Theorem vdwlem12 15696

Description: Lemma for vdw 15698. K = 2 base case of induction. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdw.r	|- ( ph -> R e. Fin )
vdwlem12.f	|- ( ph -> F : ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) --> R )
vdwlem12.2	|- ( ph -> -. 2 MonoAP F )

Assertion

Ref	Expression
vdwlem12	|- -. ph

Proof of Theorem vdwlem12

Dummy variables a c d w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdw.r	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. Fin )
2		hashcl 13147	. . . . . . 7 |- ( R e. Fin -> ( # ` R ) e. NN0 )
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( # ` R ) e. NN0 )
4	3	nn0red 11352	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` R ) e. RR )
5	4	ltp1d 10954	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` R ) < ( ( # ` R ) + 1 ) )
6		nn0p1nn 11332	. . . . . . 7 |- ( ( # ` R ) e. NN0 -> ( ( # ` R ) + 1 ) e. NN )
7	3, 6	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( # ` R ) + 1 ) e. NN )
8	7	nnnn0d 11351	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( # ` R ) + 1 ) e. NN0 )
9		hashfz1 13134	. . . . 5 |- ( ( ( # ` R ) + 1 ) e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) = ( ( # ` R ) + 1 ) )
10	8, 9	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) = ( ( # ` R ) + 1 ) )
11	5, 10	breqtrrd 4681	. . 3 |- ( ph -> ( # ` R ) < ( # ` ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) )
12		fzfi 12771	. . . 4 |- ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) e. Fin
13		hashsdom 13170	. . . 4 |- ( ( R e. Fin /\ ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) e. Fin ) -> ( ( # ` R ) < ( # ` ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) <-> R ~< ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) )
14	1, 12, 13	sylancl 694	. . 3 |- ( ph -> ( ( # ` R ) < ( # ` ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) <-> R ~< ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) )
15	11, 14	mpbid 222	. 2 |- ( ph -> R ~< ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) )
16		vdwlem12.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) --> R )
17		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( z = x -> ( F ` z ) = ( F ` x ) )
18		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( w = y -> ( F ` w ) = ( F ` y ) )
19	17, 18	eqeqan12d 2638	. . . . . . . 8 |- ( ( z = x /\ w = y ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) <-> ( F ` x ) = ( F ` y ) ) )
20		eqeq12 2635	. . . . . . . 8 |- ( ( z = x /\ w = y ) -> ( z = w <-> x = y ) )
21	19, 20	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( ( z = x /\ w = y ) -> ( ( ( F ` z ) = ( F ` w ) -> z = w ) <-> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
22		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( z = y -> ( F ` z ) = ( F ` y ) )
23		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( w = x -> ( F ` w ) = ( F ` x ) )
24	22, 23	eqeqan12d 2638	. . . . . . . . 9 |- ( ( z = y /\ w = x ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) <-> ( F ` y ) = ( F ` x ) ) )
25		eqcom 2629	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` y ) = ( F ` x ) <-> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
26	24, 25	syl6bb 276	. . . . . . . 8 |- ( ( z = y /\ w = x ) -> ( ( F ` z ) = ( F ` w ) <-> ( F ` x ) = ( F ` y ) ) )
27		eqeq12 2635	. . . . . . . . 9 |- ( ( z = y /\ w = x ) -> ( z = w <-> y = x ) )
28		eqcom 2629	. . . . . . . . 9 |- ( y = x <-> x = y )
29	27, 28	syl6bb 276	. . . . . . . 8 |- ( ( z = y /\ w = x ) -> ( z = w <-> x = y ) )
30	26, 29	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( ( z = y /\ w = x ) -> ( ( ( F ` z ) = ( F ` w ) -> z = w ) <-> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
31		elfznn 12370	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) -> x e. NN )
32	31	nnred 11035	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) -> x e. RR )
33	32	ssriv 3607	. . . . . . . 8 |- ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) C_ RR
34	33	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) C_ RR )
35		biidd 252	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) <-> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
36		simplr3 1105	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ x <_ y ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> x <_ y )
37		vdwlem12.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -. 2 MonoAP F )
38	37	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ x <_ y ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> -. 2 MonoAP F )
39		3simpa 1058	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ x <_ y ) -> ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) )
40		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x < y ) ) -> x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) )
41	40, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x < y ) ) -> x e. NN )
42		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x < y ) ) -> x < y )
43		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x < y ) ) -> y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) )
44		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) -> y e. NN )
