Theorem cnf2 21053

Description: A continuous function is a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnf2	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Proof of Theorem cnf2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscn 21039	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ 𝐽)))
2	1	simprbda 653	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
3	2	3impa 1259	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌) ∧ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾)) → 𝐹:𝑋⟶𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ^◡ccnv 5113   “ cima 5117  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-top 20699  df-topon 20716  df-cn 21031

This theorem is referenced by:  iscncl  21073  cncls2  21077  cncls  21078  cnntr  21079  cnrest2  21090  cnrest2r  21091  ptcn  21430  txdis1cn  21438  lmcn2  21452  cnmpt11  21466  cnmpt1t  21468  cnmpt12  21470  cnmpt21  21474  cnmpt2t  21476  cnmpt22  21477  cnmpt22f  21478  cnmptcom  21481  cnmptkp  21483  cnmptk1  21484  cnmpt1k  21485  cnmptkk  21486  cnmptk1p  21488  cnmptk2  21489  cnmpt2k  21491  qtopss  21518  qtopeu  21519  qtopomap  21521  qtopcmap  21522  hmeof1o2  21566  xpstopnlem1  21612  xkocnv  21617  xkohmeo  21618  qtophmeo  21620  cnmpt1plusg  21891  cnmpt2plusg  21892  tsmsmhm  21949  cnmpt1vsca  21997  cnmpt2vsca  21998  cnmpt1ds  22645  cnmpt2ds  22646  fsumcn  22673  cnmpt2pc  22727  htpyco1  22777  htpyco2  22778  phtpyco2  22789  pi1xfrf  22853  pi1xfr  22855  pi1xfrcnvlem  22856  pi1xfrcnv  22857  pi1cof  22859  pi1coghm  22861  cnmpt1ip  23046  cnmpt2ip  23047  txsconnlem  31222  txsconn  31223  cvmlift3lem6  31306  fcnre  39184  refsumcn  39189  refsum2cnlem1  39196  fprodcnlem  39831  icccncfext  40100  itgsubsticclem  40191