Theorem unbdqndv2lem2 32501

Description: Lemma for unbdqndv2 32502. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
unbdqndv2lem2.g	|- G = ( z e. ( X \ { A } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) / ( z - A ) ) )
unbdqndv2lem2.w	|- W = if ( ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) , U , V )
unbdqndv2lem2.x	|- ( ph -> X C_ RR )
unbdqndv2lem2.f	|- ( ph -> F : X --> CC )
unbdqndv2lem2.a	|- ( ph -> A e. X )
unbdqndv2lem2.b	|- ( ph -> B e. RR+ )
unbdqndv2lem2.d	|- ( ph -> D e. RR+ )
unbdqndv2lem2.u	|- ( ph -> U e. X )
unbdqndv2lem2.v	|- ( ph -> V e. X )
unbdqndv2lem2.1	|- ( ph -> U =/= V )
unbdqndv2lem2.2	|- ( ph -> U <_ A )
unbdqndv2lem2.3	|- ( ph -> A <_ V )
unbdqndv2lem2.4	|- ( ph -> ( V - U ) < D )
unbdqndv2lem2.5	|- ( ph -> ( 2 x. B ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` V ) - ( F ` U ) ) ) / ( V - U ) ) )

Assertion

Ref	Expression
unbdqndv2lem2	|- ( ph -> ( W e. ( X \ { A } ) /\ ( ( abs ` ( W - A ) ) < D /\ B <_ ( abs ` ( G ` W ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   z, A   z, B   z, F   z, U   z, V   z, X   ph, z

Allowed substitution hints:   D( z)   G( z)   W( z)

Proof of Theorem unbdqndv2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unbdqndv2lem2.w	. . . . . 6 |- W = if ( ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) , U , V )
2	1	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> W = if ( ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) , U , V ) )
3		iftrue 4092	. . . . . 6 |- ( ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) -> if ( ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) , U , V ) = U )
4	3	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> if ( ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) , U , V ) = U )
5	2, 4	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> W = U )
6		unbdqndv2lem2.u	. . . . . . 7 |- ( ph -> U e. X )
7	6	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> U e. X )
8		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) /\ U = A ) -> ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) )
9		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U = A -> ( F ` U ) = ( F ` A ) )
10	9	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U = A -> ( F ` A ) = ( F ` U ) )
11	10	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U = A -> ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) = ( ( F ` U ) - ( F ` U ) ) )
12	11	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U = A -> ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` U ) ) ) )
13	12	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ U = A ) -> ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` U ) ) ) )
14		unbdqndv2lem2.f	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F : X --> CC )
15	14, 6	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( F ` U ) e. CC )
16	15	subidd 10380	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( F ` U ) - ( F ` U ) ) = 0 )
17	16	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` U ) ) ) = ( abs ` 0 ) )
18	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ U = A ) -> ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` U ) ) ) = ( abs ` 0 ) )
19		abs0 14025	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( abs ` 0 ) = 0
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ U = A ) -> ( abs ` 0 ) = 0 )
21	18, 20	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ U = A ) -> ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` U ) ) ) = 0 )
22	13, 21	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ U = A ) -> ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) = 0 )
23	22	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) /\ U = A ) -> ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) = 0 )
24	8, 23	breqtrd 4679	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) /\ U = A ) -> ( B x. ( V - U ) ) <_ 0 )
25		unbdqndv2lem2.b	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. RR+ )
26	25	rpred 11872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. RR )
27		unbdqndv2lem2.x	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> X C_ RR )
28		unbdqndv2lem2.v	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> V e. X )
29	27, 28	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> V e. RR )
30	27, 6	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U e. RR )
31	29, 30	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( V - U ) e. RR )
32	25	rpgt0d 11875	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < B )
33		unbdqndv2lem2.a	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A e. X )
34	27, 33	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A e. RR )
35		unbdqndv2lem2.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> U <_ A )
36		unbdqndv2lem2.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A <_ V )
37	30, 34, 29, 35, 36	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> U <_ V )
38		unbdqndv2lem2.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> U =/= V )
39	38	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> V =/= U )
40	30, 29, 37, 39	leneltd 10191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U < V )
41	30, 29	posdifd 10614	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( U < V <-> 0 < ( V - U ) ) )
