Theorem xpstopnlem1 21612

Description: The function F used in xpsval 16232 is a homeomorphism from the binary product topology to the indexed product topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpstopnlem1.f	|- F = ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) )
xpstopnlem1.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
xpstopnlem1.k	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )

Assertion

Ref	Expression
xpstopnlem1	|- ( ph -> F e. ( ( J tX K ) Homeo ( Xt_ ` `' ( { J } +c { K } ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, J   x, K, y   ph, x, y   x, X, y   x, Y, y

Allowed substitution hints:   F( x, y)

Proof of Theorem xpstopnlem1

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpstopnlem1.j	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		xpstopnlem1.k	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
3		txtopon 21394	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) )
5		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) = ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } )
6		0ex 4790	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) e. _V
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (/) e. _V )
8	5, 7, 1	pt1hmeo 21609	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( z e. X |-> { <. (/) , z >. } ) e. ( J Homeo ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) ) )
9		hmeocn 21563	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. X |-> { <. (/) , z >. } ) e. ( J Homeo ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) ) -> ( z e. X |-> { <. (/) , z >. } ) e. ( J Cn ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) ) )
10		cntop2 21045	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. X |-> { <. (/) , z >. } ) e. ( J Cn ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) ) -> ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) e. Top )
11	8, 9, 10	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) e. Top )
12		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- U. ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) = U. ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } )
13	12	toptopon 20722	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) e. Top <-> ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) e. (TopOn ` U. ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) ) )
14	11, 13	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) e. (TopOn ` U. ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) ) )
15		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) = ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } )
16		1on 7567	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o e. On
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 1o e. On )
18	15, 17, 2	pt1hmeo 21609	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( z e. Y |-> { <. 1o , z >. } ) e. ( K Homeo ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) ) )
19		hmeocn 21563	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. Y |-> { <. 1o , z >. } ) e. ( K Homeo ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) ) -> ( z e. Y |-> { <. 1o , z >. } ) e. ( K Cn ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) ) )
20		cntop2 21045	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. Y |-> { <. 1o , z >. } ) e. ( K Cn ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) ) -> ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) e. Top )
21	18, 19, 20	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) e. Top )
22		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- U. ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) = U. ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } )
23	22	toptopon 20722	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) e. Top <-> ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) e. (TopOn ` U. ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) ) )
24	21, 23	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) e. (TopOn ` U. ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) ) )
25		txtopon 21394	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) e. (TopOn ` U. ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) ) /\ ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) e. (TopOn ` U. ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) ) ) -> ( ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) tX ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) ) e. (TopOn ` ( U. ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) X. U. ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) ) ) )
26	14, 24, 25	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) tX ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) ) e. (TopOn ` ( U. ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) X. U. ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) ) ) )
