cntotbnd - Mathbox for Jeff Madsen

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Theorem cntotbnd 33595

Description: A subset of the complex numbers is totally bounded iff it is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
cntotbnd.d	⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))

**Assertion**
Ref	Expression
cntotbnd	⊢ (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑋) ↔ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋))

Proof of Theorem cntotbnd Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑟 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		totbndbnd 33588	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑋) → 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋))
2		rpcn 11841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ⁺ → 𝑟 ∈ ℂ)
3	2	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → 𝑟 ∈ ℂ)
4		gzcn 15636	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ[i] → 𝑧 ∈ ℂ)
5		mulcl 10020	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑟 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑟 · 𝑧) ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	syl2an 494	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → (𝑟 · 𝑧) ∈ ℂ)
7		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) = (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))
8	6, 7	fmptd 6385	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)):ℤ[i]⟶ℂ)
9		frn 6053	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)):ℤ[i]⟶ℂ → ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ⊆ ℂ)
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ⊆ ℂ)
11		cnex 10017	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
12	11	elpw2 4828	. . . . . 6 ⊢ (ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∈ 𝒫 ℂ ↔ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ⊆ ℂ)
13	10, 12	sylibr 224	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∈ 𝒫 ℂ)
14		cnmet 22575	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
15		cntotbnd.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))
16	15	bnd2lem 33590	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋)) → 𝑋 ⊆ ℂ)
17	14, 16	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) → 𝑋 ⊆ ℂ)
18	17	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ ℂ)
19	18	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑦 ∈ ℂ)
20	19	recld 13934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (ℜ‘𝑦) ∈ ℝ)
21		simprl 794	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑟 ∈ ℝ⁺)
22	20, 21	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((ℜ‘𝑦) / 𝑟) ∈ ℝ)
23		halfre 11246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
24		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((ℜ‘𝑦) / 𝑟) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
25	22, 23, 24	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
26	25	flcld 12599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) ∈ ℤ)
27	19	imcld 13935	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (ℑ‘𝑦) ∈ ℝ)
28	27, 21	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((ℑ‘𝑦) / 𝑟) ∈ ℝ)
29		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((ℑ‘𝑦) / 𝑟) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
30	28, 23, 29	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
31	30	flcld 12599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) ∈ ℤ)
32		gzreim 15643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) ∈ ℤ) → ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) ∈ ℤ[i])
33	26, 31, 32	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) ∈ ℤ[i])
34		gzcn 15636	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) ∈ ℤ[i] → ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) ∈ ℂ)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) ∈ ℂ)
36	21	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑟 ∈ ℂ)
37	21	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑟 ≠ 0)
38	19, 36, 37	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑦 / 𝑟) ∈ ℂ)
39	35, 38	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)) ∈ ℂ)
40	39	abscld 14175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟))) ∈ ℝ)
41		1re 10039	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 1 ∈ ℝ)
43	26	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) ∈ ℂ)
44		ax-icn 9995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ i ∈ ℂ
45	31	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) ∈ ℂ)
46		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) ∈ ℂ) → (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))) ∈ ℂ)
47	44, 45, 46	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))) ∈ ℂ)
48	22	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((ℜ‘𝑦) / 𝑟) ∈ ℂ)
49	28	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((ℑ‘𝑦) / 𝑟) ∈ ℂ)
50		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ ((ℑ‘𝑦) / 𝑟) ∈ ℂ) → (i · ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)) ∈ ℂ)
51	44, 49, 50	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (i · ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)) ∈ ℂ)
52	43, 47, 48, 51	addsub4d 10439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (i · ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))) = (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) + ((i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))) − (i · ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))))
53	38	replimd 13937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑦 / 𝑟) = ((ℜ‘(𝑦 / 𝑟)) + (i · (ℑ‘(𝑦 / 𝑟)))))
54	21	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑟 ∈ ℝ)
55	54, 19, 37	redivd 13969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (ℜ‘(𝑦 / 𝑟)) = ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))
56	54, 19, 37	imdivd 13970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (ℑ‘(𝑦 / 𝑟)) = ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))
57	56	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (i · (ℑ‘(𝑦 / 𝑟))) = (i · ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))
58	55, 57	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((ℜ‘(𝑦 / 𝑟)) + (i · (ℑ‘(𝑦 / 𝑟)))) = (((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (i · ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))))
59	53, 58	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑦 / 𝑟) = (((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (i · ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))))