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x < y ) ) -> y e. NN )
46		nnsub 11059	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. NN /\ y e. NN ) -> ( x < y <-> ( y - x ) e. NN ) )
47	41, 45, 46	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x < y ) ) -> ( x < y <-> ( y - x ) e. NN ) )
48	42, 47	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x < y ) ) -> ( y - x ) e. NN )
49		df-2 11079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 = ( 1 + 1 )
50	49	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (AP ` 2 ) = (AP ` ( 1 + 1 ) )
51	50	oveqi 6663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x (AP ` 2 ) ( y - x ) ) = ( x (AP ` ( 1 + 1 ) ) ( y - x ) )
52		1nn0 11308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. NN0
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x < y ) ) -> 1 e. NN0 )
54		vdwapun 15678	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 1 e. NN0 /\ x e. NN /\ ( y - x ) e. NN ) -> ( x (AP ` ( 1 + 1 ) ) ( y - x ) ) = ( { x } u. ( ( x + ( y - x ) ) (AP ` 1 ) ( y - x ) ) ) )
55	53, 41, 48, 54	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x < y ) ) -> ( x (AP ` ( 1 + 1 ) ) ( y - x ) ) = ( { x } u. ( ( x + ( y - x ) ) (AP ` 1 ) ( y - x ) ) ) )
56	51, 55	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x < y ) ) -> ( x (AP ` 2 ) ( y - x ) ) = ( { x } u. ( ( x + ( y - x ) ) (AP ` 1 ) ( y - x ) ) ) )
57		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x < y ) ) -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
58	16	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x < y ) ) -> F : ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) --> R )
59		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( F : ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) --> R -> F Fn ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) )
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x < y ) ) -> F Fn ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) )
61		fniniseg 6338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( F Fn ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) -> ( x e. ( `' F " { ( F ` y ) } ) <-> ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) )
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x < y ) ) -> ( x e. ( `' F " { ( F ` y ) } ) <-> ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) ) )
63	40, 57, 62	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x < y ) ) -> x e. ( `' F " { ( F ` y ) } ) )
64	63	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x < y ) ) -> { x } C_ ( `' F " { ( F ` y ) } ) )
65	41	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x < y ) ) -> x e. CC )
66	45	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x < y ) ) -> y e. CC )
67	65, 66	pncan3d 10395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x < y ) ) -> ( x + ( y - x ) ) = y )
68	67	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x < y ) ) -> ( ( x + ( y - x ) ) (AP ` 1 ) ( y - x ) ) = ( y (AP ` 1 ) ( y - x ) ) )
69		vdwap1 15681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. NN /\ ( y - x ) e. NN ) -> ( y (AP ` 1 ) ( y - x ) ) = { y } )
70	45, 48, 69	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x < y ) ) -> ( y (AP ` 1 ) ( y - x ) ) = { y } )
71	68, 70	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x < y ) ) -> ( ( x + ( y - x ) ) (AP ` 1 ) ( y - x ) ) = { y } )
72		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x < y ) ) -> ( F ` y ) = ( F ` y ) )
73		fniniseg 6338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( F Fn ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) -> ( y e. ( `' F " { ( F ` y ) } ) <-> ( y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ ( F ` y ) = ( F ` y ) ) ) )
74	60, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x < y ) ) -> ( y e. ( `' F " { ( F ` y ) } ) <-> ( y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ ( F ` y ) = ( F ` y ) ) ) )
75	43, 72, 74	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x < y ) ) -> y e. ( `' F " { ( F ` y ) } ) )
76	75	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x < y ) ) -> { y } C_ ( `' F " { ( F ` y ) } ) )
77	71, 76	eqsstrd 3639	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x < y ) ) -> ( ( x + ( y - x ) ) (AP ` 1 ) ( y - x ) ) C_ ( `' F " { ( F ` y ) } ) )
78	64, 77	unssd 3789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x < y ) ) -> ( { x } u. ( ( x + ( y - x ) ) (AP ` 1 ) ( y - x ) ) ) C_ ( `' F " { ( F ` y ) } ) )
79	56, 78	eqsstrd 3639	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x < y ) ) -> ( x (AP ` 2 ) ( y - x ) ) C_ ( `' F " { ( F ` y ) } ) )
80		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = x -> ( a (AP ` 2 ) d ) = ( x (AP ` 2 ) d ) )
81	80	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = x -> ( ( a (AP ` 2 ) d ) C_ ( `' F " { ( F ` y ) } ) <-> ( x (AP ` 2 ) d ) C_ ( `' F " { ( F ` y ) } ) ) )
82		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( d = ( y - x ) -> ( x (AP ` 2 ) d ) = ( x (AP ` 2 ) ( y - x ) ) )
83	82	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d = ( y - x ) -> ( ( x (AP ` 2 ) d ) C_ ( `' F " { ( F ` y ) } ) <-> ( x (AP ` 2 ) ( y - x ) ) C_ ( `' F " { ( F ` y ) } ) ) )