27		opeq2 4403	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = x -> <. (/) , z >. = <. (/) , x >. )
28	27	sneqd 4189	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = x -> { <. (/) , z >. } = { <. (/) , x >. } )
29		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. X |-> { <. (/) , z >. } ) = ( z e. X |-> { <. (/) , z >. } )
30		snex 4908	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { <. (/) , x >. } e. _V
31	28, 29, 30	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. X -> ( ( z e. X |-> { <. (/) , z >. } ) ` x ) = { <. (/) , x >. } )
32		opeq2 4403	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = y -> <. 1o , z >. = <. 1o , y >. )
33	32	sneqd 4189	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = y -> { <. 1o , z >. } = { <. 1o , y >. } )
34		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. Y |-> { <. 1o , z >. } ) = ( z e. Y |-> { <. 1o , z >. } )
35		snex 4908	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { <. 1o , y >. } e. _V
36	33, 34, 35	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. Y -> ( ( z e. Y |-> { <. 1o , z >. } ) ` y ) = { <. 1o , y >. } )
37		opeq12 4404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( z e. X |-> { <. (/) , z >. } ) ` x ) = { <. (/) , x >. } /\ ( ( z e. Y |-> { <. 1o , z >. } ) ` y ) = { <. 1o , y >. } ) -> <. ( ( z e. X |-> { <. (/) , z >. } ) ` x ) , ( ( z e. Y |-> { <. 1o , z >. } ) ` y ) >. = <. { <. (/) , x >. } , { <. 1o , y >. } >. )
38	31, 36, 37	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> <. ( ( z e. X |-> { <. (/) , z >. } ) ` x ) , ( ( z e. Y |-> { <. 1o , z >. } ) ` y ) >. = <. { <. (/) , x >. } , { <. 1o , y >. } >. )
39	38	mpt2eq3ia 6720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. X , y e. Y |-> <. ( ( z e. X |-> { <. (/) , z >. } ) ` x ) , ( ( z e. Y |-> { <. 1o , z >. } ) ` y ) >. ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. { <. (/) , x >. } , { <. 1o , y >. } >. )
40		toponuni 20719	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
41	1, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X = U. J )
42		toponuni 20719	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> Y = U. K )
43	2, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Y = U. K )
44		mpt2eq12 6715	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X = U. J /\ Y = U. K ) -> ( x e. X , y e. Y |-> <. ( ( z e. X |-> { <. (/) , z >. } ) ` x ) , ( ( z e. Y |-> { <. 1o , z >. } ) ` y ) >. ) = ( x e. U. J , y e. U. K |-> <. ( ( z e. X |-> { <. (/) , z >. } ) ` x ) , ( ( z e. Y |-> { <. 1o , z >. } ) ` y ) >. ) )
45	41, 43, 44	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> <. ( ( z e. X |-> { <. (/) , z >. } ) ` x ) , ( ( z e. Y |-> { <. 1o , z >. } ) ` y ) >. ) = ( x e. U. J , y e. U. K |-> <. ( ( z e. X |-> { <. (/) , z >. } ) ` x ) , ( ( z e. Y |-> { <. 1o , z >. } ) ` y ) >. ) )
46	39, 45	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> <. { <. (/) , x >. } , { <. 1o , y >. } >. ) = ( x e. U. J , y e. U. K |-> <. ( ( z e. X |-> { <. (/) , z >. } ) ` x ) , ( ( z e. Y |-> { <. 1o , z >. } ) ` y ) >. ) )
47		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- U. J = U. J
48		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- U. K = U. K
49	47, 48, 8, 18	txhmeo 21606	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. U. J , y e. U. K |-> <. ( ( z e. X |-> { <. (/) , z >. } ) ` x ) , ( ( z e. Y |-> { <. 1o , z >. } ) ` y ) >. ) e. ( ( J tX K ) Homeo ( ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) tX ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) ) ) )
50	46, 49	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> <. { <. (/) , x >. } , { <. 1o , y >. } >. ) e. ( ( J tX K ) Homeo ( ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) tX ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) ) ) )
51		hmeocn 21563	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. X , y e. Y |-> <. { <. (/) , x >. } , { <. 1o , y >. } >. ) e. ( ( J tX K ) Homeo ( ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) tX ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> <. { <. (/) , x >. } , { <. 1o , y >. } >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) tX ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) ) ) )
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> <. { <. (/) , x >. } , { <. 1o , y >. } >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) tX ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) ) ) )
53		cnf2 21053	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J tX K ) e. (TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ ( ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) tX ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) ) e. (TopOn ` ( U. ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) X. U. ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) ) ) /\ ( x e. X , y e. Y |-> <. { <. (/) , x >. } , { <. 1o , y >. } >. ) e. ( ( J tX K ) Cn ( ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) tX ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) ) ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> <. { <. (/) , x >. } , { <. 1o , y >. } >. ) : ( X X. Y ) --> ( U. ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) X. U. ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) ) )
