Theorem znleval 19903

Description: The ordering of the ℤ/nℤ structure. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znle2.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znle2.f	|- F = ( ( ZRHom ` Y ) |` W )
znle2.w	|- W = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )
znle2.l	|- .<_ = ( le ` Y )
znleval.x	|- X = ( Base ` Y )

Assertion

Ref	Expression
znleval	|- ( N e. NN0 -> ( A .<_ B <-> ( A e. X /\ B e. X /\ ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) ) )

Proof of Theorem znleval

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znle2.y	. . . . . . 7 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
2		znle2.f	. . . . . . 7 |- F = ( ( ZRHom ` Y ) |` W )
3		znle2.w	. . . . . . 7 |- W = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )
4		znle2.l	. . . . . . 7 |- .<_ = ( le ` Y )
5	1, 2, 3, 4	znle2 19902	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> .<_ = ( ( F o. <_ ) o. `' F ) )
6		relco 5633	. . . . . . . 8 |- Rel ( ( F o. <_ ) o. `' F )
7		relssdmrn 5656	. . . . . . . 8 |- ( Rel ( ( F o. <_ ) o. `' F ) -> ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ ( dom ( ( F o. <_ ) o. `' F ) X. ran ( ( F o. <_ ) o. `' F ) ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ ( dom ( ( F o. <_ ) o. `' F ) X. ran ( ( F o. <_ ) o. `' F ) )
9		dmcoss 5385	. . . . . . . . 9 |- dom ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ dom `' F
10		df-rn 5125	. . . . . . . . . 10 |- ran F = dom `' F
11		znleval.x	. . . . . . . . . . . 12 |- X = ( Base ` Y )
12	1, 11, 2, 3	znf1o 19900	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> F : W -1-1-onto-> X )
13		f1ofo 6144	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : W -1-1-onto-> X -> F : W -onto-> X )
14		forn 6118	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : W -onto-> X -> ran F = X )
15	12, 13, 14	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ran F = X )
16	10, 15	syl5eqr 2670	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> dom `' F = X )
17	9, 16	syl5sseq 3653	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> dom ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ X )
18		rncoss 5386	. . . . . . . . 9 |- ran ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ ran ( F o. <_ )
19		rncoss 5386	. . . . . . . . . 10 |- ran ( F o. <_ ) C_ ran F
20	19, 15	syl5sseq 3653	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ran ( F o. <_ ) C_ X )
21	18, 20	syl5ss 3614	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ran ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ X )
22		xpss12 5225	. . . . . . . 8 |- ( ( dom ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ X /\ ran ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ X ) -> ( dom ( ( F o. <_ ) o. `' F ) X. ran ( ( F o. <_ ) o. `' F ) ) C_ ( X X. X ) )
23	17, 21, 22	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( dom ( ( F o. <_ ) o. `' F ) X. ran ( ( F o. <_ ) o. `' F ) ) C_ ( X X. X ) )
24	8, 23	syl5ss 3614	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( F o. <_ ) o. `' F ) C_ ( X X. X ) )
25	5, 24	eqsstrd 3639	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> .<_ C_ ( X X. X ) )
26	25	ssbrd 4696	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( A .<_ B -> A ( X X. X ) B ) )
27		brxp 5147	. . . 4 |- ( A ( X X. X ) B <-> ( A e. X /\ B e. X ) )
28	26, 27	syl6ib 241	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( A .<_ B -> ( A e. X /\ B e. X ) ) )
29	28	pm4.71rd 667	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( A .<_ B <-> ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ A .<_ B ) ) )
30	5	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> .<_ = ( ( F o. <_ ) o. `' F ) )
31	30	breqd 4664	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A .<_ B <-> A ( ( F o. <_ ) o. `' F ) B ) )
32		brcog 5288	. . . . . . 7 |- ( ( A e. X /\ B e. X ) -> ( A ( ( F o. <_ ) o. `' F ) B <-> E. x ( A `' F x /\ x ( F o. <_ ) B ) ) )
33	32	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A ( ( F o. <_ ) o. `' F ) B <-> E. x ( A `' F x /\ x ( F o. <_ ) B ) ) )
34		eqcom 2629	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( `' F ` A ) <-> ( `' F ` A ) = x )
35	12	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> F : W -1-1-onto-> X )
36		f1ocnv 6149	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : W -1-1-onto-> X -> `' F : X -1-1-onto-> W )
37		f1ofn 6138	. . . . . . . . . . 11 |- ( `' F : X -1-1-onto-> W -> `' F Fn X )
38	35, 36, 37	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> `' F Fn X )
39		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> A e. X )
40		fnbrfvb 6236	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' F Fn X /\ A e. X ) -> ( ( `' F ` A ) = x <-> A `' F x ) )
41	38, 39, 40	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( `' F ` A ) = x <-> A `' F x ) )
