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Theorem wlk1walk 26535

Description: A walk is a 1-walk "on the edge level" according to Aksoy et al. (Contributed by AV, 30-Dec-2020.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
wlk1walk.i	iEdg

**Assertion**
Ref	Expression
wlk1walk	Walks ..^

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem wlk1walk Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkv 26508	. 2 Walks $/\$ $/\$
2		eqid 2622	. . . 4 Vtx Vtx
3		eqid 2622	. . . 4 iEdg iEdg
4	2, 3	iswlk 26506	. . 3 $/\$ $/\$ Walks Word iEdg $/\$ Vtx $/\$ ..^if- iEdg iEdg
5		fvex 6201	. . . . . . 7
6	5	inex1 4799	. . . . . 6
7		fzo0ss1 12498	. . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
8	7	sseli 3599	. . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
9		wkslem1 26503	. . . . . . . . . . . 12 if- iEdg iEdg if- iEdg iEdg
10	9	rspcv 3305	. . . . . . . . . . 11 ..^ ..^if- iEdg iEdg if- iEdg iEdg
11	8, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10 ..^ ..^if- iEdg iEdg if- iEdg iEdg
12	11	imp 445	. . . . . . . . 9 ..^ $/\$ ..^if- iEdg iEdg if- iEdg iEdg
13		elfzofz 12485	. . . . . . . . . . 11 ..^
14		fz1fzo0m1 12515	. . . . . . . . . . 11 ..^
15		wkslem1 26503	. . . . . . . . . . . 12 if- iEdg iEdg if- iEdg iEdg
16	15	rspcv 3305	. . . . . . . . . . 11 ..^ ..^if- iEdg iEdg if- iEdg iEdg
17	13, 14, 16	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ..^ ..^if- iEdg iEdg if- iEdg iEdg
18	17	imp 445	. . . . . . . . 9 ..^ $/\$ ..^if- iEdg iEdg if- iEdg iEdg
19		df-ifp 1013	. . . . . . . . . . . 12 if- iEdg iEdg $/\$ iEdg $\/$ $/\$ iEdg
20		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
21		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . 15
22		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . 16
23		npcan1 10455	. . . . . . . . . . . . . . . 16
24		wkslem2 26504	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ if- iEdg iEdg if- iEdg iEdg
25	22, 23, 24	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 if- iEdg iEdg if- iEdg iEdg
26	20, 21, 25	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^ if- iEdg iEdg if- iEdg iEdg
27		df-ifp 1013	. . . . . . . . . . . . . . 15 if- iEdg iEdg $/\$ iEdg $\/$ $/\$ iEdg
28		sneq 4187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
29	28	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 iEdg iEdg
30		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
31	30	snid 4208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
32		wlk1walk.i	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 iEdg
33	32	fveq1i 6192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 iEdg
34	33	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 iEdg
35		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 iEdg iEdg
36	34, 35	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 iEdg
37	31, 36	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 iEdg
38		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 iEdg iEdg
39	31, 38	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 iEdg iEdg
40	32	fveq1i 6192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 iEdg
41	39, 40	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 iEdg
42	37, 41	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 iEdg $/\$ iEdg $/\$
43	42	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 iEdg iEdg $/\$
44	29, 43	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 iEdg iEdg $/\$
45	44	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ iEdg iEdg $/\$
46	45	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 iEdg $/\$ iEdg $/\$
47	46	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ iEdg $/\$ iEdg $/\$
48		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
49	30, 48	prss 4351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 iEdg $/\$ iEdg iEdg
50	32	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 iEdg
51	50	fveq1i 6192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 iEdg
52	51	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 iEdg
53	52	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 iEdg
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 iEdg $/\$ iEdg
55	49, 54	sylbir 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 iEdg
56	37, 55	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 iEdg $/\$ iEdg $/\$
57	56	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 iEdg iEdg $/\$
58	29, 57	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 iEdg iEdg $/\$
