Theorem 2503lem2 15845

Description: Lemma for 2503prm 15847. Calculate a power mod. We calculate 2↑19 = 2↑18 · 2≡1832 · 2 = 𝑁 + 1161, 2↑38 = (2↑19)↑2≡1161↑2 = 538𝑁 + 1307, 2↑39 = 2↑38 · 2≡1307 · 2 = 𝑁 + 111, 2↑78 = (2↑39)↑2≡111↑2 = 5𝑁 − 194, 2↑156 = (2↑78)↑2≡194↑2 = 15𝑁 + 91, 2↑312 = (2↑156)↑2≡91↑2 = 3𝑁 + 772, 2↑624 = (2↑312)↑2≡772↑2 = 238𝑁 + 270, 2↑1248 = (2↑624)↑2≡270↑2 = 29𝑁 + 313, 2↑1251 = 2↑1248 · 8≡313 · 8 = 𝑁 + 1 and finally 2↑(𝑁 − 1) = (2↑1251)↑2≡1↑2 = 1. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2503prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;2503

Assertion

Ref	Expression
2503lem2	⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)

Proof of Theorem 2503lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2503prm.1	. . 3 ⊢ 𝑁 = ;;;2503
2		2nn0 11309	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3		5nn0 11312	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℕ0
4	2, 3	deccl 11512	. . . . 5 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
5		0nn0 11307	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 11512	. . . 4 ⊢ ;;250 ∈ ℕ0
7		3nn 11186	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
8	6, 7	decnncl 11518	. . 3 ⊢ ;;;2503 ∈ ℕ
9	1, 8	eqeltri 2697	. 2 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
10		2nn 11185	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
11		1nn0 11308	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
12	11, 2	deccl 11512	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
13	12, 3	deccl 11512	. . 3 ⊢ ;;125 ∈ ℕ0
14	13, 11	deccl 11512	. 2 ⊢ ;;;1251 ∈ ℕ0
15		0z 11388	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
16		4nn0 11311	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
17	12, 16	deccl 11512	. . . 4 ⊢ ;;124 ∈ ℕ0
18		8nn0 11315	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ0
19	17, 18	deccl 11512	. . 3 ⊢ ;;;1248 ∈ ℕ0
20		1z 11407	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
21		3nn0 11310	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
22	21, 11	deccl 11512	. . . 4 ⊢ ;31 ∈ ℕ0
23	22, 21	deccl 11512	. . 3 ⊢ ;;313 ∈ ℕ0
24		6nn0 11313	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
25	24, 2	deccl 11512	. . . . 5 ⊢ ;62 ∈ ℕ0
26	25, 16	deccl 11512	. . . 4 ⊢ ;;624 ∈ ℕ0
27		9nn0 11316	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ0
28	2, 27	deccl 11512	. . . . 5 ⊢ ;29 ∈ ℕ0
29	28	nn0zi 11402	. . . 4 ⊢ ;29 ∈ ℤ
30		7nn0 11314	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℕ0
31	2, 30	deccl 11512	. . . . 5 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
32	31, 5	deccl 11512	. . . 4 ⊢ ;;270 ∈ ℕ0
33	22, 2	deccl 11512	. . . . 5 ⊢ ;;312 ∈ ℕ0
34	2, 21	deccl 11512	. . . . . . 7 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
35	34, 18	deccl 11512	. . . . . 6 ⊢ ;;238 ∈ ℕ0
36	35	nn0zi 11402	. . . . 5 ⊢ ;;238 ∈ ℤ
37	30, 30	deccl 11512	. . . . . 6 ⊢ ;77 ∈ ℕ0
38	37, 2	deccl 11512	. . . . 5 ⊢ ;;772 ∈ ℕ0
39	11, 3	deccl 11512	. . . . . . 7 ⊢ ;15 ∈ ℕ0
40	39, 24	deccl 11512	. . . . . 6 ⊢ ;;156 ∈ ℕ0
41	21	nn0zi 11402	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
42	27, 11	deccl 11512	. . . . . 6 ⊢ ;91 ∈ ℕ0
43	30, 18	deccl 11512	. . . . . . 7 ⊢ ;78 ∈ ℕ0
44	39	nn0zi 11402	. . . . . . 7 ⊢ ;15 ∈ ℤ
45	11, 27	deccl 11512	. . . . . . . 8 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
46		4nn 11187	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
47	45, 46	decnncl 11518	. . . . . . 7 ⊢ ;;194 ∈ ℕ
48	34, 5	deccl 11512	. . . . . . . 8 ⊢ ;;230 ∈ ℕ0
49	48, 27	deccl 11512	. . . . . . 7 ⊢ ;;;2309 ∈ ℕ0
50	21, 27	deccl 11512	. . . . . . . 8 ⊢ ;39 ∈ ℕ0
51	16	nn0zi 11402	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℤ
52	11, 11	deccl 11512	. . . . . . . . 9 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
53	52, 11	deccl 11512	. . . . . . . 8 ⊢ ;;111 ∈ ℕ0
54	21, 18	deccl 11512	. . . . . . . . 9 ⊢ ;38 ∈ ℕ0
55	11, 21	deccl 11512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
56	55, 5	deccl 11512	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;130 ∈ ℕ0
57	56, 30	deccl 11512	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;1307 ∈ ℕ0
58	3, 21	deccl 11512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;53 ∈ ℕ0
59	58, 18	deccl 11512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;538 ∈ ℕ0
60	59	nn0zi 11402	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;538 ∈ ℤ
61	52, 24	deccl 11512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;116 ∈ ℕ0
62	61, 11	deccl 11512	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;1161 ∈ ℕ0
63	11, 18	deccl 11512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;18 ∈ ℕ0
64	63, 21	deccl 11512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;183 ∈ ℕ0
65	64, 2	deccl 11512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;;1832 ∈ ℕ0
66	1	2503lem1 15844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2↑;18) mod 𝑁) = (;;;1832 mod 𝑁)
67		8p1e9 11158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 + 1) = 9
68		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;18 = ;18
69	11, 18, 67, 68	decsuc 11535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;18 + 1) = ;19
70		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;;;1161 = ;;;1161
71		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;;250 = ;;250
72	61	nn0cni 11304	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;;116 ∈ ℂ
73	72	addid1i 10223	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (;;116 + 0) = ;;116
74		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;25 = ;25
75	52	nn0cni 11304	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ;11 ∈ ℂ
76	75	addid1i 10223	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (;11 + 0) = ;11
77		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℂ
78	77	mulid2i 10043	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 · 2) = 2
79		1p0e1 11133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 + 0) = 1
80	78, 79	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 · 2) + (1 + 0)) = (2 + 1)
81		2p1e3 11151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 + 1) = 3
82	80, 81	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 · 2) + (1 + 0)) = 3
83		5cn 11100	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 5 ∈ ℂ
84	83	mulid2i 10043	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 · 5) = 5
85	84	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 · 5) + 1) = (5 + 1)
86		5p1e6 11155	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (5 + 1) = 6
87	24	dec0h 11522	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 6 = ;06
88	85, 86, 87	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 · 5) + 1) = ;06
89	2, 3, 11, 11, 74, 76, 11, 24, 5, 82, 88	decma2c 11568	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 · ;25) + (;11 + 0)) = ;36
90		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℂ
91	90	mul01i 10226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 · 0) = 0
92	91	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 · 0) + 6) = (0 + 6)
93		6cn 11102	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 6 ∈ ℂ
94	93	addid2i 10224	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 + 6) = 6
95	92, 94, 87	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 · 0) + 6) = ;06
96	4, 5, 52, 24, 71, 73, 11, 24, 5, 89, 95	decma2c 11568	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 · ;;250) + (;;116 + 0)) = ;;366
97		3cn 11095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℂ
98	97	mulid2i 10043	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 · 3) = 3