60	59	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)) = (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (i · ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))))
61	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → i ∈ ℂ)
62	61, 45, 49	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (i · ((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))) = ((i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))) − (i · ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))))
63	62	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) + (i · ((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))) = (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) + ((i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))) − (i · ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))))
64	52, 60, 63	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)) = (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) + (i · ((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))))
65	64	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟))) = (abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) + (i · ((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))))))
66	65	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))↑2) = ((abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) + (i · ((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))))↑2))
67	26	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
68	67, 22	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) ∈ ℝ)
69	31	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
70	69, 28	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)) ∈ ℝ)
71		absreimsq 14032	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)) ∈ ℝ) → ((abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) + (i · ((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))))↑2) = ((((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))↑2) + (((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))↑2)))
72	68, 70, 71	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) + (i · ((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))))↑2) = ((((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))↑2) + (((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))↑2)))
73	66, 72	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))↑2) = ((((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))↑2) + (((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))↑2)))
74	68	resqcld 13035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))↑2) ∈ ℝ)
75	70	resqcld 13035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))↑2) ∈ ℝ)
76	23	resqcli 12949	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 / 2)↑2) ∈ ℝ
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((1 / 2)↑2) ∈ ℝ)
78	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
79		absresq 14042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) ∈ ℝ → ((abs‘((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)))↑2) = (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))↑2))
80	68, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((abs‘((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)))↑2) = (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))↑2))
81		rddif 14080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((ℜ‘𝑦) / 𝑟) ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))) ≤ (1 / 2))
82	22, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (abs‘((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))) ≤ (1 / 2))
83	68	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)) ∈ ℂ)
84	83	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (abs‘((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))) ∈ ℝ)
85	83	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (abs‘((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))))
86		halfgt0 11248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 < (1 / 2)
87	23, 86	elrpii 11835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ⁺
88		rpge0 11845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℝ⁺ → 0 ≤ (1 / 2))
89	87, 88	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (1 / 2))
90	84, 78, 85, 89	le2sqd 13044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((abs‘((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))) ≤ (1 / 2) ↔ ((abs‘((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)))↑2) ≤ ((1 / 2)↑2)))
91	82, 90	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((abs‘((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟)))↑2) ≤ ((1 / 2)↑2))
92	80, 91	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))↑2) ≤ ((1 / 2)↑2))
93		halfcn 11247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
94	93	sqvali 12943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 / 2)↑2) = ((1 / 2) · (1 / 2))
95		halflt1 11250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1 / 2) < 1
96	23, 41, 23, 86	ltmul1ii 10952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 / 2) < 1 ↔ ((1 / 2) · (1 / 2)) < (1 · (1 / 2)))
97	95, 96	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((1 / 2) · (1 / 2)) < (1 · (1 / 2))
98	93	mulid2i 10043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1 · (1 / 2)) = (1 / 2)
99	97, 98	breqtri 4678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 / 2) · (1 / 2)) < (1 / 2)
100	94, 99	eqbrtri 4674	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 / 2)↑2) < (1 / 2)
101	100	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((1 / 2)↑2) < (1 / 2))
102	74, 77, 78, 92, 101	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))↑2) < (1 / 2))
103		absresq 14042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)) ∈ ℝ → ((abs‘((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))↑2) = (((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))↑2))
104	70, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((abs‘((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))↑2) = (((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))↑2))
105		rddif 14080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((ℑ‘𝑦) / 𝑟) ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))) ≤ (1 / 2))
106	28, 105	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (abs‘((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))) ≤ (1 / 2))
107	70	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)) ∈ ℂ)