54	4, 26, 52, 53	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> <. { <. (/) , x >. } , { <. 1o , y >. } >. ) : ( X X. Y ) --> ( U. ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) X. U. ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) ) )
55		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( x e. X , y e. Y |-> <. { <. (/) , x >. } , { <. 1o , y >. } >. ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. { <. (/) , x >. } , { <. 1o , y >. } >. )
56	55	fmpt2 7237	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. X A. y e. Y <. { <. (/) , x >. } , { <. 1o , y >. } >. e. ( U. ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) X. U. ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) ) <-> ( x e. X , y e. Y |-> <. { <. (/) , x >. } , { <. 1o , y >. } >. ) : ( X X. Y ) --> ( U. ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) X. U. ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) ) )
57	54, 56	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. Y <. { <. (/) , x >. } , { <. 1o , y >. } >. e. ( U. ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) X. U. ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) ) )
58	57	r19.21bi 2932	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. y e. Y <. { <. (/) , x >. } , { <. 1o , y >. } >. e. ( U. ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) X. U. ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) ) )
59	58	r19.21bi 2932	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ y e. Y ) -> <. { <. (/) , x >. } , { <. 1o , y >. } >. e. ( U. ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) X. U. ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) ) )
60	59	anasss 679	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> <. { <. (/) , x >. } , { <. 1o , y >. } >. e. ( U. ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) X. U. ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) ) )
61		eqidd 2623	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> <. { <. (/) , x >. } , { <. 1o , y >. } >. ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. { <. (/) , x >. } , { <. 1o , y >. } >. ) )
62		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
63		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
64	62, 63	op1std 7178	. . . . . . . 8 |- ( z = <. x , y >. -> ( 1st ` z ) = x )
65	62, 63	op2ndd 7179	. . . . . . . 8 |- ( z = <. x , y >. -> ( 2nd ` z ) = y )
66	64, 65	uneq12d 3768	. . . . . . 7 |- ( z = <. x , y >. -> ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) = ( x u. y ) )
67	66	mpt2mpt 6752	. . . . . 6 |- ( z e. ( U. ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) X. U. ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) ) |-> ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ) = ( x e. U. ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) , y e. U. ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) |-> ( x u. y ) )
68	67	eqcomi 2631	. . . . 5 |- ( x e. U. ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) , y e. U. ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) |-> ( x u. y ) ) = ( z e. ( U. ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) X. U. ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) ) |-> ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) )
69	68	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. U. ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) , y e. U. ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) |-> ( x u. y ) ) = ( z e. ( U. ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) X. U. ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) ) |-> ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) ) )
70	30, 35	op1std 7178	. . . . . 6 |- ( z = <. { <. (/) , x >. } , { <. 1o , y >. } >. -> ( 1st ` z ) = { <. (/) , x >. } )
71	30, 35	op2ndd 7179	. . . . . 6 |- ( z = <. { <. (/) , x >. } , { <. 1o , y >. } >. -> ( 2nd ` z ) = { <. 1o , y >. } )
72	70, 71	uneq12d 3768	. . . . 5 |- ( z = <. { <. (/) , x >. } , { <. 1o , y >. } >. -> ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) = ( { <. (/) , x >. } u. { <. 1o , y >. } ) )
73		xpscg 16218	. . . . . . 7 |- ( ( x e. _V /\ y e. _V ) -> `' ( { x } +c { y } ) = { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } )
74	62, 63, 73	mp2an 708	. . . . . 6 |- `' ( { x } +c { y } ) = { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. }
75		df-pr 4180	. . . . . 6 |- { <. (/) , x >. , <. 1o , y >. } = ( { <. (/) , x >. } u. { <. 1o , y >. } )