99	98	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 · 3) + 1) = (3 + 1)
100		3p1e4 11153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 + 1) = 4
101	16	dec0h 11522	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 = ;04
102	99, 100, 101	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 · 3) + 1) = ;04
103	6, 21, 61, 11, 1, 70, 11, 16, 5, 96, 102	decma2c 11568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 · 𝑁) + ;;;1161) = ;;;3664
104		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;;;1832 = ;;;1832
105		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;;183 = ;;183
106	78	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 · 2) + 1) = (2 + 1)
107	106, 81	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 · 2) + 1) = 3
108		8t2e16 11654	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (8 · 2) = ;16
109	2, 11, 18, 68, 24, 11, 107, 108	decmul1c 11587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (;18 · 2) = ;36
110		3t2e6 11179	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 · 2) = 6
111	2, 63, 21, 105, 24, 109, 110	decmul1 11585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;;183 · 2) = ;;366
112		2t2e4 11177	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 2) = 4
113	2, 64, 2, 104, 16, 111, 112	decmul1 11585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;;;1832 · 2) = ;;;3664
114	103, 113	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 · 𝑁) + ;;;1161) = (;;;1832 · 2)
115	9, 10, 63, 20, 65, 62, 66, 69, 114	modxp1i 15774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2↑;19) mod 𝑁) = (;;;1161 mod 𝑁)
116		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;19 = ;19
117		2t1e2 11176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 1) = 2
118	117	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 1) + 1) = (2 + 1)
119	118, 81	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 1) + 1) = 3
120		9cn 11108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 9 ∈ ℂ
121		9t2e18 11663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (9 · 2) = ;18
122	120, 77, 121	mulcomli 10047	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · 9) = ;18
123	2, 11, 27, 116, 18, 11, 119, 122	decmul2c 11589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · ;19) = ;38
124		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;;1307 = ;;;1307
125	11, 24	deccl 11512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
126	125, 2	deccl 11512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;162 ∈ ℕ0
127		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;;130 = ;;130
128		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;;162 = ;;162
129		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;13 = ;13
130		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;16 = ;16
131		1p1e2 11134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 + 1) = 2
132		6p3e9 11170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (6 + 3) = 9
133	93, 97, 132	addcomli 10228	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (3 + 6) = 9
134	11, 21, 11, 24, 129, 130, 131, 133	decadd 11570	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (;13 + ;16) = ;29
135	77	addid2i 10224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 2) = 2
136	55, 5, 125, 2, 127, 128, 134, 135	decadd 11570	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;;130 + ;;162) = ;;292
137	28	nn0cni 11304	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;29 ∈ ℂ
138	137	addid1i 10223	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (;29 + 0) = ;29
139	2, 24	deccl 11512	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;26 ∈ ℕ0
140	139, 27	deccl 11512	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;;269 ∈ ℕ0
141		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;;538 = ;;538
142	2	dec0h 11522	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 = ;02
143		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ;;269 = ;;269
144		6p1e7 11156	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (6 + 1) = 7
145	139	nn0cni 11304	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ;26 ∈ ℂ
146	145	addid2i 10224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0 + ;26) = ;26
147	2, 24, 144, 146	decsuc 11535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 + ;26) + 1) = ;27
148		9p2e11 11619	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (9 + 2) = ;11
149	120, 77, 148	addcomli 10228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 + 9) = ;11
150	5, 2, 139, 27, 142, 143, 147, 11, 149	decaddc 11572	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 + ;;269) = ;;271
151		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ;53 = ;53
152		7p1e8 11157	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (7 + 1) = 8
153		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ;27 = ;27
154	2, 30, 152, 153	decsuc 11535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (;27 + 1) = ;28
155	81	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((5 · 2) + (2 + 1)) = ((5 · 2) + 3)
156		5t2e10 11634	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (5 · 2) = ;10
157	97	addid2i 10224	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 + 3) = 3
158	11, 5, 21, 156, 157	decaddi 11579	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((5 · 2) + 3) = ;13
159	155, 158	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((5 · 2) + (2 + 1)) = ;13
160	110	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((3 · 2) + 8) = (6 + 8)
161		8cn 11106	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 8 ∈ ℂ
162		8p6e14 11616	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (8 + 6) = ;14
163	161, 93, 162	addcomli 10228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (6 + 8) = ;14
164	160, 163	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((3 · 2) + 8) = ;14
165	3, 21, 2, 18, 151, 154, 2, 16, 11, 159, 164	decmac 11566	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((;53 · 2) + (;27 + 1)) = ;;134
166	11, 24, 144, 108	decsuc 11535	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((8 · 2) + 1) = ;17
167	58, 18, 31, 11, 141, 150, 2, 30, 11, 165, 166	decmac 11566	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((;;538 · 2) + (2 + ;;269)) = ;;;1347
168	27	dec0h 11522	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 9 = ;09
169		4cn 11098	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 4 ∈ ℂ
170	169	addid2i 10224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0 + 4) = 4
171	170, 101	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 + 4) = ;04
172		0p1e1 11132	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 + 1) = 1
173	172	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((5 · 5) + (0 + 1)) = ((5 · 5) + 1)
174		5t5e25 11639	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (5 · 5) = ;25
175	2, 3, 86, 174	decsuc 11535	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((5 · 5) + 1) = ;26
176	173, 175	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((5 · 5) + (0 + 1)) = ;26
177		5t3e15 11635	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (5 · 3) = ;15
178	83, 97, 177	mulcomli 10047	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3 · 5) = ;15
179		5p4e9 11167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (5 + 4) = 9
180	11, 3, 16, 178, 179	decaddi 11579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((3 · 5) + 4) = ;19
181	3, 21, 5, 16, 151, 171, 3, 27, 11, 176, 180	decmac 11566	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((;53 · 5) + (0 + 4)) = ;;269