84	81, 83	rspc2ev 3324	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. NN /\ ( y - x ) e. NN /\ ( x (AP ` 2 ) ( y - x ) ) C_ ( `' F " { ( F ` y ) } ) ) -> E. a e. NN E. d e. NN ( a (AP ` 2 ) d ) C_ ( `' F " { ( F ` y ) } ) )
85	41, 48, 79, 84	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x < y ) ) -> E. a e. NN E. d e. NN ( a (AP ` 2 ) d ) C_ ( `' F " { ( F ` y ) } ) )
86		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F ` y ) e. _V
87		sneq 4187	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( c = ( F ` y ) -> { c } = { ( F ` y ) } )
88	87	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( c = ( F ` y ) -> ( `' F " { c } ) = ( `' F " { ( F ` y ) } ) )
89	88	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c = ( F ` y ) -> ( ( a (AP ` 2 ) d ) C_ ( `' F " { c } ) <-> ( a (AP ` 2 ) d ) C_ ( `' F " { ( F ` y ) } ) ) )
90	89	2rexbidv 3057	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c = ( F ` y ) -> ( E. a e. NN E. d e. NN ( a (AP ` 2 ) d ) C_ ( `' F " { c } ) <-> E. a e. NN E. d e. NN ( a (AP ` 2 ) d ) C_ ( `' F " { ( F ` y ) } ) ) )
91	86, 90	spcev 3300	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. a e. NN E. d e. NN ( a (AP ` 2 ) d ) C_ ( `' F " { ( F ` y ) } ) -> E. c E. a e. NN E. d e. NN ( a (AP ` 2 ) d ) C_ ( `' F " { c } ) )
92	85, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x < y ) ) -> E. c E. a e. NN E. d e. NN ( a (AP ` 2 ) d ) C_ ( `' F " { c } ) )
93		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) e. _V
94		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. NN0
95	94	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x < y ) ) -> 2 e. NN0 )
96	93, 95, 58	vdwmc 15682	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x < y ) ) -> ( 2 MonoAP F <-> E. c E. a e. NN E. d e. NN ( a (AP ` 2 ) d ) C_ ( `' F " { c } ) ) )
97	92, 96	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x < y ) ) -> 2 MonoAP F )
98	39, 97	sylanl2 683	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ x <_ y ) ) /\ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x < y ) ) -> 2 MonoAP F )
99	98	expr 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ x <_ y ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( x < y -> 2 MonoAP F ) )
100	38, 99	mtod 189	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ x <_ y ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> -. x < y )
101		simplr1 1103	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ x <_ y ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) )
102	101, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ x <_ y ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> x e. RR )
103		simplr2 1104	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ x <_ y ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) )
104	33, 103	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ x <_ y ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> y e. RR )
105	102, 104	eqleltd 10181	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ x <_ y ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( x = y <-> ( x <_ y /\ -. x < y ) ) )
106	36, 100, 105	mpbir2and 957	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ x <_ y ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> x = y )
107	106	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ x <_ y ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
108	21, 30, 34, 35, 107	wlogle 10561	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) /\ y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
109	108	ralrimivva 2971	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) A. y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
110		dff13 6512	. . . . 5 |- ( F : ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) -1-1-> R <-> ( F : ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) --> R /\ A. x e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) A. y e. ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
111	16, 109, 110	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ph -> F : ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) -1-1-> R )
112		f1domg 7975	. . . 4 |- ( R e. Fin -> ( F : ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) -1-1-> R -> ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ~<_ R ) )
113	1, 111, 112	sylc 65	. . 3 |- ( ph -> ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ~<_ R )
114		domnsym 8086	. . 3 |- ( ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) ~<_ R -> -. R ~< ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) )
115	113, 114	syl 17	. 2 |- ( ph -> -. R ~< ( 1 ... ( ( # ` R ) + 1 ) ) )
116	15, 115	pm2.65i 185	1 |- -. ph

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   u. cun 3572   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ~<_ cdom 7953   ~< csdm 7954   Fincfn 7955   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ...cfz 12326   #chash 13117  APcvdwa 15669   MonoAP cvdwm 15670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-vdwap 15672  df-vdwmc 15673

This theorem is referenced by:  vdwlem13  15697