42	40, 41	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < ( V - U ) )
43	26, 31, 32, 42	mulgt0d 10192	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < ( B x. ( V - U ) ) )
44		0red 10041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 e. RR )
45	26, 31	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B x. ( V - U ) ) e. RR )
46	44, 45	ltnled 10184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 0 < ( B x. ( V - U ) ) <-> -. ( B x. ( V - U ) ) <_ 0 ) )
47	43, 46	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -. ( B x. ( V - U ) ) <_ 0 )
48	47	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> -. ( B x. ( V - U ) ) <_ 0 )
49	48	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) /\ U = A ) -> -. ( B x. ( V - U ) ) <_ 0 )
50	24, 49	pm2.65da 600	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> -. U = A )
51	50	neqned 2801	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> U =/= A )
52	7, 51	jca 554	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( U e. X /\ U =/= A ) )
53		eldifsn 4317	. . . . 5 |- ( U e. ( X \ { A } ) <-> ( U e. X /\ U =/= A ) )
54	52, 53	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> U e. ( X \ { A } ) )
55	5, 54	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> W e. ( X \ { A } ) )
56	5	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( W - A ) = ( U - A ) )
57	56	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( abs ` ( W - A ) ) = ( abs ` ( U - A ) ) )
58	30, 34, 35	abssuble0d 14171	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( U - A ) ) = ( A - U ) )
59	58	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( abs ` ( U - A ) ) = ( A - U ) )
60	57, 59	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( abs ` ( W - A ) ) = ( A - U ) )
61	34, 30	resubcld 10458	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A - U ) e. RR )
62		unbdqndv2lem2.d	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D e. RR+ )
63	62	rpred 11872	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. RR )
64	34, 29, 30, 36	lesub1dd 10643	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A - U ) <_ ( V - U ) )
65		unbdqndv2lem2.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( V - U ) < D )
66	61, 31, 63, 64, 65	lelttrd 10195	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A - U ) < D )
67	66	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( A - U ) < D )
68	60, 67	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( abs ` ( W - A ) ) < D )
69	26, 61	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B x. ( A - U ) ) e. RR )
70	69	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( B x. ( A - U ) ) e. RR )
71	45	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( B x. ( V - U ) ) e. RR )
72	14, 33	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ` A ) e. CC )
73	15, 72	subcld 10392	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) e. CC )
74	73	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) e. RR )
75	74	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) e. RR )
76	44, 26, 32	ltled 10185	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ B )
77	61, 31, 26, 76, 64	lemul2ad 10964	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B x. ( A - U ) ) <_ ( B x. ( V - U ) ) )
78	77	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( B x. ( A - U ) ) <_ ( B x. ( V - U ) ) )
79		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) )
80	70, 71, 75, 78, 79	letrd 10194	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( B x. ( A - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) )
81	26	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> B e. RR )
82	61	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( A - U ) e. RR )
83	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> U <_ A )
84	51	necomd 2849	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> A =/= U )
85	83, 84	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( U <_ A /\ A =/= U ) )
86	30, 34	ltlend 10182	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( U < A <-> ( U <_ A /\ A =/= U ) ) )
87	86	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( U < A <-> ( U <_ A /\ A =/= U ) ) )
88	85, 87	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> U < A )
89	30, 34	posdifd 10614	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( U < A <-> 0 < ( A - U ) ) )
90	89	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( U < A <-> 0 < ( A - U ) ) )
91	88, 90	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> 0 < ( A - U ) )
92	82, 91	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( ( A - U ) e. RR /\ 0 < ( A - U ) ) )
93		elrp 11834	. . . . . . . 8 |- ( ( A - U ) e. RR+ <-> ( ( A - U ) e. RR /\ 0 < ( A - U ) ) )
94	92, 93	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( A - U ) e. RR+ )
95	81, 75, 94	lemuldivd 11921	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( ( B x. ( A - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) <-> B <_ ( ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) / ( A - U ) ) ) )
96	80, 95	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> B <_ ( ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) / ( A - U ) ) )
97	5	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( G ` W ) = ( G ` U ) )