182		8t5e40 11657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (8 · 5) = ;40
183	120	addid2i 10224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 + 9) = 9
184	16, 5, 27, 182, 183	decaddi 11579	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((8 · 5) + 9) = ;49
185	58, 18, 5, 27, 141, 168, 3, 27, 16, 181, 184	decmac 11566	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((;;538 · 5) + 9) = ;;;2699
186	2, 3, 2, 27, 74, 138, 59, 27, 140, 167, 185	decma2c 11568	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((;;538 · ;25) + (;29 + 0)) = ;;;;13479
187	59	nn0cni 11304	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ;;538 ∈ ℂ
188	187	mul01i 10226	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (;;538 · 0) = 0
189	188	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((;;538 · 0) + 2) = (0 + 2)
190	189, 135, 142	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((;;538 · 0) + 2) = ;02
191	4, 5, 28, 2, 71, 136, 59, 2, 5, 186, 190	decma2c 11568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;;538 · ;;250) + (;;130 + ;;162)) = ;;;;;134792
192	30	dec0h 11522	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 7 = ;07
193	21	dec0h 11522	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 = ;03
194	157, 193	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 3) = ;03
195	172	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((5 · 3) + (0 + 1)) = ((5 · 3) + 1)
196	11, 3, 86, 177	decsuc 11535	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((5 · 3) + 1) = ;16
197	195, 196	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((5 · 3) + (0 + 1)) = ;16
198		3t3e9 11180	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (3 · 3) = 9
199	198	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((3 · 3) + 3) = (9 + 3)
200		9p3e12 11621	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (9 + 3) = ;12
201	199, 200	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((3 · 3) + 3) = ;12
202	3, 21, 5, 21, 151, 194, 21, 2, 11, 197, 201	decmac 11566	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((;53 · 3) + (0 + 3)) = ;;162
203		8t3e24 11655	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (8 · 3) = ;24
204		7cn 11104	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 7 ∈ ℂ
205		7p4e11 11605	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (7 + 4) = ;11
206	204, 169, 205	addcomli 10228	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 + 7) = ;11
207	2, 16, 30, 203, 81, 11, 206	decaddci 11580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((8 · 3) + 7) = ;31
208	58, 18, 5, 30, 141, 192, 21, 11, 21, 202, 207	decmac 11566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;;538 · 3) + 7) = ;;;1621
209	6, 21, 56, 30, 1, 124, 59, 11, 126, 191, 208	decma2c 11568	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;;538 · 𝑁) + ;;;1307) = ;;;;;;1347921
210		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;;116 = ;;116
211	24, 27	deccl 11512	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;69 ∈ ℕ0
212	211, 30	deccl 11512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;;697 ∈ ℕ0
213	30, 5	deccl 11512	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;70 ∈ ℕ0
214		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;11 = ;11
215		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;;697 = ;;697
216	11	dec0h 11522	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 = ;01
217		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ;69 = ;69
218	94	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0 + 6) + 1) = (6 + 1)
219	218, 144	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 + 6) + 1) = 7
220		9p1e10 11496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (9 + 1) = ;10
221	120, 90, 220	addcomli 10228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 + 9) = ;10
222	5, 11, 24, 27, 216, 217, 219, 221	decaddc2 11575	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 + ;69) = ;70
223	204, 90, 152	addcomli 10228	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 + 7) = 8
224	11, 11, 211, 30, 214, 215, 222, 223	decadd 11570	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (;11 + ;;697) = ;;708
225		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ;70 = ;70
226	5, 30, 11, 11, 192, 214, 172, 152	decadd 11570	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (7 + ;11) = ;18
227	30, 5, 52, 24, 225, 210, 226, 94	decadd 11570	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (;70 + ;;116) = ;;186
228	63	nn0cni 11304	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ;18 ∈ ℂ
229	228	addid1i 10223	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (;18 + 0) = ;18
230	131, 142	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 + 1) = ;02
231		1t1e1 11175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 · 1) = 1
232		00id 10211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0 + 0) = 0
233	231, 232	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 · 1) + (0 + 0)) = (1 + 0)
234	233, 79	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 · 1) + (0 + 0)) = 1
235	231	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 · 1) + 2) = (1 + 2)
236		1p2e3 11152	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 + 2) = 3
237	235, 236, 193	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 · 1) + 2) = ;03
238	11, 11, 5, 2, 214, 230, 11, 21, 5, 234, 237	decmac 11566	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((;11 · 1) + (1 + 1)) = ;13
239	93	mulid1i 10042	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (6 · 1) = 6
240	239	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((6 · 1) + 8) = (6 + 8)
241	240, 163	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((6 · 1) + 8) = ;14
242	52, 24, 11, 18, 210, 229, 11, 16, 11, 238, 241	decmac 11566	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((;;116 · 1) + (;18 + 0)) = ;;134
243	231	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 · 1) + 6) = (1 + 6)
244	93, 90, 144	addcomli 10228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 + 6) = 7
245	243, 244, 192	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 · 1) + 6) = ;07
246	61, 11, 63, 24, 70, 227, 11, 30, 5, 242, 245	decmac 11566	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((;;;1161 · 1) + (;70 + ;;116)) = ;;;1347
247	18	dec0h 11522	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 8 = ;08
248	5	dec0h 11522	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 = ;00
249	232, 248	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 + 0) = ;00
250	231	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 · 1) + 0) = (1 + 0)
251	250, 79	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 · 1) + 0) = 1
252	11, 11, 5, 5, 214, 249, 11, 251, 251	decma 11564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((;11 · 1) + (0 + 0)) = ;11
253	239	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((6 · 1) + 0) = (6 + 0)
254	93	addid1i 10223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (6 + 0) = 6
255	253, 254, 87	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((6 · 1) + 0) = ;06
256	52, 24, 5, 5, 210, 249, 11, 24, 5, 252, 255	decmac 11566	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((;;116 · 1) + (0 + 0)) = ;;116
257	231	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 · 1) + 8) = (1 + 8)
258	161, 90, 67	addcomli 10228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 + 8) = 9
259	257, 258, 168	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 · 1) + 8) = ;09
