -> E. w e. ( X \ { A } ) ( ( abs ` ( w - A ) ) < d /\ c <_ ( abs ` ( ( z e. ( X \ { A } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) / ( z - A ) ) ) ` w ) ) ) )
56	55	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. dom ( RR _D F ) ) -> A. c e. RR+ A. d e. RR+ E. w e. ( X \ { A } ) ( ( abs ` ( w - A ) ) < d /\ c <_ ( abs ` ( ( z e. ( X \ { A } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) / ( z - A ) ) ) ` w ) ) ) )
57	1, 3, 5, 7, 56	unbdqndv1 32499	. 2 |- ( ( ph /\ A e. dom ( RR _D F ) ) -> -. A e. dom ( RR _D F ) )
58	57	pm2.01da 458	1 |- ( ph -> -. A e. dom ( RR _D F ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832   abscabs 13974   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-cnp 21032  df-xms 22125  df-ms 22126  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  knoppndv  32525