98		unbdqndv2lem2.g	. . . . . . . . . . 11 |- G = ( z e. ( X \ { A } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) / ( z - A ) ) )
99	98	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> G = ( z e. ( X \ { A } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) / ( z - A ) ) ) )
100		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = U -> ( F ` z ) = ( F ` U ) )
101	100	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = U -> ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) = ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) )
102		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = U -> ( z - A ) = ( U - A ) )
103	101, 102	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = U -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) / ( z - A ) ) = ( ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) / ( U - A ) ) )
104	103	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) /\ z = U ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) / ( z - A ) ) = ( ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) / ( U - A ) ) )
105		ovexd 6680	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) / ( U - A ) ) e. _V )
106	99, 104, 54, 105	fvmptd 6288	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( G ` U ) = ( ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) / ( U - A ) ) )
107	97, 106	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( G ` W ) = ( ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) / ( U - A ) ) )
108	107	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( abs ` ( G ` W ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) / ( U - A ) ) ) )
109	73	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) e. CC )
110	30	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U e. CC )
111	34	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. CC )
112	110, 111	subcld 10392	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( U - A ) e. CC )
113	112	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( U - A ) e. CC )
114	110	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> U e. CC )
115	111	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> A e. CC )
116	114, 115, 51	subne0d 10401	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( U - A ) =/= 0 )
117	109, 113, 116	absdivd 14194	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) / ( U - A ) ) ) = ( ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) / ( abs ` ( U - A ) ) ) )
118	59	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) / ( abs ` ( U - A ) ) ) = ( ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) / ( A - U ) ) )
119	117, 118	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) / ( U - A ) ) ) = ( ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) / ( A - U ) ) )
120	108, 119	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( abs ` ( G ` W ) ) = ( ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) / ( A - U ) ) )
121	120	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) / ( A - U ) ) = ( abs ` ( G ` W ) ) )
122	96, 121	breqtrd 4679	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> B <_ ( abs ` ( G ` W ) ) )
123	68, 122	jca 554	. . 3 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( W - A ) ) < D /\ B <_ ( abs ` ( G ` W ) ) ) )
124	55, 123	jca 554	. 2 |- ( ( ph /\ ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( W e. ( X \ { A } ) /\ ( ( abs ` ( W - A ) ) < D /\ B <_ ( abs ` ( G ` W ) ) ) ) )
125	1	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> W = if ( ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) , U , V ) )
126		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) )
127	126	iffalsed 4097	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> if ( ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) , U , V ) = V )
128	125, 127	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> W = V )
129	28	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> V e. X )
130	30, 29, 37	abssubge0d 14170	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( abs ` ( V - U ) ) = ( V - U ) )
131	130	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( B x. ( abs ` ( V - U ) ) ) = ( B x. ( V - U ) ) )
132	131	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( B x. ( abs ` ( V - U ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) <-> ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) )
133	132	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( ( B x. ( abs ` ( V - U ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) <-> ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) )
134	126, 133	mtbird 315	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> -. ( B x. ( abs ` ( V - U ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) )
135	14, 28	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( F ` V ) e. CC )
136	31	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( V - U ) e. CC )
137	44, 42	gtned 10172	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( V - U ) =/= 0 )
138		unbdqndv2lem2.5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 2 x. B ) <_ ( ( abs ` ( ( F ` V ) - ( F ` U ) ) ) / ( V - U ) ) )
139	135, 15	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( F ` V ) - ( F ` U ) ) e. CC )