108	107	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (abs‘((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))) ∈ ℝ)
109	107	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (abs‘((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))))
110	108, 78, 109, 89	le2sqd 13044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((abs‘((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))) ≤ (1 / 2) ↔ ((abs‘((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))↑2) ≤ ((1 / 2)↑2)))
111	106, 110	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((abs‘((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟)))↑2) ≤ ((1 / 2)↑2))
112	104, 111	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))↑2) ≤ ((1 / 2)↑2))
113	75, 77, 78, 112, 101	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))↑2) < (1 / 2))
114	74, 75, 42, 102, 113	lt2halvesd 11280	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℜ‘𝑦) / 𝑟))↑2) + (((⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) − ((ℑ‘𝑦) / 𝑟))↑2)) < 1)
115	73, 114	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))↑2) < 1)
116		sq1 12958	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1↑2) = 1
117	115, 116	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))↑2) < (1↑2))
118	39	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟))))
119		0le1 10551	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ≤ 1
120	119	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ 1)
121	40, 42, 118, 120	lt2sqd 13043	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟))) < 1 ↔ ((abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))↑2) < (1↑2)))
122	117, 121	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟))) < 1)
123	40, 42, 21, 122	ltmul2dd 11928	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑟 · (abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))) < (𝑟 · 1))
124	36, 35	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))) ∈ ℂ)
125		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
126	125	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))) − 𝑦)))
127	124, 19, 126	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))) − 𝑦)))
128	36, 35, 38	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑟 · (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟))) = ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))) − (𝑟 · (𝑦 / 𝑟))))
129	19, 36, 37	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑟 · (𝑦 / 𝑟)) = 𝑦)
130	129	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))) − (𝑟 · (𝑦 / 𝑟))) = ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))) − 𝑦))
131	128, 130	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑟 · (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟))) = ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))) − 𝑦))
132	131	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (abs‘(𝑟 · (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))) = (abs‘((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))) − 𝑦)))
133	36, 39	absmuld 14193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (abs‘(𝑟 · (((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))) = ((abs‘𝑟) · (abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))))
134	132, 133	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (abs‘((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))) − 𝑦)) = ((abs‘𝑟) · (abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))))
135	21	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ 𝑟)
136	54, 135	absidd 14161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (abs‘𝑟) = 𝑟)
137	136	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((abs‘𝑟) · (abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))) = (𝑟 · (abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))))
138	127, 134, 137	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑟 · (abs‘(((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) − (𝑦 / 𝑟)))) = ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(abs ∘ − )𝑦))
139	36	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑟 · 1) = 𝑟)
140	123, 138, 139	3brtr3d 4684	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(abs ∘ − )𝑦) < 𝑟)
141		cnxmet 22576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
142	141	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
143		rpxr 11840	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ⁺ → 𝑟 ∈ ℝ^*)
144	143	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑟 ∈ ℝ^*)
145		elbl2 22195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑟 ∈ ℝ^*) ∧ ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑦 ∈ ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(abs ∘ − )𝑦) < 𝑟))
146	142, 144, 124, 19, 145	syl22anc 1327	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑦 ∈ ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(abs ∘ − )𝑦) < 𝑟))
147	140, 146	mpbird 247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → 𝑦 ∈ ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
148		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) → (𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2)))))))
149	148	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) → ((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) = ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
150	149	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) → (𝑦 ∈ ((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ 𝑦 ∈ ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
151	150	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))) ∈ ℤ[i] ∧ 𝑦 ∈ ((𝑟 · ((⌊‘(((ℜ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))) + (i · (⌊‘(((ℑ‘𝑦) / 𝑟) + (1 / 2))))))(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)) → ∃𝑧 ∈ ℤ[i] 𝑦 ∈ ((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
152	33, 147, 151	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ∃𝑧 ∈ ℤ[i] 𝑦 ∈ ((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
153	152	expr 643	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑦 ∈ 𝑋 → ∃𝑧 ∈ ℤ[i] 𝑦 ∈ ((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
154		eliun 4524	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))(𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ∃𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
155		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 · 𝑧) ∈ V
156	155	rgenw 2924	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℤ[i] (𝑟 · 𝑧) ∈ V