260	61, 11, 5, 18, 70, 247, 11, 27, 5, 256, 259	decmac 11566	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((;;;1161 · 1) + 8) = ;;;1169
261	11, 11, 213, 18, 214, 224, 62, 27, 61, 246, 260	decma2c 11568	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((;;;1161 · ;11) + (;11 + ;;697)) = ;;;;13479
262	172, 216	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 + 1) = ;01
263	93	mulid2i 10043	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 · 6) = 6
264	263, 232	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 · 6) + (0 + 0)) = (6 + 0)
265	264, 254	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 · 6) + (0 + 0)) = 6
266	263	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 · 6) + 3) = (6 + 3)
267	266, 132, 168	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 · 6) + 3) = ;09
268	11, 11, 5, 21, 214, 194, 24, 27, 5, 265, 267	decmac 11566	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((;11 · 6) + (0 + 3)) = ;69
269		6t6e36 11646	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (6 · 6) = ;36
270	21, 24, 144, 269	decsuc 11535	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((6 · 6) + 1) = ;37
271	52, 24, 5, 11, 210, 262, 24, 30, 21, 268, 270	decmac 11566	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((;;116 · 6) + (0 + 1)) = ;;697
272	263	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 · 6) + 6) = (6 + 6)
273		6p6e12 11602	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (6 + 6) = ;12
274	272, 273	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 · 6) + 6) = ;12
275	61, 11, 5, 24, 70, 87, 24, 2, 11, 271, 274	decmac 11566	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((;;;1161 · 6) + 6) = ;;;6972
276	52, 24, 52, 24, 210, 210, 62, 2, 212, 261, 275	decma2c 11568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;;;1161 · ;;116) + ;;116) = ;;;;;134792
277	62	nn0cni 11304	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;;;1161 ∈ ℂ
278	277	mulid1i 10042	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;;;1161 · 1) = ;;;1161
279	62, 61, 11, 70, 11, 61, 276, 278	decmul2c 11589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;;;1161 · ;;;1161) = ;;;;;;1347921
280	209, 279	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;;538 · 𝑁) + ;;;1307) = (;;;1161 · ;;;1161)
281	9, 10, 45, 60, 62, 57, 115, 123, 280	mod2xi 15773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑;38) mod 𝑁) = (;;;1307 mod 𝑁)
282		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;38 = ;38
283	21, 18, 67, 282	decsuc 11535	. . . . . . . . 9 ⊢ (;38 + 1) = ;39
284		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;111 = ;;111
285	79, 216	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 + 0) = ;01
286	78, 232	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = (2 + 0)
287	77	addid1i 10223	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 + 0) = 2
288	286, 287	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 0)) = 2
289	2, 3, 5, 11, 74, 285, 11, 24, 5, 288, 88	decma2c 11568	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 · ;25) + (1 + 0)) = ;26
290	91	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 · 0) + 1) = (0 + 1)
291	290, 172, 216	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 · 0) + 1) = ;01
292	4, 5, 11, 11, 71, 76, 11, 11, 5, 289, 291	decma2c 11568	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 · ;;250) + (;11 + 0)) = ;;261
293	6, 21, 52, 11, 1, 284, 11, 16, 5, 292, 102	decma2c 11568	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 · 𝑁) + ;;111) = ;;;2614
294	110	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((3 · 2) + 0) = (6 + 0)
295	294, 254, 87	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 · 2) + 0) = ;06
296	11, 21, 5, 5, 129, 249, 2, 24, 5, 288, 295	decmac 11566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;13 · 2) + (0 + 0)) = ;26
297	77	mul02i 10225	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 · 2) = 0
298	297	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 · 2) + 1) = (0 + 1)
299	298, 172, 216	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 · 2) + 1) = ;01
300	55, 5, 5, 11, 127, 216, 2, 11, 5, 296, 299	decmac 11566	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;;130 · 2) + 1) = ;;261
301		7t2e14 11648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (7 · 2) = ;14
302	2, 56, 30, 124, 16, 11, 300, 301	decmul1c 11587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;;;1307 · 2) = ;;;2614
303	293, 302	eqtr4i 2647	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 𝑁) + ;;111) = (;;;1307 · 2)
304	9, 10, 54, 20, 57, 53, 281, 283, 303	modxp1i 15774	. . . . . . . 8 ⊢ ((2↑;39) mod 𝑁) = (;;111 mod 𝑁)
305		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ ;39 = ;39
306	97, 77, 110	mulcomli 10047	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · 3) = 6
307	306	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 3) + 1) = (6 + 1)
308	307, 144	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 3) + 1) = 7
309	2, 21, 27, 305, 18, 11, 308, 122	decmul2c 11589	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · ;39) = ;78
310		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;2309 = ;;;2309
311		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;230 = ;;230
312	34, 5, 2, 311, 135	decaddi 11579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;;230 + 2) = ;;232
313	34	nn0cni 11304	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;23 ∈ ℂ
314	313	addid1i 10223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;23 + 0) = ;23
315		4t2e8 11181	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 · 2) = 8
316		2p2e4 11144	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 + 2) = 4
317	315, 316	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 · 2) + (2 + 2)) = (8 + 4)
318		8p4e12 11614	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (8 + 4) = ;12
319	317, 318	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 · 2) + (2 + 2)) = ;12
320		5t4e20 11637	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 · 4) = ;20
321	83, 169, 320	mulcomli 10047	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 · 5) = ;20
322	2, 5, 21, 321, 157	decaddi 11579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 · 5) + 3) = ;23
323	2, 3, 2, 21, 74, 314, 16, 21, 2, 319, 322	decma2c 11568	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((4 · ;25) + (;23 + 0)) = ;;123
324	169	mul01i 10226	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 · 0) = 0
325	324	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 · 0) + 2) = (0 + 2)
326	325, 135, 142	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((4 · 0) + 2) = ;02
327	4, 5, 34, 2, 71, 312, 16, 2, 5, 323, 326	decma2c 11568	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 · ;;250) + (;;230 + 2)) = ;;;1232
328		4t3e12 11632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 · 3) = ;12
329	11, 2, 27, 328, 131, 11, 149	decaddci 11580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 · 3) + 9) = ;21
330	6, 21, 48, 27, 1, 310, 16, 11, 2, 327, 329	decma2c 11568	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 · 𝑁) + ;;;2309) = ;;;;12321
331	5, 11, 11, 11, 216, 214, 172, 131	decadd 11570	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 + ;11) = ;12
332	231	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 · 1) + 1) = (1 + 1)
333	332, 131, 142	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 · 1) + 1) = ;02
334	11, 11, 5, 11, 214, 285, 11, 2, 5, 234, 333	decmac 11566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;11 · 1) + (1 + 0)) = ;12
