Theorem unbdqndv1 32499

Description: If the difference quotient ( ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) / ( z - A ) ) is unbounded near A then F is not differentiable at A. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
unbdqndv1.g	|- G = ( z e. ( X \ { A } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) / ( z - A ) ) )
unbdqndv1.1	|- ( ph -> S C_ CC )
unbdqndv1.2	|- ( ph -> X C_ S )
unbdqndv1.3	|- ( ph -> F : X --> CC )
unbdqndv1.4	|- ( ph -> A. b e. RR+ A. d e. RR+ E. x e. ( X \ { A } ) ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ b <_ ( abs ` ( G ` x ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
unbdqndv1	|- ( ph -> -. A e. dom ( S _D F ) )

Distinct variable groups:   A, b, d, x   z, A   F, b, d, x   z, F   G, b, d, x   S, b, d, x   z, S   X, b, d, x   z, X   ph, b, d, x   ph, z

Allowed substitution hint:   G( z)

Proof of Theorem unbdqndv1

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3919	. . . . . . . 8 |- -. y e. (/)
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A e. dom ( S _D F ) ) -> -. y e. (/) )
3		unbdqndv1.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X C_ S )
4		unbdqndv1.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S C_ CC )
5	3, 4	sstrd 3613	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X C_ CC )
6	5	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ A e. dom ( S _D F ) ) -> X C_ CC )
7	6	ssdifssd 3748	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A e. dom ( S _D F ) ) -> ( X \ { A } ) C_ CC )
8		unbdqndv1.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : X --> CC )
9	8	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ A e. dom ( S _D F ) ) -> F : X --> CC )
10	4, 8, 3	dvbss 23665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom ( S _D F ) C_ X )
11	10	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ A e. dom ( S _D F ) ) -> A e. X )
12	9, 6, 11	dvlem 23660	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A e. dom ( S _D F ) ) /\ z e. ( X \ { A } ) ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) / ( z - A ) ) e. CC )
13		unbdqndv1.g	. . . . . . . . 9 |- G = ( z e. ( X \ { A } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) / ( z - A ) ) )
14	12, 13	fmptd 6385	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A e. dom ( S _D F ) ) -> G : ( X \ { A } ) --> CC )
15	6, 11	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A e. dom ( S _D F ) ) -> A e. CC )
16		unbdqndv1.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. b e. RR+ A. d e. RR+ E. x e. ( X \ { A } ) ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ b <_ ( abs ` ( G ` x ) ) ) )
17	16	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A e. dom ( S _D F ) ) -> A. b e. RR+ A. d e. RR+ E. x e. ( X \ { A } ) ( ( abs ` ( x - A ) ) < d /\ b <_ ( abs ` ( G ` x ) ) ) )
18	7, 14, 15, 17	unblimceq0 32498	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A e. dom ( S _D F ) ) -> ( G lim CC A ) = (/) )
19	2, 18	neleqtrrd 2723	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A e. dom ( S _D F ) ) -> -. y e. ( G lim CC A ) )
20	19	intnand 962	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A e. dom ( S _D F ) ) -> -. ( A e. ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` X ) /\ y e. ( G lim CC A ) ) )
21		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S )
22		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
23	21, 22, 13, 4, 8, 3	eldv 23662	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ( S _D F ) y <-> ( A e. ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` X ) /\ y e. ( G lim CC A ) ) ) )
24	23	notbid 308	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -. A ( S _D F ) y <-> -. ( A e. ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` X ) /\ y e. ( G lim CC A ) ) ) )
25	24	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A e. dom ( S _D F ) ) -> ( -. A ( S _D F ) y <-> -. ( A e. ( ( int ` ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t S ) ) ` X ) /\ y e. ( G lim CC A ) ) ) )
26	20, 25	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. dom ( S _D F ) ) -> -. A ( S _D F ) y )
27	26	alrimiv 1855	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. dom ( S _D F ) ) -> A. y -. A ( S _D F ) y )
28		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A e. dom ( S _D F ) ) -> A e. dom ( S _D F ) )
29		eldmg 5319	. . . . . 6 |- ( A e. dom ( S _D F ) -> ( A e. dom ( S _D F ) <-> E. y A ( S _D F ) y ) )
30	28, 29	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A e. dom ( S _D F ) ) -> ( A e. dom ( S _D F ) <-> E. y A ( S _D F ) y ) )
31	30	notbid 308	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. dom ( S _D F ) ) -> ( -. A e. dom ( S _D F ) <-> -. E. y A ( S _D F ) y ) )
32		alnex 1706	. . . . . 6 |- ( A. y -. A ( S _D F ) y <-> -. E. y A ( S _D F ) y )
33	32	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A e. dom ( S _D F ) ) -> ( A. y -. A ( S _D F ) y <-> -. E. y A ( S _D F ) y ) )
34	33	bicomd 213	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. dom ( S _D F ) ) -> ( -. E. y A ( S _D F ) y <-> A. y -. A ( S _D F ) y ) )
35	31, 34	bitrd 268	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. dom ( S _D F ) ) -> ( -. A e. dom ( S _D F ) <-> A. y -. A ( S _D F ) y ) )
36	27, 35	mpbird 247	. 2 |- ( ( ph /\ A e. dom ( S _D F ) ) -> -. A e. dom ( S _D F ) )
37	36	pm2.01da 458	1 |- ( ph -> -. A e. dom ( S _D F ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   RR+crp 11832   abscabs 13974   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746   intcnt 20821   lim CC climc 23626   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-cnp 21032  df-xms 22125  df-ms 22126  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  unbdqndv2  32502