157		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑟 · 𝑧) → (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) = ((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
158	157	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑟 · 𝑧) → (𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ 𝑦 ∈ ((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
159	7, 158	rexrnmpt 6369	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℤ[i] (𝑟 · 𝑧) ∈ V → (∃𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ[i] 𝑦 ∈ ((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
160	156, 159	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))𝑦 ∈ (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ[i] 𝑦 ∈ ((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
161	154, 160	bitri 264	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))(𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ[i] 𝑦 ∈ ((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
162	153, 161	syl6ibr 242	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → (𝑦 ∈ 𝑋 → 𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))(𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
163	162	ssrdv 3609	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → 𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))(𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
164		simpl 473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋))
165		0cn 10032	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℂ
166	15	ssbnd 33587	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑)))
167	14, 165, 166	mp2an 708	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))
168	164, 167	sylib 208	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑑 ∈ ℝ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))
169		fzfi 12771	. . . . . . . . 9 ⊢ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ∈ Fin
170		xpfi 8231	. . . . . . . . 9 ⊢ (((-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ∈ Fin ∧ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ∈ Fin) → ((-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) × (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))) ∈ Fin)
171	169, 169, 170	mp2an 708	. . . . . . . 8 ⊢ ((-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) × (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))) ∈ Fin
172		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))) = (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))))
173		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))) ∈ V
174	172, 173	fnmpt2i 7239	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))) Fn ((-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) × (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)))
175		dffn4 6121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))) Fn ((-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) × (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))) ↔ (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))):((-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) × (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)))–onto→ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))))
176	174, 175	mpbi 220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))):((-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) × (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)))–onto→ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))))
177		fofi 8252	. . . . . . . 8 ⊢ ((((-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) × (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))) ∈ Fin ∧ (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))):((-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) × (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)))–onto→ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))))) → ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))) ∈ Fin)
178	171, 176, 177	mp2an 708	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))) ∈ Fin
179	7, 155	elrnmpti 5376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ[i] 𝑥 = (𝑟 · 𝑧))
180		elgz 15635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ[i] ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑧) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℤ))
181	180	simp2bi 1077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘𝑧) ∈ ℤ)
182	181	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (ℜ‘𝑧) ∈ ℤ)
183	182	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (ℜ‘𝑧) ∈ ℂ)
184	183	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘(ℜ‘𝑧)) ∈ ℝ)
185	4	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → 𝑧 ∈ ℂ)
186	185	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
187		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → 𝑟 ∈ ℝ⁺)
188	187	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → 𝑟 ∈ ℝ⁺)
189	188	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → 𝑟 ∈ ℝ)
190		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → 𝑑 ∈ ℝ)
191	190	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → 𝑑 ∈ ℝ)
192	189, 191	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (𝑟 + 𝑑) ∈ ℝ)
193	192, 188	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((𝑟 + 𝑑) / 𝑟) ∈ ℝ)
194	193	flcld 12599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) ∈ ℤ)
195	194	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ∈ ℤ)
196	195	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ∈ ℝ)
197		absrele 14048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘𝑧)) ≤ (abs‘𝑧))
198	185, 197	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘(ℜ‘𝑧)) ≤ (abs‘𝑧))
199	188	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → 𝑟 ∈ ℂ)
200	199, 185	absmuld 14193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘(𝑟 · 𝑧)) = ((abs‘𝑟) · (abs‘𝑧)))
201	188	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → 0 ≤ 𝑟)
202	189, 201	absidd 14161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘𝑟) = 𝑟)
203	202	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((abs‘𝑟) · (abs‘𝑧)) = (𝑟 · (abs‘𝑧)))
204	200, 203	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘(𝑟 · 𝑧)) = (𝑟 · (abs‘𝑧)))
205		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))
206		sslin 3839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑) → (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ⊆ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑)))
207	205, 206	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ⊆ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑)))