335	52, 11, 11, 2, 284, 331, 11, 21, 5, 334, 237	decmac 11566	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;;111 · 1) + (1 + ;11)) = ;;123
336	52, 11, 5, 11, 284, 216, 11, 2, 5, 252, 333	decmac 11566	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;;111 · 1) + 1) = ;;112
337	11, 11, 11, 11, 214, 214, 53, 2, 52, 335, 336	decma2c 11568	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;;111 · ;11) + ;11) = ;;;1232
338	53	nn0cni 11304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;111 ∈ ℂ
339	338	mulid1i 10042	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;;111 · 1) = ;;111
340	53, 52, 11, 284, 11, 52, 337, 339	decmul2c 11589	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;111 · ;;111) = ;;;;12321
341	330, 340	eqtr4i 2647	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 · 𝑁) + ;;;2309) = (;;111 · ;;111)
342	9, 10, 50, 51, 53, 49, 304, 309, 341	mod2xi 15773	. . . . . . 7 ⊢ ((2↑;78) mod 𝑁) = (;;;2309 mod 𝑁)
343		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ ;78 = ;78
344		4p1e5 11154	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 + 1) = 5
345	204, 77, 301	mulcomli 10047	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 7) = ;14
346	11, 16, 344, 345	decsuc 11535	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 7) + 1) = ;15
347	161, 77, 108	mulcomli 10047	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 8) = ;16
348	2, 30, 18, 343, 24, 11, 346, 347	decmul2c 11589	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ;78) = ;;156
349		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;194 = ;;194
350	2, 16	deccl 11512	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;24 ∈ ℕ0
351		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;24 = ;24
352	2, 16, 344, 351	decsuc 11535	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;24 + 1) = ;25
353		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;23 = ;23
354	2, 21, 100, 353	decsuc 11535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;23 + 1) = ;24
355	34, 5, 11, 27, 311, 116, 354, 183	decadd 11570	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;;230 + ;19) = ;;249
356	350, 352, 355	decsucc 11550	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;;230 + ;19) + 1) = ;;250
357		9p4e13 11622	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 4) = ;13
358	48, 27, 45, 16, 310, 349, 356, 21, 357	decaddc 11572	. . . . . . . 8 ⊢ (;;;2309 + ;;194) = ;;;2503
359	358, 1	eqtr4i 2647	. . . . . . 7 ⊢ (;;;2309 + ;;194) = 𝑁
360		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ ;91 = ;91
361		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;15 = ;15
362	204	addid2i 10224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 7) = 7
363	362, 192	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 7) = ;07
364	78, 172	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = (2 + 1)
365	364, 81	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 · 2) + (0 + 1)) = 3
366	11, 5, 30, 156, 362	decaddi 11579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 · 2) + 7) = ;17
367	11, 3, 5, 30, 361, 363, 2, 30, 11, 365, 366	decmac 11566	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;15 · 2) + (0 + 7)) = ;37
368	84, 135	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 · 5) + (0 + 2)) = (5 + 2)
369		5p2e7 11165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 + 2) = 7
370	368, 369	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 · 5) + (0 + 2)) = 7
371	11, 3, 5, 11, 361, 216, 3, 24, 2, 370, 175	decmac 11566	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;15 · 5) + 1) = ;76
372	2, 3, 5, 11, 74, 285, 39, 24, 30, 367, 371	decma2c 11568	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;15 · ;25) + (1 + 0)) = ;;376
373	39	nn0cni 11304	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;15 ∈ ℂ
374	373	mul01i 10226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;15 · 0) = 0
375	374	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;15 · 0) + 3) = (0 + 3)
376	375, 157, 193	3eqtri 2648	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;15 · 0) + 3) = ;03
377	4, 5, 11, 21, 71, 357, 39, 21, 5, 372, 376	decma2c 11568	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;15 · ;;250) + (9 + 4)) = ;;;3763
378	98, 172	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = (3 + 1)
379	378, 100	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 · 3) + (0 + 1)) = 4
380	11, 3, 5, 11, 361, 216, 21, 24, 11, 379, 196	decmac 11566	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;15 · 3) + 1) = ;46
381	6, 21, 27, 11, 1, 360, 39, 24, 16, 377, 380	decma2c 11568	. . . . . . . 8 ⊢ ((;15 · 𝑁) + ;91) = ;;;;37636
382	45, 16	deccl 11512	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;194 ∈ ℕ0
383		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;77 = ;77
384	11, 30	deccl 11512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;17 ∈ ℕ0
385	384, 3	deccl 11512	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;175 ∈ ℕ0
386		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;175 = ;;175
387	384	nn0cni 11304	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;17 ∈ ℂ
388	387	addid2i 10224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + ;17) = ;17
389	11, 30, 152, 388	decsuc 11535	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 + ;17) + 1) = ;18
390		7p5e12 11607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (7 + 5) = ;12
391	5, 30, 384, 3, 192, 386, 389, 2, 390	decaddc 11572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (7 + ;;175) = ;;182
392	231, 131	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 · 1) + (1 + 1)) = (1 + 2)
393	392, 236	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 · 1) + (1 + 1)) = 3
394	120	mulid1i 10042	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (9 · 1) = 9
395	394	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((9 · 1) + 8) = (9 + 8)
396		9p8e17 11626	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (9 + 8) = ;17
397	395, 396	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((9 · 1) + 8) = ;17
398	11, 27, 11, 18, 116, 229, 11, 30, 11, 393, 397	decmac 11566	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;19 · 1) + (;18 + 0)) = ;37
399	169	mulid1i 10042	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 · 1) = 4
400	399	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 · 1) + 2) = (4 + 2)
401		4p2e6 11162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 + 2) = 6
402	400, 401, 87	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((4 · 1) + 2) = ;06
403	45, 16, 63, 2, 349, 391, 11, 24, 5, 398, 402	decmac 11566	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;;194 · 1) + (7 + ;;175)) = ;;376
404	120	mulid2i 10043	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 · 9) = 9
405	161	addid2i 10224	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 8) = 8
406	404, 405	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 · 9) + (0 + 8)) = (9 + 8)
407	406, 396	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 · 9) + (0 + 8)) = ;17
408		9t9e81 11670	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (9 · 9) = ;81
409	169, 90, 344	addcomli 10228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 + 4) = 5
410	18, 11, 16, 408, 409	decaddi 11579	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((9 · 9) + 4) = ;85
411	11, 27, 5, 16, 116, 171, 27, 3, 18, 407, 410	decmac 11566	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;19 · 9) + (0 + 4)) = ;;175
412		9t4e36 11665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (9 · 4) = ;36
