Theorem 257prm 41473

Description: 257 is a prime number (the fourth Fermat prime). (Contributed by AV, 15-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
257prm	⊢ ;;257 ∈ ℙ

Proof of Theorem 257prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 11309	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		5nn0 11312	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 11512	. . 3 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
4		7nn 11190	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ
5	3, 4	decnncl 11518	. 2 ⊢ ;;257 ∈ ℕ
6		8nn0 11315	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ0
7		4nn0 11311	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ0
8		7nn0 11314	. . 3 ⊢ 7 ∈ ℕ0
9		1nn0 11308	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10		2lt8 11220	. . 3 ⊢ 2 < 8
11		5lt10 11677	. . 3 ⊢ 5 < ;10
12		7lt10 11675	. . 3 ⊢ 7 < ;10
13	1, 6, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12	3decltc 11538	. 2 ⊢ ;;257 < ;;841
14		5nn 11188	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ
15	1, 14	decnncl 11518	. . 3 ⊢ ;25 ∈ ℕ
16		1lt10 11681	. . 3 ⊢ 1 < ;10
17	15, 8, 9, 16	declti 11546	. 2 ⊢ 1 < ;;257
18		3nn0 11310	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
19		3t2e6 11179	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
20		df-7 11084	. . 3 ⊢ 7 = (6 + 1)
21	3, 18, 19, 20	dec2dvds 15767	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ ;;257
22		3nn 11186	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ
23		2nn 11185	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
24		3cn 11095	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
25	24	mulid1i 10042	. . . . . 6 ⊢ (3 · 1) = 3
26	25	oveq1i 6660	. . . . 5 ⊢ ((3 · 1) + 2) = (3 + 2)
27		3p2e5 11160	. . . . 5 ⊢ (3 + 2) = 5
28	26, 27	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ ((3 · 1) + 2) = 5
29		2lt3 11195	. . . 4 ⊢ 2 < 3
30	22, 9, 23, 28, 29	ndvdsi 15136	. . 3 ⊢ ¬ 3 ∥ 5
31	1, 2, 8	3dvds2dec 15056	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;;257 ↔ 3 ∥ ((2 + 5) + 7))
32		5cn 11100	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℂ
33		2cn 11091	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
34		5p2e7 11165	. . . . . . . 8 ⊢ (5 + 2) = 7
35	32, 33, 34	addcomli 10228	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 5) = 7
36	35	oveq1i 6660	. . . . . 6 ⊢ ((2 + 5) + 7) = (7 + 7)
37		7p7e14 11609	. . . . . 6 ⊢ (7 + 7) = ;14
38	36, 37	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ ((2 + 5) + 7) = ;14
39	38	breq2i 4661	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ((2 + 5) + 7) ↔ 3 ∥ ;14)
40	9, 7	3dvdsdec 15054	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ ;14 ↔ 3 ∥ (1 + 4))
41		4cn 11098	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
42		ax-1cn 9994	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
43		4p1e5 11154	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 1) = 5
44	41, 42, 43	addcomli 10228	. . . . . 6 ⊢ (1 + 4) = 5
45	44	breq2i 4661	. . . . 5 ⊢ (3 ∥ (1 + 4) ↔ 3 ∥ 5)
46	40, 45	bitri 264	. . . 4 ⊢ (3 ∥ ;14 ↔ 3 ∥ 5)
47	31, 39, 46	3bitri 286	. . 3 ⊢ (3 ∥ ;;257 ↔ 3 ∥ 5)
48	30, 47	mtbir 313	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ ;;257
49		2lt5 11202	. . 3 ⊢ 2 < 5