59	58	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ iEdg iEdg $/\$
60	59	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 iEdg $/\$ iEdg $/\$
61	60	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ iEdg $/\$ iEdg $/\$
62	47, 61	jaoi 394	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ iEdg $\/$ $/\$ iEdg $/\$ iEdg $/\$
63	62	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ iEdg $/\$ iEdg $\/$ $/\$ iEdg $/\$
64		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
65	64, 30	prss 4351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 iEdg $/\$ iEdg iEdg
66	50	fveq1i 6192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 iEdg
67	66	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 iEdg
68	67	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 iEdg
69	40	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 iEdg
70	69, 38	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 iEdg
71	31, 70	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 iEdg
72	68, 71	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 iEdg $/\$ iEdg $/\$
73	72	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 iEdg iEdg $/\$
74	73	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 iEdg $/\$ iEdg iEdg $/\$
75	65, 74	sylbir 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 iEdg iEdg $/\$
76	75	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ iEdg iEdg $/\$
77	76	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 iEdg $/\$ iEdg $/\$
78	77	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ iEdg $/\$ iEdg $/\$
79	67, 52	anbi12i 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 iEdg $/\$ iEdg $/\$
80	79	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 iEdg $/\$ iEdg $/\$
81	80	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 iEdg iEdg $/\$
82	81	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 iEdg $/\$ iEdg iEdg $/\$
83	65, 82	sylbir 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 iEdg iEdg $/\$
84	83	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ iEdg iEdg $/\$
85	84	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 iEdg $/\$ iEdg $/\$
86	85	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 iEdg $/\$ iEdg $/\$ iEdg $/\$
87	49, 86	sylbir 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 iEdg $/\$ iEdg $/\$
88	87	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ iEdg $/\$ iEdg $/\$
89	78, 88	jaoi 394	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ iEdg $\/$ $/\$ iEdg $/\$ iEdg $/\$
90	89	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ iEdg $/\$ iEdg $\/$ $/\$ iEdg $/\$
91	63, 90	jaoi 394	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ iEdg $\/$ $/\$ iEdg $/\$ iEdg $\/$ $/\$ iEdg $/\$
92	27, 91	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . 14 if- iEdg iEdg $/\$ iEdg $\/$ $/\$ iEdg $/\$
93	26, 92	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . 13 ..^ if- iEdg iEdg $/\$ iEdg $\/$ $/\$ iEdg $/\$
94	93	com3r 87	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ iEdg $\/$ $/\$ iEdg ..^ if- iEdg iEdg $/\$
95	19, 94	sylbi 207	. . . . . . . . . . 11 if- iEdg iEdg ..^ if- iEdg iEdg $/\$
96	95	com12 32	. . . . . . . . . 10 ..^ if- iEdg iEdg if- iEdg iEdg $/\$
97	96	adantr 481	. . . . . . . . 9 ..^ $/\$ ..^if- iEdg iEdg if- iEdg iEdg if- iEdg iEdg $/\$
98	12, 18, 97	mp2d 49	. . . . . . . 8 ..^ $/\$ ..^if- iEdg iEdg $/\$
99	98	ancoms 469	. . . . . . 7 ..^if- iEdg iEdg $/\$ ..^ $/\$
100		inelcm 4032	. . . . . . 7 $/\$
101	99, 100	syl 17	. . . . . 6 ..^if- iEdg iEdg $/\$ ..^
102		hashge1 13178	. . . . . 6 $/\$
103	6, 101, 102	sylancr 695	. . . . 5 ..^if- iEdg iEdg $/\$ ..^
104	103	ralrimiva 2966	. . . 4 ..^if- iEdg iEdg ..^
105	104	3ad2ant3 1084	. . 3 Word iEdg $/\$ Vtx $/\$ ..^if- iEdg iEdg ..^
106	4, 105	syl6bi 243	. 2 $/\$ $/\$ Walks ..^
107	1, 106	mpcom 38	1 Walks ..^

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 if-wif 1012 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

cvv 3200

cin 3573

wss 3574

c0 3915

csn 4177

cpr 4179 class class class wbr 4653

cdm 5114

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cle 10075

cmin 10266

cz 11377

cfz 12326 ..^cfzo 12465

chash 13117 Word cword 13291 Vtxcvtx 25874 iEdgciedg 25875 Walkscwlks 26492

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-ifp 1013 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-hash 13118 df-word 13299 df-wlks 26495

This theorem is referenced by: wlk1ewlk 26536

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