140	139, 136, 137	absdivd 14194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( F ` V ) - ( F ` U ) ) / ( V - U ) ) ) = ( ( abs ` ( ( F ` V ) - ( F ` U ) ) ) / ( abs ` ( V - U ) ) ) )
141	130	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( F ` V ) - ( F ` U ) ) ) / ( abs ` ( V - U ) ) ) = ( ( abs ` ( ( F ` V ) - ( F ` U ) ) ) / ( V - U ) ) )
142	140, 141	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( F ` V ) - ( F ` U ) ) / ( V - U ) ) ) = ( ( abs ` ( ( F ` V ) - ( F ` U ) ) ) / ( V - U ) ) )
143	142	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( F ` V ) - ( F ` U ) ) ) / ( V - U ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` V ) - ( F ` U ) ) / ( V - U ) ) ) )
144	138, 143	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 x. B ) <_ ( abs ` ( ( ( F ` V ) - ( F ` U ) ) / ( V - U ) ) ) )
145	135, 15, 72, 136, 25, 137, 144	unbdqndv2lem1 32500	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( B x. ( abs ` ( V - U ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` V ) - ( F ` A ) ) ) \/ ( B x. ( abs ` ( V - U ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) )
146	145	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( ( B x. ( abs ` ( V - U ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` V ) - ( F ` A ) ) ) \/ ( B x. ( abs ` ( V - U ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) )
147		orel2 398	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( B x. ( abs ` ( V - U ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) -> ( ( ( B x. ( abs ` ( V - U ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` V ) - ( F ` A ) ) ) \/ ( B x. ( abs ` ( V - U ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( B x. ( abs ` ( V - U ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` V ) - ( F ` A ) ) ) ) )
148	134, 146, 147	sylc 65	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( B x. ( abs ` ( V - U ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` V ) - ( F ` A ) ) ) )
149	148	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) /\ V = A ) -> ( B x. ( abs ` ( V - U ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` V ) - ( F ` A ) ) ) )
150		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( V = A -> ( F ` V ) = ( F ` A ) )
151	150	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( V = A -> ( ( F ` V ) - ( F ` A ) ) = ( ( F ` A ) - ( F ` A ) ) )
152	151	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ V = A ) -> ( ( F ` V ) - ( F ` A ) ) = ( ( F ` A ) - ( F ` A ) ) )
153	72	subidd 10380	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( F ` A ) - ( F ` A ) ) = 0 )
154	153	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ V = A ) -> ( ( F ` A ) - ( F ` A ) ) = 0 )
155	152, 154	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ V = A ) -> ( ( F ` V ) - ( F ` A ) ) = 0 )
156	155	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ V = A ) -> ( abs ` ( ( F ` V ) - ( F ` A ) ) ) = ( abs ` 0 ) )
157	19	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ V = A ) -> ( abs ` 0 ) = 0 )
158	156, 157	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ V = A ) -> ( abs ` ( ( F ` V ) - ( F ` A ) ) ) = 0 )
159	158	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) /\ V = A ) -> ( abs ` ( ( F ` V ) - ( F ` A ) ) ) = 0 )
160	149, 159	breqtrd 4679	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) /\ V = A ) -> ( B x. ( abs ` ( V - U ) ) ) <_ 0 )
161	131	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( B x. ( abs ` ( V - U ) ) ) <_ 0 <-> ( B x. ( V - U ) ) <_ 0 ) )
162	47, 161	mtbird 315	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -. ( B x. ( abs ` ( V - U ) ) ) <_ 0 )
163	162	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> -. ( B x. ( abs ` ( V - U ) ) ) <_ 0 )
164	163	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) /\ V = A ) -> -. ( B x. ( abs ` ( V - U ) ) ) <_ 0 )
165	160, 164	pm2.65da 600	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> -. V = A )
166	165	neqned 2801	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> V =/= A )
167	129, 166	jca 554	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( V e. X /\ V =/= A ) )
168		eldifsn 4317	. . . . 5 |- ( V e. ( X \ { A } ) <-> ( V e. X /\ V =/= A ) )
169	167, 168	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> V e. ( X \ { A } ) )
170	128, 169	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> W e. ( X \ { A } ) )
171	128	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( W - A ) = ( V - A ) )
172	171	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( abs ` ( W - A ) ) = ( abs ` ( V - A ) ) )
173	34, 29, 36	abssubge0d 14170	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( V - A ) ) = ( V - A ) )
174	173	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( abs ` ( V - A ) ) = ( V - A ) )
175	172, 174	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( abs ` ( W - A ) ) = ( V - A ) )
176	29, 34	resubcld 10458	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( V - A ) e. RR )
177	30, 34, 29, 35	lesub2dd 10644	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( V - A ) <_ ( V - U ) )
178	176, 31, 63, 177, 65	lelttrd 10195	. . . . . 6 |- ( ph -> ( V - A ) < D )
179	178	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( V - A ) < D )
180	175, 179	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( abs ` ( W - A ) ) < D )