76	74, 75	eqtri 2644	. . . . 5 |- `' ( { x } +c { y } ) = ( { <. (/) , x >. } u. { <. 1o , y >. } )
77	72, 76	syl6eqr 2674	. . . 4 |- ( z = <. { <. (/) , x >. } , { <. 1o , y >. } >. -> ( ( 1st ` z ) u. ( 2nd ` z ) ) = `' ( { x } +c { y } ) )
78	60, 61, 69, 77	fmpt2co 7260	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. U. ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) , y e. U. ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) |-> ( x u. y ) ) o. ( x e. X , y e. Y |-> <. { <. (/) , x >. } , { <. 1o , y >. } >. ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) ) )
79		xpstopnlem1.f	. . 3 |- F = ( x e. X , y e. Y |-> `' ( { x } +c { y } ) )
80	78, 79	syl6reqr 2675	. 2 |- ( ph -> F = ( ( x e. U. ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) , y e. U. ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) |-> ( x u. y ) ) o. ( x e. X , y e. Y |-> <. { <. (/) , x >. } , { <. 1o , y >. } >. ) ) )
81		eqid 2622	. . . . 5 |- U. ( Xt_ ` ( `' ( { J } +c { K } ) |` { (/) } ) ) = U. ( Xt_ ` ( `' ( { J } +c { K } ) |` { (/) } ) )
82		eqid 2622	. . . . 5 |- U. ( Xt_ ` ( `' ( { J } +c { K } ) |` { 1o } ) ) = U. ( Xt_ ` ( `' ( { J } +c { K } ) |` { 1o } ) )
83		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Xt_ ` `' ( { J } +c { K } ) ) = ( Xt_ ` `' ( { J } +c { K } ) )
84		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Xt_ ` ( `' ( { J } +c { K } ) |` { (/) } ) ) = ( Xt_ ` ( `' ( { J } +c { K } ) |` { (/) } ) )
85		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Xt_ ` ( `' ( { J } +c { K } ) |` { 1o } ) ) = ( Xt_ ` ( `' ( { J } +c { K } ) |` { 1o } ) )
86		eqid 2622	. . . . 5 |- ( x e. U. ( Xt_ ` ( `' ( { J } +c { K } ) |` { (/) } ) ) , y e. U. ( Xt_ ` ( `' ( { J } +c { K } ) |` { 1o } ) ) |-> ( x u. y ) ) = ( x e. U. ( Xt_ ` ( `' ( { J } +c { K } ) |` { (/) } ) ) , y e. U. ( Xt_ ` ( `' ( { J } +c { K } ) |` { 1o } ) ) |-> ( x u. y ) )
87		2on 7568	. . . . . 6 |- 2o e. On
88	87	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 2o e. On )
89		topontop 20718	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
90	1, 89	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. Top )
91		topontop 20718	. . . . . . 7 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> K e. Top )
92	2, 91	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. Top )
93		xpscf 16226	. . . . . 6 |- ( `' ( { J } +c { K } ) : 2o --> Top <-> ( J e. Top /\ K e. Top ) )
94	90, 92, 93	sylanbrc 698	. . . . 5 |- ( ph -> `' ( { J } +c { K } ) : 2o --> Top )
95		df2o3 7573	. . . . . . 7 |- 2o = { (/) , 1o }
96		df-pr 4180	. . . . . . 7 |- { (/) , 1o } = ( { (/) } u. { 1o } )
97	95, 96	eqtri 2644	. . . . . 6 |- 2o = ( { (/) } u. { 1o } )
98	97	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 2o = ( { (/) } u. { 1o } ) )
99		1n0 7575	. . . . . . 7 |- 1o =/= (/)
100	99	necomi 2848	. . . . . 6 |- (/) =/= 1o
101		disjsn2 4247	. . . . . 6 |- ( (/) =/= 1o -> ( { (/) } i^i { 1o } ) = (/) )
102	100, 101	mp1i 13	. . . . 5 |- ( ph -> ( { (/) } i^i { 1o } ) = (/) )
103	81, 82, 83, 84, 85, 86, 88, 94, 98, 102	ptunhmeo 21611	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. U. ( Xt_ ` ( `' ( { J } +c { K } ) |` { (/) } ) ) , y e. U. ( Xt_ ` ( `' ( { J } +c { K } ) |` { 1o } ) ) |-> ( x u. y ) ) e. ( ( ( Xt_ ` ( `' ( { J } +c { K } ) |` { (/) } ) ) tX ( Xt_ ` ( `' ( { J } +c { K } ) |` { 1o } ) ) ) Homeo ( Xt_ ` `' ( { J } +c { K } ) ) ) )
104		xpscfn 16219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> `' ( { J } +c { K } ) Fn 2o )
105	1, 2, 104	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> `' ( { J } +c { K } ) Fn 2o )
106	6	prid1 4297	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. { (/) , 1o }
107	106, 95	eleqtrri 2700	. . . . . . . . 9 |- (/) e. 2o
108		fnressn 6425	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' ( { J } +c { K } ) Fn 2o /\ (/) e. 2o ) -> ( `' ( { J } +c { K } ) |` { (/) } ) = { <. (/) , ( `' ( { J } +c { K } ) ` (/) ) >. } )
109	105, 107, 108	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( `' ( { J } +c { K } ) |` { (/) } ) = { <. (/) , ( `' ( { J } +c { K } ) ` (/) ) >. } )
110		xpsc0 16220	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( `' ( { J } +c { K } ) ` (/) ) = J )
111	1, 110	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( `' ( { J } +c { K } ) ` (/) ) = J )
112	111	opeq2d 4409	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> <. (/) , ( `' ( { J } +c { K } ) ` (/) ) >. = <. (/) , J >. )
113	112	sneqd 4189	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { <. (/) , ( `' ( { J } +c { K } ) ` (/) ) >. } = { <. (/) , J >. } )
114	109, 113	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( `' ( { J } +c { K } ) |` { (/) } ) = { <. (/) , J >. } )
115	114	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Xt_ ` ( `' ( { J } +c { K } ) |` { (/) } ) ) = ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) )