42	34, 41	syl5rbb 273	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A `' F x <-> x = ( `' F ` A ) ) )
43	42	anbi1d 741	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( A `' F x /\ x ( F o. <_ ) B ) <-> ( x = ( `' F ` A ) /\ x ( F o. <_ ) B ) ) )
44	43	exbidv 1850	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( E. x ( A `' F x /\ x ( F o. <_ ) B ) <-> E. x ( x = ( `' F ` A ) /\ x ( F o. <_ ) B ) ) )
45	33, 44	bitrd 268	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A ( ( F o. <_ ) o. `' F ) B <-> E. x ( x = ( `' F ` A ) /\ x ( F o. <_ ) B ) ) )
46		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( `' F ` A ) e. _V
47		breq1 4656	. . . . . . 7 |- ( x = ( `' F ` A ) -> ( x ( F o. <_ ) B <-> ( `' F ` A ) ( F o. <_ ) B ) )
48	46, 47	ceqsexv 3242	. . . . . 6 |- ( E. x ( x = ( `' F ` A ) /\ x ( F o. <_ ) B ) <-> ( `' F ` A ) ( F o. <_ ) B )
49		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> B e. X )
50		brcog 5288	. . . . . . . 8 |- ( ( ( `' F ` A ) e. _V /\ B e. X ) -> ( ( `' F ` A ) ( F o. <_ ) B <-> E. x ( ( `' F ` A ) <_ x /\ x F B ) ) )
51	46, 49, 50	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( `' F ` A ) ( F o. <_ ) B <-> E. x ( ( `' F ` A ) <_ x /\ x F B ) ) )
52		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( `' F ` B ) e. _V
53		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( `' F ` B ) -> ( ( `' F ` A ) <_ x <-> ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) )
54	52, 53	ceqsexv 3242	. . . . . . . 8 |- ( E. x ( x = ( `' F ` B ) /\ ( `' F ` A ) <_ x ) <-> ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) )
55		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( `' F ` B ) <-> ( `' F ` B ) = x )
56		fnbrfvb 6236	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( `' F Fn X /\ B e. X ) -> ( ( `' F ` B ) = x <-> B `' F x ) )
57	38, 49, 56	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( `' F ` B ) = x <-> B `' F x ) )
58	55, 57	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( x = ( `' F ` B ) <-> B `' F x ) )
59		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
60		brcnvg 5303	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. X /\ x e. _V ) -> ( B `' F x <-> x F B ) )
61	49, 59, 60	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( B `' F x <-> x F B ) )
62	58, 61	bitrd 268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( x = ( `' F ` B ) <-> x F B ) )
63	62	anbi1d 741	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( x = ( `' F ` B ) /\ ( `' F ` A ) <_ x ) <-> ( x F B /\ ( `' F ` A ) <_ x ) ) )
64		ancom 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( `' F ` A ) <_ x /\ x F B ) <-> ( x F B /\ ( `' F ` A ) <_ x ) )
65	63, 64	syl6bbr 278	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( x = ( `' F ` B ) /\ ( `' F ` A ) <_ x ) <-> ( ( `' F ` A ) <_ x /\ x F B ) ) )
66	65	exbidv 1850	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( E. x ( x = ( `' F ` B ) /\ ( `' F ` A ) <_ x ) <-> E. x ( ( `' F ` A ) <_ x /\ x F B ) ) )
67	54, 66	syl5bbr 274	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) <-> E. x ( ( `' F ` A ) <_ x /\ x F B ) ) )
68	51, 67	bitr4d 271	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( `' F ` A ) ( F o. <_ ) B <-> ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) )
69	48, 68	syl5bb 272	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( E. x ( x = ( `' F ` A ) /\ x ( F o. <_ ) B ) <-> ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) )
70	31, 45, 69	3bitrd 294	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A .<_ B <-> ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) )
71	70	pm5.32da 673	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ A .<_ B ) <-> ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) ) )
72		df-3an 1039	. . 3 |- ( ( A e. X /\ B e. X /\ ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) <-> ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) )
73	71, 72	syl6bbr 278	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( A e. X /\ B e. X ) /\ A .<_ B ) <-> ( A e. X /\ B e. X /\ ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) ) )
74	29, 73	bitrd 268	1 |- ( N e. NN0 -> ( A .<_ B <-> ( A e. X /\ B e. X /\ ( `' F ` A ) <_ ( `' F ` B ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   o. ccom 5118   Rel wrel 5119   Fn wfn 5883   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   <_ cle 10075   NN0cn0 11292   ZZcz 11377  ..^cfzo 12465   Basecbs 15857   lecple 15948   ZRHomczrh 19848  ℤ/nℤczn 19851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-dvds 14984  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-imas 16168  df-qus 16169  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-rnghom 18715  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zn 19855

This theorem is referenced by:  znleval2  19904