Theorem rpmulcld 11888

Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )
rpaddcld.1	|- ( ph -> B e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rpmulcld	|- ( ph -> ( A x. B ) e. RR+ )

Proof of Theorem rpmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR+ )
2		rpaddcld.1	. 2 |- ( ph -> B e. RR+ )
3		rpmulcl 11855	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( A x. B ) e. RR+ )
4	1, 2, 3	syl2anc 693	1 |- ( ph -> ( A x. B ) e. RR+ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   x. cmul 9941   RR+crp 11832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-rp 11833

This theorem is referenced by:  reccn2  14327  eirrlem  14932  nrginvrcnlem  22495  ovolscalem1  23281  itg2gt0  23527  aaliou3lem1  24097  aaliou3lem2  24098  aaliou3lem8  24100  cosordlem  24277  logcnlem2  24389  cxp2limlem  24702  lgamgulmlem3  24757  lgamgulmlem4  24758  lgamgulmlem5  24759  lgamgulmlem6  24760  lgsquadlem2  25106  chtppilimlem1  25162  chtppilim  25164  chebbnd2  25166  chto1lb  25167  rplogsumlem1  25173  dchrvmasumlem1  25184  chpdifbndlem1  25242  chpdifbndlem2  25243  selberg3lem1  25246  selberg4lem1  25249  selberg4  25250  pntrlog2bndlem2  25267  pntrlog2bndlem3  25268  pntrlog2bndlem4  25269  pntrlog2bndlem5  25270  pntpbnd2  25276  pntlemd  25283  pntlema  25285  pntlemb  25286  pntlemq  25290  pntlemr  25291  pntlemj  25292  pntlemf  25294  pntlemo  25296  pntlem3  25298  pntleml  25300  pnt  25303  ttgcontlem1  25765  2sqmod  29648  hgt750leme  30736  faclimlem1  31629  faclimlem3  31631  faclim  31632  unbdqndv2  32502  knoppndvlem17  32519  rrndstprj2  33630  pellfund14  37462  0ellimcdiv  39881  wallispilem3  40284  wallispilem4  40285  wallispi  40287  wallispi2lem1  40288  stirlinglem2  40292  stirlinglem3  40293  stirlinglem4  40294  stirlinglem6  40296  stirlinglem7  40297  stirlinglem10  40300  stirlinglem11  40301  stirlinglem12  40302  stirlinglem13  40303  stirlinglem14  40304  stirlinglem15  40305  stirlingr  40307  dirkertrigeqlem1  40315  dirkercncflem1  40320  dirkercncflem4  40323  hoiqssbllem1  40836  hoiqssbllem2  40837  hoiqssbllem3  40838  amgmwlem  42548  amgmw2d  42550