413	120, 169, 412	mulcomli 10047	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · 9) = ;36
414		7p6e13 11608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (7 + 6) = ;13
415	204, 93, 414	addcomli 10228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 + 7) = ;13
416	21, 24, 30, 413, 100, 21, 415	decaddci 11580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((4 · 9) + 7) = ;43
417	45, 16, 5, 30, 349, 192, 27, 21, 16, 411, 416	decmac 11566	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;;194 · 9) + 7) = ;;;1753
418	11, 27, 30, 30, 116, 383, 382, 21, 385, 403, 417	decma2c 11568	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;;194 · ;19) + ;77) = ;;;3763
419	169	mulid2i 10043	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 · 4) = 4
420	419, 157	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 · 4) + (0 + 3)) = (4 + 3)
421		4p3e7 11163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 + 3) = 7
422	420, 421	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 · 4) + (0 + 3)) = 7
423	21, 24, 144, 412	decsuc 11535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((9 · 4) + 1) = ;37
424	11, 27, 5, 11, 116, 216, 16, 30, 21, 422, 423	decmac 11566	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;19 · 4) + 1) = ;77
425		4t4e16 11633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · 4) = ;16
426	16, 45, 16, 349, 24, 11, 424, 425	decmul1c 11587	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;194 · 4) = ;;776
427	382, 45, 16, 349, 24, 37, 418, 426	decmul2c 11589	. . . . . . . 8 ⊢ (;;194 · ;;194) = ;;;;37636
428	381, 427	eqtr4i 2647	. . . . . . 7 ⊢ ((;15 · 𝑁) + ;91) = (;;194 · ;;194)
429	10, 43, 44, 47, 42, 49, 342, 348, 359, 428	mod2xnegi 15775	. . . . . 6 ⊢ ((2↑;;156) mod 𝑁) = (;91 mod 𝑁)
430		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ ;;156 = ;;156
431	117, 172	oveq12i 6662	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 1) + (0 + 1)) = (2 + 1)
432	431, 81	eqtri 2644	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 1) + (0 + 1)) = 3
433	83, 77, 156	mulcomli 10047	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 5) = ;10
434	11, 5, 172, 433	decsuc 11535	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 5) + 1) = ;11
435	11, 3, 5, 11, 361, 216, 2, 11, 11, 432, 434	decma2c 11568	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · ;15) + 1) = ;31
436		6t2e12 11641	. . . . . . . 8 ⊢ (6 · 2) = ;12
437	93, 77, 436	mulcomli 10047	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 6) = ;12
438	2, 39, 24, 430, 2, 11, 435, 437	decmul2c 11589	. . . . . 6 ⊢ (2 · ;;156) = ;;312
439		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ ;;772 = ;;772
440	30, 30, 152, 383	decsuc 11535	. . . . . . . . 9 ⊢ (;77 + 1) = ;78
441	204	addid1i 10223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (7 + 0) = 7
442	441, 192	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 + 0) = ;07
443	110, 135	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 · 2) + (0 + 2)) = (6 + 2)
444		6p2e8 11169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (6 + 2) = 8
445	443, 444	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 · 2) + (0 + 2)) = 8
446	204, 83, 390	addcomli 10228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 + 7) = ;12
447	11, 3, 30, 178, 131, 2, 446	decaddci 11580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 · 5) + 7) = ;22
448	2, 3, 5, 30, 74, 442, 21, 2, 2, 445, 447	decma2c 11568	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 · ;25) + (7 + 0)) = ;82
449	97	mul01i 10226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 · 0) = 0
450	449	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 · 0) + 8) = (0 + 8)
451	450, 405, 247	3eqtri 2648	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 · 0) + 8) = ;08
452	4, 5, 30, 18, 71, 440, 21, 18, 5, 448, 451	decma2c 11568	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 · ;;250) + (;77 + 1)) = ;;828
453	198	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 · 3) + 2) = (9 + 2)
454	453, 148	eqtri 2644	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 · 3) + 2) = ;11
455	6, 21, 37, 2, 1, 439, 21, 11, 11, 452, 454	decma2c 11568	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 𝑁) + ;;772) = ;;;8281
456	18, 11, 131, 408	decsuc 11535	. . . . . . . . 9 ⊢ ((9 · 9) + 1) = ;82
457	404	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 · 9) + 9) = (9 + 9)
458		9p9e18 11627	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9 + 9) = ;18
459	457, 458	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 9) + 9) = ;18
460	27, 11, 27, 360, 27, 18, 11, 456, 459	decrmac 11577	. . . . . . . 8 ⊢ ((;91 · 9) + 9) = ;;828
461	42	nn0cni 11304	. . . . . . . . 9 ⊢ ;91 ∈ ℂ
462	461	mulid1i 10042	. . . . . . . 8 ⊢ (;91 · 1) = ;91
463	42, 27, 11, 360, 11, 27, 460, 462	decmul2c 11589	. . . . . . 7 ⊢ (;91 · ;91) = ;;;8281
464	455, 463	eqtr4i 2647	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 𝑁) + ;;772) = (;91 · ;91)
465	9, 10, 40, 41, 42, 38, 429, 438, 464	mod2xi 15773	. . . . 5 ⊢ ((2↑;;312) mod 𝑁) = (;;772 mod 𝑁)
466		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ ;;312 = ;;312
467		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ ;31 = ;31
468	306	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 3) + 0) = (6 + 0)
469	468, 254	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 3) + 0) = 6
470	117, 142	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 1) = ;02
471	2, 21, 11, 467, 2, 5, 469, 470	decmul2c 11589	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · ;31) = ;62
472	471	oveq1i 6660	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · ;31) + 0) = (;62 + 0)
473	25	nn0cni 11304	. . . . . . . 8 ⊢ ;62 ∈ ℂ
474	473	addid1i 10223	. . . . . . 7 ⊢ (;62 + 0) = ;62
475	472, 474	eqtri 2644	. . . . . 6 ⊢ ((2 · ;31) + 0) = ;62
476	112, 101	eqtri 2644	. . . . . 6 ⊢ (2 · 2) = ;04
477	2, 22, 2, 466, 16, 5, 475, 476	decmul2c 11589	. . . . 5 ⊢ (2 · ;;312) = ;;624
478		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ ;;270 = ;;270
479	30, 11	deccl 11512	. . . . . . 7 ⊢ ;71 ∈ ℕ0
480		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ ;71 = ;71
481		7p2e9 11172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 + 2) = 9
482	204, 77, 481	addcomli 10228	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 + 7) = 9
483	2, 30, 30, 11, 153, 480, 482, 152	decadd 11570	. . . . . . . 8 ⊢ (;27 + ;71) = ;98
484	120	addid1i 10223	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9 + 0) = 9
485	484, 168	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 0) = ;09
486	52, 27	deccl 11512	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;119 ∈ ℕ0
487		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;238 = ;;238
488	486	nn0cni 11304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;119 ∈ ℂ
489	488	addid2i 10224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + ;;119) = ;;119
490	11, 11, 2, 214, 236	decaddi 11579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;11 + 2) = ;13
491	112, 79	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 2) + (1 + 0)) = (4 + 1)
492	491, 344	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 2) + (1 + 0)) = 5
493	110	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 · 2) + 3) = (6 + 3)
494	493, 132, 168	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 · 2) + 3) = ;09
495	2, 21, 11, 21, 353, 490, 2, 27, 5, 492, 494	decmac 11566	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;23 · 2) + (;11 + 2)) = ;59
496		9p6e15 11624	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (9 + 6) = ;15