181	173, 176	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` ( V - A ) ) e. RR )
182	26, 181	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B x. ( abs ` ( V - A ) ) ) e. RR )
183	182	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( B x. ( abs ` ( V - A ) ) ) e. RR )
184	131, 45	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B x. ( abs ` ( V - U ) ) ) e. RR )
185	184	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( B x. ( abs ` ( V - U ) ) ) e. RR )
186	135, 72	subcld 10392	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ` V ) - ( F ` A ) ) e. CC )
187	186	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` ( ( F ` V ) - ( F ` A ) ) ) e. RR )
188	187	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` V ) - ( F ` A ) ) ) e. RR )
189	130, 31	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` ( V - U ) ) e. RR )
190	177, 173, 130	3brtr4d 4685	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` ( V - A ) ) <_ ( abs ` ( V - U ) ) )
191	181, 189, 26, 76, 190	lemul2ad 10964	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B x. ( abs ` ( V - A ) ) ) <_ ( B x. ( abs ` ( V - U ) ) ) )
192	191	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( B x. ( abs ` ( V - A ) ) ) <_ ( B x. ( abs ` ( V - U ) ) ) )
193	183, 185, 188, 192, 148	letrd 10194	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( B x. ( abs ` ( V - A ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` V ) - ( F ` A ) ) ) )
194	26	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> B e. RR )
195	176	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( V - A ) e. CC )
196	195	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( V - A ) e. CC )
197	29	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> V e. CC )
198	197	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> V e. CC )
199	111	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> A e. CC )
200	198, 199, 166	subne0d 10401	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( V - A ) =/= 0 )
201	196, 200	absrpcld 14187	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( abs ` ( V - A ) ) e. RR+ )
202	194, 188, 201	lemuldivd 11921	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( ( B x. ( abs ` ( V - A ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` V ) - ( F ` A ) ) ) <-> B <_ ( ( abs ` ( ( F ` V ) - ( F ` A ) ) ) / ( abs ` ( V - A ) ) ) ) )
203	193, 202	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> B <_ ( ( abs ` ( ( F ` V ) - ( F ` A ) ) ) / ( abs ` ( V - A ) ) ) )
204	128	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( G ` W ) = ( G ` V ) )
205	98	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> G = ( z e. ( X \ { A } ) |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) / ( z - A ) ) ) )
206		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = V -> ( F ` z ) = ( F ` V ) )
207	206	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = V -> ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) = ( ( F ` V ) - ( F ` A ) ) )
208		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = V -> ( z - A ) = ( V - A ) )
209	207, 208	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = V -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) / ( z - A ) ) = ( ( ( F ` V ) - ( F ` A ) ) / ( V - A ) ) )
210	209	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) /\ z = V ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` A ) ) / ( z - A ) ) = ( ( ( F ` V ) - ( F ` A ) ) / ( V - A ) ) )
211		ovexd 6680	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( ( ( F ` V ) - ( F ` A ) ) / ( V - A ) ) e. _V )
212	205, 210, 169, 211	fvmptd 6288	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( G ` V ) = ( ( ( F ` V ) - ( F ` A ) ) / ( V - A ) ) )
213	204, 212	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( G ` W ) = ( ( ( F ` V ) - ( F ` A ) ) / ( V - A ) ) )
214	213	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( abs ` ( G ` W ) ) = ( abs ` ( ( ( F ` V ) - ( F ` A ) ) / ( V - A ) ) ) )
215	186	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( ( F ` V ) - ( F ` A ) ) e. CC )
216	215, 196, 200	absdivd 14194	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( F ` V ) - ( F ` A ) ) / ( V - A ) ) ) = ( ( abs ` ( ( F ` V ) - ( F ` A ) ) ) / ( abs ` ( V - A ) ) ) )
217	214, 216	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( abs ` ( G ` W ) ) = ( ( abs ` ( ( F ` V ) - ( F ` A ) ) ) / ( abs ` ( V - A ) ) ) )
218	217	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` V ) - ( F ` A ) ) ) / ( abs ` ( V - A ) ) ) = ( abs ` ( G ` W ) ) )
219	203, 218	breqtrd 4679	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> B <_ ( abs ` ( G ` W ) ) )
220	180, 219	jca 554	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( W - A ) ) < D /\ B <_ ( abs ` ( G ` W ) ) ) )
221	170, 220	jca 554	. 2 |- ( ( ph /\ -. ( B x. ( V - U ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` U ) - ( F ` A ) ) ) ) -> ( W e. ( X \ { A } ) /\ ( ( abs ` ( W - A ) ) < D /\ B <_ ( abs ` ( G ` W ) ) ) ) )
222	124, 221	pm2.61dan 832	1 |- ( ph -> ( W e. ( X \ { A } ) /\ ( ( abs ` ( W - A ) ) < D /\ B <_ ( abs ` ( G ` W ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832   abscabs 13974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976

This theorem is referenced by:  unbdqndv2  32502