50	3, 23, 49, 34	dec5dvds2 15769	. 2 ⊢ ¬ 5 ∥ ;;257
51		6nn0 11313	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ0
52	18, 51	deccl 11512	. . 3 ⊢ ;36 ∈ ℕ0
53		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ ;36 = ;36
54		7t3e21 11649	. . . . . 6 ⊢ (7 · 3) = ;21
55	1, 9, 7, 54, 44	decaddi 11579	. . . . 5 ⊢ ((7 · 3) + 4) = ;25
56		7t6e42 11652	. . . . 5 ⊢ (7 · 6) = ;42
57	8, 18, 51, 53, 1, 7, 55, 56	decmul2c 11589	. . . 4 ⊢ (7 · ;36) = ;;252
58	3, 1, 2, 57, 35	decaddi 11579	. . 3 ⊢ ((7 · ;36) + 5) = ;;257
59		5lt7 11210	. . 3 ⊢ 5 < 7
60	4, 52, 14, 58, 59	ndvdsi 15136	. 2 ⊢ ¬ 7 ∥ ;;257
61		1nn 11031	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
62	9, 61	decnncl 11518	. . 3 ⊢ ;11 ∈ ℕ
63	1, 18	deccl 11512	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
64		4nn 11187	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
65	9, 9	deccl 11512	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ0
66		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ ;23 = ;23
67	65	nn0cni 11304	. . . . . . . 8 ⊢ ;11 ∈ ℂ
68	67, 33	mulcomi 10046	. . . . . . 7 ⊢ (;11 · 2) = (2 · ;11)
69	68	oveq1i 6660	. . . . . 6 ⊢ ((;11 · 2) + 3) = ((2 · ;11) + 3)
70	1	11multnc 11592	. . . . . . 7 ⊢ (2 · ;11) = ;22
71	24, 33, 27	addcomli 10228	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 3) = 5
72	1, 1, 18, 70, 71	decaddi 11579	. . . . . 6 ⊢ ((2 · ;11) + 3) = ;25
73	69, 72	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ ((;11 · 2) + 3) = ;25
74	18	11multnc 11592	. . . . . 6 ⊢ (3 · ;11) = ;33
75	24, 67, 74	mulcomli 10047	. . . . 5 ⊢ (;11 · 3) = ;33
76	65, 1, 18, 66, 18, 18, 73, 75	decmul2c 11589	. . . 4 ⊢ (;11 · ;23) = ;;253
77		4p3e7 11163	. . . . 5 ⊢ (4 + 3) = 7
78	41, 24, 77	addcomli 10228	. . . 4 ⊢ (3 + 4) = 7
79	3, 18, 7, 76, 78	decaddi 11579	. . 3 ⊢ ((;11 · ;23) + 4) = ;;257
80		4lt10 11678	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
81	61, 9, 7, 80	declti 11546	. . 3 ⊢ 4 < ;11
82	62, 63, 64, 79, 81	ndvdsi 15136	. 2 ⊢ ¬ ;11 ∥ ;;257
83	9, 22	decnncl 11518	. . 3 ⊢ ;13 ∈ ℕ
84		9nn0 11316	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ0
85	9, 84	deccl 11512	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ0
86		10nn 11514	. . 3 ⊢ ;10 ∈ ℕ
87	9, 18	deccl 11512	. . . . . . 7 ⊢ ;13 ∈ ℕ0
88	87	nn0cni 11304	. . . . . 6 ⊢ ;13 ∈ ℂ
89	85	nn0cni 11304	. . . . . 6 ⊢ ;19 ∈ ℂ
90	88, 89	mulcomi 10046	. . . . 5 ⊢ (;13 · ;19) = (;19 · ;13)
91	90	oveq1i 6660	. . . 4 ⊢ ((;13 · ;19) + ;10) = ((;19 · ;13) + ;10)
92		0nn0 11307	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
93		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ ;19 = ;19
94		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ ;10 = ;10
95	88	mulid2i 10043	. . . . . 6 ⊢ (1 · ;13) = ;13
96		1p1e2 11134	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
97		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ ;11 = ;11
98	9, 9, 96, 97	decsuc 11535	. . . . . . 7 ⊢ (;11 + 1) = ;12
99	67, 42, 98	addcomli 10228	. . . . . 6 ⊢ (1 + ;11) = ;12
100	9, 18, 9, 1, 95, 99, 96, 27	decadd 11570	. . . . 5 ⊢ ((1 · ;13) + (1 + ;11)) = ;25
101		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ ;13 = ;13
102		9cn 11108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℂ
103	102	mulid1i 10042	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9 · 1) = 9