497	120, 93, 496	addcomli 10228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (6 + 9) = ;15
498	11, 24, 27, 108, 131, 3, 497	decaddci 11580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((8 · 2) + 9) = ;25
499	34, 18, 52, 27, 487, 489, 2, 3, 2, 495, 498	decmac 11566	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;;238 · 2) + (0 + ;;119)) = ;;595
500	172	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 5) + (0 + 1)) = ((2 · 5) + 1)
501	500, 434	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 5) + (0 + 1)) = ;11
502	2, 21, 5, 16, 353, 171, 3, 27, 11, 501, 180	decmac 11566	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;23 · 5) + (0 + 4)) = ;;119
503	34, 18, 5, 27, 487, 168, 3, 27, 16, 502, 184	decmac 11566	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;;238 · 5) + 9) = ;;;1199
504	2, 3, 5, 27, 74, 485, 35, 27, 486, 499, 503	decma2c 11568	. . . . . . . 8 ⊢ ((;;238 · ;25) + (9 + 0)) = ;;;5959
505	35	nn0cni 11304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;238 ∈ ℂ
506	505	mul01i 10226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;;238 · 0) = 0
507	506	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;;238 · 0) + 8) = (0 + 8)
508	507, 405, 247	3eqtri 2648	. . . . . . . 8 ⊢ ((;;238 · 0) + 8) = ;08
509	4, 5, 27, 18, 71, 483, 35, 18, 5, 504, 508	decma2c 11568	. . . . . . 7 ⊢ ((;;238 · ;;250) + (;27 + ;71)) = ;;;;59598
510	306, 172	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 3) + (0 + 1)) = (6 + 1)
511	510, 144	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 3) + (0 + 1)) = 7
512	2, 21, 5, 2, 353, 142, 21, 11, 11, 511, 454	decmac 11566	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;23 · 3) + 2) = ;71
513	21, 34, 18, 487, 16, 2, 512, 203	decmul1c 11587	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;238 · 3) = ;;714
514	513	oveq1i 6660	. . . . . . . 8 ⊢ ((;;238 · 3) + 0) = (;;714 + 0)
515	479, 16	deccl 11512	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;714 ∈ ℕ0
516	515	nn0cni 11304	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;714 ∈ ℂ
517	516	addid1i 10223	. . . . . . . 8 ⊢ (;;714 + 0) = ;;714
518	514, 517	eqtri 2644	. . . . . . 7 ⊢ ((;;238 · 3) + 0) = ;;714
519	6, 21, 31, 5, 1, 478, 35, 16, 479, 509, 518	decma2c 11568	. . . . . 6 ⊢ ((;;238 · 𝑁) + ;;270) = ;;;;;595984
520	39, 16	deccl 11512	. . . . . . 7 ⊢ ;;154 ∈ ℕ0
521		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ ;;154 = ;;154
522	3, 16	deccl 11512	. . . . . . . . 9 ⊢ ;54 ∈ ℕ0
523	522, 5	deccl 11512	. . . . . . . 8 ⊢ ;;540 ∈ ℕ0
524	3, 3	deccl 11512	. . . . . . . . 9 ⊢ ;55 ∈ ℕ0
525		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;540 = ;;540
526		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;54 = ;54
527	83	addid2i 10224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 5) = 5
528	5, 11, 3, 16, 216, 526, 527, 409	decadd 11570	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + ;54) = ;55
529	83	addid1i 10223	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 + 0) = 5
530	11, 3, 522, 5, 361, 525, 528, 529	decadd 11570	. . . . . . . . 9 ⊢ (;15 + ;;540) = ;;555
531		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;55 = ;55
532	3, 3, 86, 531	decsuc 11535	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;55 + 1) = ;56
533		7t7e49 11653	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (7 · 7) = ;49
534		5p5e10 11596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 + 5) = ;10
535	16, 27, 11, 5, 533, 534, 344, 484	decadd 11570	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 · 7) + (5 + 5)) = ;59
536	16, 27, 24, 533, 344, 3, 496	decaddci 11580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 · 7) + 6) = ;55
537	30, 30, 3, 24, 383, 532, 30, 3, 3, 535, 536	decmac 11566	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;77 · 7) + (;55 + 1)) = ;;595
538	83, 169, 179	addcomli 10228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 5) = 9
539	11, 16, 3, 345, 538	decaddi 11579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 7) + 5) = ;19
540	37, 2, 524, 3, 439, 530, 30, 27, 11, 537, 539	decmac 11566	. . . . . . . 8 ⊢ ((;;772 · 7) + (;15 + ;;540)) = ;;;5959
541	527	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((7 · 7) + (0 + 5)) = ((7 · 7) + 5)
542		9p5e14 11623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (9 + 5) = ;14
543	16, 27, 3, 533, 344, 16, 542	decaddci 11580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((7 · 7) + 5) = ;54
544	541, 543	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 · 7) + (0 + 5)) = ;54
545	16, 344, 533	decsucc 11550	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((7 · 7) + 1) = ;50
546	30, 30, 5, 11, 383, 262, 30, 5, 3, 544, 545	decmac 11566	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;77 · 7) + (0 + 1)) = ;;540
547		4p4e8 11164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 4) = 8
548	11, 16, 16, 345, 547	decaddi 11579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 7) + 4) = ;18
549	37, 2, 5, 16, 439, 101, 30, 18, 11, 546, 548	decmac 11566	. . . . . . . 8 ⊢ ((;;772 · 7) + 4) = ;;;5408
550	30, 30, 39, 16, 383, 521, 38, 18, 523, 540, 549	decma2c 11568	. . . . . . 7 ⊢ ((;;772 · ;77) + ;;154) = ;;;;59598
551	11, 16, 344, 301	decsuc 11535	. . . . . . . . 9 ⊢ ((7 · 2) + 1) = ;15
552	2, 30, 30, 383, 16, 11, 551, 301	decmul1c 11587	. . . . . . . 8 ⊢ (;77 · 2) = ;;154
553	2, 37, 2, 439, 16, 552, 112	decmul1 11585	. . . . . . 7 ⊢ (;;772 · 2) = ;;;1544
554	38, 37, 2, 439, 16, 520, 550, 553	decmul2c 11589	. . . . . 6 ⊢ (;;772 · ;;772) = ;;;;;595984
555	519, 554	eqtr4i 2647	. . . . 5 ⊢ ((;;238 · 𝑁) + ;;270) = (;;772 · ;;772)
556	9, 10, 33, 36, 38, 32, 465, 477, 555	mod2xi 15773	. . . 4 ⊢ ((2↑;;624) mod 𝑁) = (;;270 mod 𝑁)
557		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ ;;624 = ;;624
558		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ ;62 = ;62
559	437	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 6) + 0) = (;12 + 0)
560	12	nn0cni 11304	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;12 ∈ ℂ
561	560	addid1i 10223	. . . . . . . . 9 ⊢ (;12 + 0) = ;12
562	559, 561	eqtri 2644	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 6) + 0) = ;12
563	2, 24, 2, 558, 16, 5, 562, 476	decmul2c 11589	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ;62) = ;;124
564	563	oveq1i 6660	. . . . . 6 ⊢ ((2 · ;62) + 0) = (;;124 + 0)
565	17	nn0cni 11304	. . . . . . 7 ⊢ ;;124 ∈ ℂ
566	565	addid1i 10223	. . . . . 6 ⊢ (;;124 + 0) = ;;124
567	564, 566	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ ((2 · ;62) + 0) = ;;124
568	169, 77, 315	mulcomli 10047	. . . . . 6 ⊢ (2 · 4) = 8
569	568, 247	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ (2 · 4) = ;08
570	2, 25, 16, 557, 18, 5, 567, 569	decmul2c 11589	. . . 4 ⊢ (2 · ;;624) = ;;;1248
571		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ ;;313 = ;;313
572	21, 11, 27, 467, 100, 221	decaddci2 11581	. . . . . . 7 ⊢ (;31 + 9) = ;40
573	169	addid1i 10223	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 + 0) = 4
574	573, 101	eqtri 2644	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 0) = ;04
575	11, 16	deccl 11512	. . . . . . . 8 ⊢ ;14 ∈ ℕ0
576		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ ;29 = ;29
577	575	nn0cni 11304	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;14 ∈ ℂ
578	577	addid2i 10224	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 + ;14) = ;14
579	112, 236	oveq12i 6662	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 2) + (1 + 2)) = (4 + 3)
580	579, 421	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 2) + (1 + 2)) = 7
