Theorem 4001prm 15852

Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
4001prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;4001

Assertion

Ref	Expression
4001prm	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 4001prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5prm 15815	. 2 ⊢ 5 ∈ ℙ
2		8nn 11191	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 11525	. . 3 ⊢ ;80 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 11525	. 2 ⊢ ;;800 ∈ ℕ
5		4nn0 11311	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		0nn0 11307	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 11512	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
8	7, 6	deccl 11512	. . . . . 6 ⊢ ;;400 ∈ ℕ0
9	8, 6	deccl 11512	. . . . 5 ⊢ ;;;4000 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 11304	. . . 4 ⊢ ;;;4000 ∈ ℂ
11		ax-1cn 9994	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		4001prm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = ;;;4001
13	11	addid2i 10224	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
14		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ ;;;4000 = ;;;4000
15	8, 6, 13, 14	decsuc 11535	. . . . 5 ⊢ (;;;4000 + 1) = ;;;4001
16	12, 15	eqtr4i 2647	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (;;;4000 + 1)
17	10, 11, 16	mvrraddi 10298	. . 3 ⊢ (𝑁 − 1) = ;;;4000
18		5nn0 11312	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19		8nn0 11315	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
20	19, 6	deccl 11512	. . . 4 ⊢ ;80 ∈ ℕ0
21		eqid 2622	. . . 4 ⊢ ;;800 = ;;800
22		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ ;80 = ;80
23		8t5e40 11657	. . . . 5 ⊢ (8 · 5) = ;40
24		5cn 11100	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
25	24	mul02i 10225	. . . . 5 ⊢ (0 · 5) = 0
26	18, 19, 6, 22, 6, 23, 25	decmul1 11585	. . . 4 ⊢ (;80 · 5) = ;;400
27	18, 20, 6, 21, 6, 26, 25	decmul1 11585	. . 3 ⊢ (;;800 · 5) = ;;;4000
28	17, 27	eqtr4i 2647	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;;800 · 5)
29		1nn0 11308	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30	8, 29	deccl 11512	. . . . . 6 ⊢ ;;;4001 ∈ ℕ0
31	12, 30	eqeltri 2697	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
32	31	nn0cni 11304	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
33		npcan 10290	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
34	32, 11, 33	mp2an 708	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
35	34	eqcomi 2631	. 2 ⊢ 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
36		3nn0 11310	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
37		2nn 11185	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
38	36, 37	decnncl 11518	. 2 ⊢ ;32 ∈ ℕ
39		3nn 11186	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
40		2nn0 11309	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
41	36, 40	deccl 11512	. . . 4 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
42	29, 40	deccl 11512	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
43		2p1e3 11151	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
44	24	sqvali 12943	. . . . . . 7 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
45		5t5e25 11639	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 5) = ;25
46	44, 45	eqtri 2644	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ;25
47		2cn 11091	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		5t2e10 11634	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
49	24, 47, 48	mulcomli 10047	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
50	47	addid2i 10224	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
51	29, 6, 40, 49, 50	decaddi 11579	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
52	18, 40, 18, 46, 18, 40, 51, 45	decmul1c 11587	. . . . 5 ⊢ ((5↑2) · 5) = ;;125
53	18, 40, 43, 52	numexpp1 15782	. . . 4 ⊢ (5↑3) = ;;125
54		6nn0 11313	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
55	29, 54	deccl 11512	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
56		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
57		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ ;16 = ;16
58		7nn0 11314	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
59		7cn 11104	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
60		7p1e8 11157	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
61	59, 11, 60	addcomli 10228	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 7) = 8
62	61, 19	eqeltri 2697	. . . . . 6 ⊢ (1 + 7) ∈ ℕ0
63		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ ;32 = ;32
64		3t1e3 11178	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 1) = 3
65	64	oveq1i 6660	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 1) + 1) = (3 + 1)
66		3p1e4 11153	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
67	65, 66	eqtri 2644	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 1) = 4
68		2t1e2 11176	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
69	68, 61	oveq12i 6662	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = (2 + 8)
70		8cn 11106	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
71		8p2e10 11610	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 2) = ;10
72	70, 47, 71	addcomli 10228	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 8) = ;10
73	69, 72	eqtri 2644	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = ;10
74	36, 40, 62, 63, 29, 6, 29, 67, 73	decrmac 11577	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 1) + (1 + 7)) = ;40
75		3t2e6 11179	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
76	75	oveq1i 6660	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
77		6p1e7 11156	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
78	76, 77	eqtri 2644	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 2) + 1) = 7
79		2t2e4 11177	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
80	79	oveq1i 6660	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + 6) = (4 + 6)
81		6cn 11102	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
82		4cn 11098	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
83		6p4e10 11598	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 4) = ;10
84	81, 82, 83	addcomli 10228	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 6) = ;10
85	80, 84	eqtri 2644	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + 6) = ;10
86	36, 40, 54, 63, 40, 6, 29, 78, 85	decrmac 11577	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 2) + 6) = ;70
87	29, 40, 29, 54, 56, 57, 41, 6, 58, 74, 86	decma2c 11568	. . . 4 ⊢ ((;32 · ;12) + ;16) = ;;400
88		5p1e6 11155	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
89		3cn 11095	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
90		5t3e15 11635	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 3) = ;15
91	24, 89, 90	mulcomli 10047	. . . . . 6 ⊢ (3 · 5) = ;15
92	29, 18, 88, 91	decsuc 11535	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + 1) = ;16
93	18, 36, 40, 63, 6, 29, 92, 49	decmul1c 11587	. . . 4 ⊢ (;32 · 5) = ;;160
94	41, 42, 18, 53, 6, 55, 87, 93	decmul2c 11589	. . 3 ⊢ (;32 · (5↑3)) = ;;;4000
95	17, 94	eqtr4i 2647	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;32 · (5↑3))
96		2lt10 11680	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
97		1nn 11031	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
98		3lt10 11679	. . . . 5 ⊢ 3 < ;10
99	97, 40, 36, 98	declti 11546	. . . 4 ⊢ 3 < ;12
100	36, 42, 40, 18, 96, 99	decltc 11532	. . 3 ⊢ ;32 < ;;125
101	100, 53	breqtrri 4680	. 2 ⊢ ;32 < (5↑3)
102	12	4001lem3 15850	. 2 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
103	12	4001lem4 15851	. 2 ⊢ (((2↑;;800) − 1) gcd 𝑁) = 1
104	1, 4, 28, 35, 38, 39, 37, 95, 101, 102, 103	pockthi 15611	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   < clt 10074   − cmin 10266  2c2 11070  3c3 11071  4c4 11072  5c5 11073  6c6 11074  7c7 11075  8c8 11076  ℕ₀cn0 11292  ;cdc 11493  ↑cexp 12860  ℙcprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-odz 15470  df-phi 15471  df-pc 15542

This theorem is referenced by: (None)