104	103	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((9 · 1) + 2) = (9 + 2)
105		9p2e11 11619	. . . . . . . . 9 ⊢ (9 + 2) = ;11
106	104, 105	eqtri 2644	. . . . . . . 8 ⊢ ((9 · 1) + 2) = ;11
107		9t3e27 11664	. . . . . . . 8 ⊢ (9 · 3) = ;27
108	84, 9, 18, 101, 8, 1, 106, 107	decmul2c 11589	. . . . . . 7 ⊢ (9 · ;13) = ;;117
109	108	oveq1i 6660	. . . . . 6 ⊢ ((9 · ;13) + 0) = (;;117 + 0)
110	65, 8	deccl 11512	. . . . . . . 8 ⊢ ;;117 ∈ ℕ0
111	110	nn0cni 11304	. . . . . . 7 ⊢ ;;117 ∈ ℂ
112	111	addid1i 10223	. . . . . 6 ⊢ (;;117 + 0) = ;;117
113	109, 112	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ ((9 · ;13) + 0) = ;;117
114	9, 84, 9, 92, 93, 94, 87, 8, 65, 100, 113	decmac 11566	. . . 4 ⊢ ((;19 · ;13) + ;10) = ;;257
115	91, 114	eqtri 2644	. . 3 ⊢ ((;13 · ;19) + ;10) = ;;257
116		3pos 11114	. . . 4 ⊢ 0 < 3
117	9, 92, 22, 116	declt 11530	. . 3 ⊢ ;10 < ;13
118	83, 85, 86, 115, 117	ndvdsi 15136	. 2 ⊢ ¬ ;13 ∥ ;;257
119	9, 4	decnncl 11518	. . 3 ⊢ ;17 ∈ ℕ
120	9, 2	deccl 11512	. . 3 ⊢ ;15 ∈ ℕ0
121	9, 8	deccl 11512	. . . . 5 ⊢ ;17 ∈ ℕ0
122		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ ;15 = ;15
123	121	nn0cni 11304	. . . . . . 7 ⊢ ;17 ∈ ℂ
124	123	mulid1i 10042	. . . . . 6 ⊢ (;17 · 1) = ;17
125		8cn 11106	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℂ
126		7cn 11104	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
127		8p7e15 11617	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 7) = ;15
128	125, 126, 127	addcomli 10228	. . . . . 6 ⊢ (7 + 8) = ;15
129	9, 8, 6, 124, 96, 2, 128	decaddci 11580	. . . . 5 ⊢ ((;17 · 1) + 8) = ;25
130		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ ;17 = ;17
131	32	mulid2i 10043	. . . . . . . 8 ⊢ (1 · 5) = 5
132	131	oveq1i 6660	. . . . . . 7 ⊢ ((1 · 5) + 3) = (5 + 3)
133		5p3e8 11166	. . . . . . 7 ⊢ (5 + 3) = 8
134	132, 133	eqtri 2644	. . . . . 6 ⊢ ((1 · 5) + 3) = 8
135		7t5e35 11651	. . . . . 6 ⊢ (7 · 5) = ;35
136	2, 9, 8, 130, 2, 18, 134, 135	decmul1c 11587	. . . . 5 ⊢ (;17 · 5) = ;85
137	121, 9, 2, 122, 2, 6, 129, 136	decmul2c 11589	. . . 4 ⊢ (;17 · ;15) = ;;255
138	3, 2, 1, 137, 34	decaddi 11579	. . 3 ⊢ ((;17 · ;15) + 2) = ;;257
139		2lt10 11680	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
140	61, 8, 1, 139	declti 11546	. . 3 ⊢ 2 < ;17
141	119, 120, 23, 138, 140	ndvdsi 15136	. 2 ⊢ ¬ ;17 ∥ ;;257
142		9nn 11192	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
143	9, 142	decnncl 11518	. . 3 ⊢ ;19 ∈ ℕ
144		9pos 11122	. . . 4 ⊢ 0 < 9
145	9, 92, 142, 144	declt 11530	. . 3 ⊢ ;10 < ;19
146	143, 87, 86, 114, 145	ndvdsi 15136	. 2 ⊢ ¬ ;19 ∥ ;;257
147	1, 22	decnncl 11518	. . 3 ⊢ ;23 ∈ ℕ
148	65, 1, 18, 66, 18, 18, 72, 74	decmul1c 11587	. . . 4 ⊢ (;23 · ;11) = ;;253
149	3, 18, 7, 148, 78	decaddi 11579	. . 3 ⊢ ((;23 · ;11) + 4) = ;;257
150	23, 18, 7, 80	declti 11546	. . 3 ⊢ 4 < ;23
151	147, 65, 64, 149, 150	ndvdsi 15136	. 2 ⊢ ¬ ;23 ∥ ;;257
152	5, 13, 17, 21, 48, 50, 60, 82, 118, 141, 146, 151	prmlem2 15827	1 ⊢ ;;257 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941  2c2 11070  3c3 11071  4c4 11072  5c5 11073  6c6 11074  7c7 11075  8c8 11076  9c9 11077  ;cdc 11493   ∥ cdvds 14983  ℙcprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386

This theorem is referenced by:  fmtno3prm  41474