581	11, 18, 16, 121, 131, 2, 318	decaddci 11580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((9 · 2) + 4) = ;22
582	2, 27, 11, 16, 576, 578, 2, 2, 2, 580, 581	decmac 11566	. . . . . . . 8 ⊢ ((;29 · 2) + (0 + ;14)) = ;72
583	11, 5, 16, 433, 170	decaddi 11579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 5) + 4) = ;14
584		9t5e45 11666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9 · 5) = ;45
585	16, 3, 16, 584, 179	decaddi 11579	. . . . . . . . 9 ⊢ ((9 · 5) + 4) = ;49
586	2, 27, 16, 576, 3, 27, 16, 583, 585	decrmac 11577	. . . . . . . 8 ⊢ ((;29 · 5) + 4) = ;;149
587	2, 3, 5, 16, 74, 574, 28, 27, 575, 582, 586	decma2c 11568	. . . . . . 7 ⊢ ((;29 · ;25) + (4 + 0)) = ;;729
588	137	mul01i 10226	. . . . . . . . 9 ⊢ (;29 · 0) = 0
589	588	oveq1i 6660	. . . . . . . 8 ⊢ ((;29 · 0) + 0) = (0 + 0)
590	589, 232, 248	3eqtri 2648	. . . . . . 7 ⊢ ((;29 · 0) + 0) = ;00
591	4, 5, 16, 5, 71, 572, 28, 5, 5, 587, 590	decma2c 11568	. . . . . 6 ⊢ ((;29 · ;;250) + (;31 + 9)) = ;;;7290
592	306, 157	oveq12i 6662	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 3) + (0 + 3)) = (6 + 3)
593	592, 132	eqtri 2644	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 3) + (0 + 3)) = 9
594		9t3e27 11664	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 3) = ;27
595		7p3e10 11603	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 3) = ;10
596	2, 30, 21, 594, 81, 595	decaddci2 11581	. . . . . . 7 ⊢ ((9 · 3) + 3) = ;30
597	2, 27, 5, 21, 576, 193, 21, 5, 21, 593, 596	decmac 11566	. . . . . 6 ⊢ ((;29 · 3) + 3) = ;90
598	6, 21, 22, 21, 1, 571, 28, 5, 27, 591, 597	decma2c 11568	. . . . 5 ⊢ ((;29 · 𝑁) + ;;313) = ;;;;72900
599	63, 27	deccl 11512	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;189 ∈ ℕ0
600		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;189 = ;;189
601	161, 169, 318	addcomli 10228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 + 8) = ;12
602	11, 16, 18, 301, 131, 2, 601	decaddci 11580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((7 · 2) + 8) = ;22
603	2, 30, 11, 18, 153, 229, 2, 2, 2, 580, 602	decmac 11566	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;27 · 2) + (;18 + 0)) = ;72
604	297	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 · 2) + 9) = (0 + 9)
605	604, 183, 168	3eqtri 2648	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 · 2) + 9) = ;09
606	31, 5, 63, 27, 478, 600, 2, 27, 5, 603, 605	decmac 11566	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;;270 · 2) + ;;189) = ;;729
607	30, 2, 30, 153, 27, 16, 548, 533	decmul1c 11587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;27 · 7) = ;;189
608	204	mul02i 10225	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 · 7) = 0
609	30, 31, 5, 478, 5, 607, 608	decmul1 11585	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;270 · 7) = ;;;1890
610	32, 2, 30, 153, 5, 599, 606, 609	decmul2c 11589	. . . . . . . 8 ⊢ (;;270 · ;27) = ;;;7290
611	610	oveq1i 6660	. . . . . . 7 ⊢ ((;;270 · ;27) + 0) = (;;;7290 + 0)
612	30, 2	deccl 11512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;72 ∈ ℕ0
613	612, 27	deccl 11512	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;729 ∈ ℕ0
614	613, 5	deccl 11512	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;7290 ∈ ℕ0
615	614	nn0cni 11304	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;7290 ∈ ℂ
616	615	addid1i 10223	. . . . . . 7 ⊢ (;;;7290 + 0) = ;;;7290
617	611, 616	eqtri 2644	. . . . . 6 ⊢ ((;;270 · ;27) + 0) = ;;;7290
618	32	nn0cni 11304	. . . . . . . 8 ⊢ ;;270 ∈ ℂ
619	618	mul01i 10226	. . . . . . 7 ⊢ (;;270 · 0) = 0
620	619, 248	eqtri 2644	. . . . . 6 ⊢ (;;270 · 0) = ;00
621	32, 31, 5, 478, 5, 5, 617, 620	decmul2c 11589	. . . . 5 ⊢ (;;270 · ;;270) = ;;;;72900
622	598, 621	eqtr4i 2647	. . . 4 ⊢ ((;29 · 𝑁) + ;;313) = (;;270 · ;;270)
623	9, 10, 26, 29, 32, 23, 556, 570, 622	mod2xi 15773	. . 3 ⊢ ((2↑;;;1248) mod 𝑁) = (;;313 mod 𝑁)
624		cu2 12963	. . . 4 ⊢ (2↑3) = 8
625	624	oveq1i 6660	. . 3 ⊢ ((2↑3) mod 𝑁) = (8 mod 𝑁)
626		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;;;1248 = ;;;1248
627		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ ;;124 = ;;124
628	12, 16, 344, 627	decsuc 11535	. . . 4 ⊢ (;;124 + 1) = ;;125
629		8p3e11 11612	. . . 4 ⊢ (8 + 3) = ;11
630	17, 18, 21, 626, 628, 11, 629	decaddci 11580	. . 3 ⊢ (;;;1248 + 3) = ;;;1251
631	9	nncni 11030	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
632	631	mulid2i 10043	. . . . . 6 ⊢ (1 · 𝑁) = 𝑁
633	632, 1	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ (1 · 𝑁) = ;;;2503
634	6, 21, 100, 633	decsuc 11535	. . . 4 ⊢ ((1 · 𝑁) + 1) = ;;;2504
635	161, 97, 203	mulcomli 10047	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 8) = ;24
636	2, 16, 344, 635	decsuc 11535	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 8) + 1) = ;25
637	161	mulid2i 10043	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 8) = 8
638	637	oveq1i 6660	. . . . . . 7 ⊢ ((1 · 8) + 2) = (8 + 2)
639		8p2e10 11610	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 2) = ;10
640	638, 639	eqtri 2644	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 8) + 2) = ;10
641	21, 11, 2, 467, 18, 5, 11, 636, 640	decrmac 11577	. . . . 5 ⊢ ((;31 · 8) + 2) = ;;250
642	18, 22, 21, 571, 16, 2, 641, 635	decmul1c 11587	. . . 4 ⊢ (;;313 · 8) = ;;;2504
643	634, 642	eqtr4i 2647	. . 3 ⊢ ((1 · 𝑁) + 1) = (;;313 · 8)
644	9, 10, 19, 20, 23, 11, 21, 18, 623, 625, 630, 643	modxai 15772	. 2 ⊢ ((2↑;;;1251) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
645		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;;;1251 = ;;;1251
646		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ ;;125 = ;;125
647		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ ;12 = ;12
648	117, 232	oveq12i 6662	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 1) + (0 + 0)) = (2 + 0)
649	648, 287	eqtri 2644	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + (0 + 0)) = 2
650	112	oveq1i 6660	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
651	3	dec0h 11522	. . . . . . . 8 ⊢ 5 = ;05
652	650, 344, 651	3eqtri 2648	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + 1) = ;05
653	11, 2, 5, 11, 647, 216, 2, 3, 5, 649, 652	decma2c 11568	. . . . . 6 ⊢ ((2 · ;12) + 1) = ;25
654	2, 12, 3, 646, 5, 11, 653, 433	decmul2c 11589	. . . . 5 ⊢ (2 · ;;125) = ;;250
655	4, 5, 5, 654, 232	decaddi 11579	. . . 4 ⊢ ((2 · ;;125) + 0) = ;;250
656	2, 13, 11, 645, 2, 5, 655, 470	decmul2c 11589	. . 3 ⊢ (2 · ;;;1251) = ;;;2502
657	6, 2	deccl 11512	. . . . 5 ⊢ ;;;2502 ∈ ℕ0
658	657	nn0cni 11304	. . . 4 ⊢ ;;;2502 ∈ ℂ
659		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ ;;;2502 = ;;;2502
660	6, 2, 81, 659	decsuc 11535	. . . . 5 ⊢ (;;;2502 + 1) = ;;;2503
661	1, 660	eqtr4i 2647	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (;;;2502 + 1)
662	658, 90, 661	mvrraddi 10298	. . 3 ⊢ (𝑁 − 1) = ;;;2502
663	656, 662	eqtr4i 2647	. 2 ⊢ (2 · ;;;1251) = (𝑁 − 1)
664	631	mul02i 10225	. . . 4 ⊢ (0 · 𝑁) = 0
665	664	oveq1i 6660	. . 3 ⊢ ((0 · 𝑁) + 1) = (0 + 1)
666	231, 172	eqtr4i 2647	. . 3 ⊢ (1 · 1) = (0 + 1)
667	665, 666	eqtr4i 2647	. 2 ⊢ ((0 · 𝑁) + 1) = (1 · 1)
668	9, 10, 14, 15, 11, 11, 644, 663, 667	mod2xi 15773	1 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)

Syntax hints:   = wceq 1483  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   − cmin 10266  ℕcn 11020  2c2 11070  3c3 11071  4c4 11072  5c5 11073  6c6 11074  7c7 11075  8c8 11076  9c9 11077  ;cdc 11493   mod cmo 12668  ↑cexp 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861

This theorem is referenced by:  2503prm  15847