208	141	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
209	6	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → (𝑟 · 𝑧) ∈ ℂ)
210	165	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → 0 ∈ ℂ)
211	187	rpxrd 11873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → 𝑟 ∈ ℝ^*)
212	190	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → 𝑑 ∈ ℝ^*)
213		bldisj 22203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (𝑟 · 𝑧) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ^* ∧ 𝑑 ∈ ℝ^* ∧ (𝑟 +_𝑒 𝑑) ≤ ((𝑟 · 𝑧)(abs ∘ − )0))) → (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑)) = ∅)
214	213	3exp2 1285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (𝑟 · 𝑧) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑟 ∈ ℝ^* → (𝑑 ∈ ℝ^* → ((𝑟 +_𝑒 𝑑) ≤ ((𝑟 · 𝑧)(abs ∘ − )0) → (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑)) = ∅))))
215	214	imp32 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (𝑟 · 𝑧) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) ∧ (𝑟 ∈ ℝ^* ∧ 𝑑 ∈ ℝ^*)) → ((𝑟 +_𝑒 𝑑) ≤ ((𝑟 · 𝑧)(abs ∘ − )0) → (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑)) = ∅))
216	208, 209, 210, 211, 212, 215	syl32anc 1334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → ((𝑟 +_𝑒 𝑑) ≤ ((𝑟 · 𝑧)(abs ∘ − )0) → (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑)) = ∅))
217		sseq0 3975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ⊆ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑)) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑)) = ∅) → (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) = ∅)
218	207, 216, 217	syl6an 568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → ((𝑟 +_𝑒 𝑑) ≤ ((𝑟 · 𝑧)(abs ∘ − )0) → (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) = ∅))
219	218	necon3ad 2807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → ((((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅ → ¬ (𝑟 +_𝑒 𝑑) ≤ ((𝑟 · 𝑧)(abs ∘ − )0)))
220	219	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ¬ (𝑟 +_𝑒 𝑑) ≤ ((𝑟 · 𝑧)(abs ∘ − )0))
221		rexadd 12063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (𝑟 +_𝑒 𝑑) = (𝑟 + 𝑑))
222	189, 191, 221	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (𝑟 +_𝑒 𝑑) = (𝑟 + 𝑑))
223	209	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (𝑟 · 𝑧) ∈ ℂ)
224	125	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑟 · 𝑧) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝑟 · 𝑧)(abs ∘ − )0) = (abs‘((𝑟 · 𝑧) − 0)))
225	223, 165, 224	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((𝑟 · 𝑧)(abs ∘ − )0) = (abs‘((𝑟 · 𝑧) − 0)))
226	223	subid1d 10381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((𝑟 · 𝑧) − 0) = (𝑟 · 𝑧))
227	226	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘((𝑟 · 𝑧) − 0)) = (abs‘(𝑟 · 𝑧)))
228	225, 227	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((𝑟 · 𝑧)(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑟 · 𝑧)))
229	222, 228	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((𝑟 +_𝑒 𝑑) ≤ ((𝑟 · 𝑧)(abs ∘ − )0) ↔ (𝑟 + 𝑑) ≤ (abs‘(𝑟 · 𝑧))))
230	220, 229	mtbid 314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ¬ (𝑟 + 𝑑) ≤ (abs‘(𝑟 · 𝑧)))
231	223	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘(𝑟 · 𝑧)) ∈ ℝ)
232	231, 192	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((abs‘(𝑟 · 𝑧)) < (𝑟 + 𝑑) ↔ ¬ (𝑟 + 𝑑) ≤ (abs‘(𝑟 · 𝑧))))
233	230, 232	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘(𝑟 · 𝑧)) < (𝑟 + 𝑑))
234	204, 233	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (𝑟 · (abs‘𝑧)) < (𝑟 + 𝑑))
235	186, 192, 188	ltmuldiv2d 11920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((𝑟 · (abs‘𝑧)) < (𝑟 + 𝑑) ↔ (abs‘𝑧) < ((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)))
236	234, 235	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘𝑧) < ((𝑟 + 𝑑) / 𝑟))
237		flltp1 12601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑟 + 𝑑) / 𝑟) ∈ ℝ → ((𝑟 + 𝑑) / 𝑟) < ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))
238	193, 237	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((𝑟 + 𝑑) / 𝑟) < ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))
239	186, 193, 196, 236, 238	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘𝑧) < ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))
240	186, 196, 239	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘𝑧) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))
241	184, 186, 196, 198, 240	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘(ℜ‘𝑧)) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))
242	182	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (ℜ‘𝑧) ∈ ℝ)
243	242, 196	absled 14169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((abs‘(ℜ‘𝑧)) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ↔ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ≤ (ℜ‘𝑧) ∧ (ℜ‘𝑧) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))))
244	241, 243	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ≤ (ℜ‘𝑧) ∧ (ℜ‘𝑧) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)))
245	195	znegcld 11484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ∈ ℤ)
246		elfz 12332	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((ℜ‘𝑧) ∈ ℤ ∧ -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ∈ ℤ) → ((ℜ‘𝑧) ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↔ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ≤ (ℜ‘𝑧) ∧ (ℜ‘𝑧) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))))
247	182, 245, 195, 246	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((ℜ‘𝑧) ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↔ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ≤ (ℜ‘𝑧) ∧ (ℜ‘𝑧) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))))
248	244, 247	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (ℜ‘𝑧) ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)))
249	180	simp3bi 1078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘𝑧) ∈ ℤ)
250	249	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (ℑ‘𝑧) ∈ ℤ)
251	250	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (ℑ‘𝑧) ∈ ℂ)
252	251	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘(ℑ‘𝑧)) ∈ ℝ)
253		absimle 14049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘𝑧)) ≤ (abs‘𝑧))
254	185, 253	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘(ℑ‘𝑧)) ≤ (abs‘𝑧))
255	252, 186, 196, 254, 240	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (abs‘(ℑ‘𝑧)) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))
