Theorem addcnlem 22667

Description: Lemma for addcn 22668, subcn 22669, and mulcn 22670. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
addcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
addcn.2	⊢ + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
addcn.3	⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎))

Assertion

Ref	Expression
addcnlem	⊢ + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐,𝑢,𝑣,𝑦,𝑧,𝐽   + ,𝑎,𝑏,𝑐,𝑢,𝑣,𝑦,𝑧

Proof of Theorem addcnlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcn.2	. 2 ⊢ + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
2		addcn.3	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎))
3	2	3coml 1272	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎))
4		ifcl 4130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ+)
5	4	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ+)
6		simpll1 1100	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
7		simprl 794	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑢 ∈ ℂ)
8		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
9	8	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (𝑏(abs ∘ − )𝑢) = (abs‘(𝑏 − 𝑢)))
10		abssub 14066	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑏 − 𝑢)) = (abs‘(𝑢 − 𝑏)))
11	9, 10	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (𝑏(abs ∘ − )𝑢) = (abs‘(𝑢 − 𝑏)))
12	6, 7, 11	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑏(abs ∘ − )𝑢) = (abs‘(𝑢 − 𝑏)))
13	12	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ↔ (abs‘(𝑢 − 𝑏)) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧)))
14	7, 6	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑢 − 𝑏) ∈ ℂ)
15	14	abscld 14175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘(𝑢 − 𝑏)) ∈ ℝ)
16		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
17	16	rpred 11872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
18		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
19	18	rpred 11872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑧 ∈ ℝ)
20		ltmin 12025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧)))
21	15, 17, 19, 20	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧)))
22	13, 21	bitrd 268	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧)))
23		simpl 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧) → (abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦)
24	22, 23	syl6bi 243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) → (abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦))
25		simpll2 1101	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑐 ∈ ℂ)
26		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑣 ∈ ℂ)
27	8	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑐(abs ∘ − )𝑣) = (abs‘(𝑐 − 𝑣)))
28		abssub 14066	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑐 − 𝑣)) = (abs‘(𝑣 − 𝑐)))
29	27, 28	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑐(abs ∘ − )𝑣) = (abs‘(𝑣 − 𝑐)))
30	25, 26, 29	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑐(abs ∘ − )𝑣) = (abs‘(𝑣 − 𝑐)))
31	30	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝑐(abs ∘ − )𝑣) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ↔ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧)))
32	26, 25	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑣 − 𝑐) ∈ ℂ)
33	32	abscld 14175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘(𝑣 − 𝑐)) ∈ ℝ)
34		ltmin 12025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs‘(𝑣 − 𝑐)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑣 − 𝑐)) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧)))
35	33, 17, 19, 34	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑣 − 𝑐)) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧)))
36	31, 35	bitrd 268	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝑐(abs ∘ − )𝑣) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧)))
37		simpr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧) → (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧)
38	36, 37	syl6bi 243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝑐(abs ∘ − )𝑣) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) → (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧))
39	24, 38	anim12d 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧)) → ((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧)))
40	1	fovcl 6765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ)
41	6, 25, 40	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ)
42	1	fovcl 6765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ)
43	42	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ)
44	8	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ ∧ (𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) = (abs‘((𝑏 + 𝑐) − (𝑢 + 𝑣))))
45		abssub 14066	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ ∧ (𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ) → (abs‘((𝑏 + 𝑐) − (𝑢 + 𝑣))) = (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))))
46	44, 45	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ ∧ (𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) = (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))))
47	41, 43, 46	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) = (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))))
48	47	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎 ↔ (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎))
49	48	biimprd 238	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎 → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎))
50	39, 49	imim12d 81	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎) → (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧)) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)))
51	50	ralimdvva 2964	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎) → ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧)) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)))
52		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) → ((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ↔ (𝑏(abs ∘ − )𝑢) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧)))
53		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) → ((𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥 ↔ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧)))
54	52, 53	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) → (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) ↔ ((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧))))
55	54	imbi1d 331	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) → ((((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎) ↔ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧)) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)))
56	55	2ralbidv 2989	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) → (∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎) ↔ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧)) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)))
57	56	rspcev 3309	. . . . . 6 ⊢ ((if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧)) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎))
58	5, 51, 57	syl6an 568	. . . . 5 ⊢ (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)))
59	58	rexlimdvva 3038	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)))
60	3, 59	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎))
61	60	rgen3 2976	. 2 ⊢ ∀𝑏 ∈ ℂ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)
62		cnxmet 22576	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
63		addcn.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
64	63	cnfldtopn 22585	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
65	64, 64, 64	txmetcn 22353	. . 3 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)) → ( + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ↔ ( + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ ∧ ∀𝑏 ∈ ℂ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎))))
66	62, 62, 62, 65	mp3an 1424	. 2 ⊢ ( + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ↔ ( + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ ∧ ∀𝑏 ∈ ℂ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)))
67	1, 61, 66	mpbir2an 955	1 ⊢ + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  ifcif 4086   class class class wbr 4653   × cxp 5112   ∘ ccom 5118  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  ℝ⁺crp 11832  abscabs 13974  TopOpenctopn 16082  ∞Metcxmt 19731  ℂ_fldccnfld 19746   Cn ccn 21028   ×_t ctx 21363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-tms 22127

This theorem is referenced by:  addcn  22668  subcn  22669  mulcn  22670