116	115	unieqd 4446	. . . . 5 |- ( ph -> U. ( Xt_ ` ( `' ( { J } +c { K } ) |` { (/) } ) ) = U. ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) )
117	16	elexi 3213	. . . . . . . . . . 11 |- 1o e. _V
118	117	prid2 4298	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. { (/) , 1o }
119	118, 95	eleqtrri 2700	. . . . . . . . 9 |- 1o e. 2o
120		fnressn 6425	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' ( { J } +c { K } ) Fn 2o /\ 1o e. 2o ) -> ( `' ( { J } +c { K } ) |` { 1o } ) = { <. 1o , ( `' ( { J } +c { K } ) ` 1o ) >. } )
121	105, 119, 120	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( `' ( { J } +c { K } ) |` { 1o } ) = { <. 1o , ( `' ( { J } +c { K } ) ` 1o ) >. } )
122		xpsc1 16221	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. (TopOn ` Y ) -> ( `' ( { J } +c { K } ) ` 1o ) = K )
123	2, 122	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( `' ( { J } +c { K } ) ` 1o ) = K )
124	123	opeq2d 4409	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> <. 1o , ( `' ( { J } +c { K } ) ` 1o ) >. = <. 1o , K >. )
125	124	sneqd 4189	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { <. 1o , ( `' ( { J } +c { K } ) ` 1o ) >. } = { <. 1o , K >. } )
126	121, 125	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( `' ( { J } +c { K } ) |` { 1o } ) = { <. 1o , K >. } )
127	126	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Xt_ ` ( `' ( { J } +c { K } ) |` { 1o } ) ) = ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) )
128	127	unieqd 4446	. . . . 5 |- ( ph -> U. ( Xt_ ` ( `' ( { J } +c { K } ) |` { 1o } ) ) = U. ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) )
129		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ph -> ( x u. y ) = ( x u. y ) )
130	116, 128, 129	mpt2eq123dv 6717	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. U. ( Xt_ ` ( `' ( { J } +c { K } ) |` { (/) } ) ) , y e. U. ( Xt_ ` ( `' ( { J } +c { K } ) |` { 1o } ) ) |-> ( x u. y ) ) = ( x e. U. ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) , y e. U. ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) |-> ( x u. y ) ) )
131	115, 127	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Xt_ ` ( `' ( { J } +c { K } ) |` { (/) } ) ) tX ( Xt_ ` ( `' ( { J } +c { K } ) |` { 1o } ) ) ) = ( ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) tX ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) ) )
132	131	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( Xt_ ` ( `' ( { J } +c { K } ) |` { (/) } ) ) tX ( Xt_ ` ( `' ( { J } +c { K } ) |` { 1o } ) ) ) Homeo ( Xt_ ` `' ( { J } +c { K } ) ) ) = ( ( ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) tX ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) ) Homeo ( Xt_ ` `' ( { J } +c { K } ) ) ) )
133	103, 130, 132	3eltr3d 2715	. . 3 |- ( ph -> ( x e. U. ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) , y e. U. ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) |-> ( x u. y ) ) e. ( ( ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) tX ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) ) Homeo ( Xt_ ` `' ( { J } +c { K } ) ) ) )
134		hmeoco 21575	. . 3 |- ( ( ( x e. X , y e. Y |-> <. { <. (/) , x >. } , { <. 1o , y >. } >. ) e. ( ( J tX K ) Homeo ( ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) tX ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) ) ) /\ ( x e. U. ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) , y e. U. ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) |-> ( x u. y ) ) e. ( ( ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) tX ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) ) Homeo ( Xt_ ` `' ( { J } +c { K } ) ) ) ) -> ( ( x e. U. ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) , y e. U. ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) |-> ( x u. y ) ) o. ( x e. X , y e. Y |-> <. { <. (/) , x >. } , { <. 1o , y >. } >. ) ) e. ( ( J tX K ) Homeo ( Xt_ ` `' ( { J } +c { K } ) ) ) )
135	50, 133, 134	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. U. ( Xt_ ` { <. (/) , J >. } ) , y e. U. ( Xt_ ` { <. 1o , K >. } ) |-> ( x u. y ) ) o. ( x e. X , y e. Y |-> <. { <. (/) , x >. } , { <. 1o , y >. } >. ) ) e. ( ( J tX K ) Homeo ( Xt_ ` `' ( { J } +c { K } ) ) ) )
136	80, 135	eqeltrd 2701	1 |- ( ph -> F e. ( ( J tX K ) Homeo ( Xt_ ` `' ( { J } +c { K } ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179   <.cop 4183   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   |` cres 5116   o. ccom 5118   Oncon0 5723   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   1oc1o 7553   2oc2o 7554   +c ccda 8989   Xt_cpt 16099   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   tX ctx 21363   Homeochmeo 21556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-cda 8990  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-hmeo 21558

This theorem is referenced by:  xpstopnlem2  21614