256	250	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (ℑ‘𝑧) ∈ ℝ)
257	256, 196	absled 14169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((abs‘(ℑ‘𝑧)) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ↔ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ≤ (ℑ‘𝑧) ∧ (ℑ‘𝑧) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))))
258	255, 257	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ≤ (ℑ‘𝑧) ∧ (ℑ‘𝑧) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)))
259		elfz 12332	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((ℑ‘𝑧) ∈ ℤ ∧ -((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ∈ ℤ) → ((ℑ‘𝑧) ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↔ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ≤ (ℑ‘𝑧) ∧ (ℑ‘𝑧) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))))
260	250, 245, 195, 259	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ((ℑ‘𝑧) ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↔ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1) ≤ (ℑ‘𝑧) ∧ (ℑ‘𝑧) ≤ ((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))))
261	258, 260	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (ℑ‘𝑧) ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)))
262	185	replimd 13937	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → 𝑧 = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
263	262	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → (𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧)))))
264		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 = (ℜ‘𝑧) → (𝑎 + (i · 𝑏)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · 𝑏)))
265	264	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = (ℜ‘𝑧) → (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))) = (𝑟 · ((ℜ‘𝑧) + (i · 𝑏))))
266	265	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = (ℜ‘𝑧) → ((𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))) ↔ (𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · ((ℜ‘𝑧) + (i · 𝑏)))))
267		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 = (ℑ‘𝑧) → (i · 𝑏) = (i · (ℑ‘𝑧)))
268	267	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = (ℑ‘𝑧) → ((ℜ‘𝑧) + (i · 𝑏)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
269	268	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 = (ℑ‘𝑧) → (𝑟 · ((ℜ‘𝑧) + (i · 𝑏))) = (𝑟 · ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧)))))
270	269	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = (ℑ‘𝑧) → ((𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · ((ℜ‘𝑧) + (i · 𝑏))) ↔ (𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))))
271	266, 270	rspc2ev 3324	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ℜ‘𝑧) ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ∧ (𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))) → ∃𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))∃𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))(𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))))
272	248, 261, 263, 271	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) ∧ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → ∃𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))∃𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))(𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))))
273	272	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → ((((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅ → ∃𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))∃𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))(𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))))
274	172, 173	elrnmpt2 6773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑟 · 𝑧) ∈ ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))) ↔ ∃𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))∃𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1))(𝑟 · 𝑧) = (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))))
275	273, 274	syl6ibr 242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → ((((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅ → (𝑟 · 𝑧) ∈ ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))))))
276	157	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑟 · 𝑧) → ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) = (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋))
277	276	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑟 · 𝑧) → (((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅ ↔ (((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅))
278		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑟 · 𝑧) → (𝑥 ∈ ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))) ↔ (𝑟 · 𝑧) ∈ ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))))))
279	277, 278	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑟 · 𝑧) → ((((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))))) ↔ ((((𝑟 · 𝑧)(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅ → (𝑟 · 𝑧) ∈ ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))))))
280	275, 279	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑧 ∈ ℤ[i]) → (𝑥 = (𝑟 · 𝑧) → (((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))))))
281	280	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) → (∃𝑧 ∈ ℤ[i] 𝑥 = (𝑟 · 𝑧) → (((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))))))
282	179, 281	syl5bi 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) → (𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) → (((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅ → 𝑥 ∈ ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))))))
283	282	3imp 1256	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) ∧ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∧ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅) → 𝑥 ∈ ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))))
284	283	rabssdv 3682	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) → {𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ⊆ ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))))
285		ssfi 8180	. . . . . . 7 ⊢ ((ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏)))) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ⊆ ran (𝑎 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)), 𝑏 ∈ (-((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)...((⌊‘((𝑟 + 𝑑) / 𝑟)) + 1)) ↦ (𝑟 · (𝑎 + (i · 𝑏))))) → {𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin)
286	178, 284, 285	sylancr 695	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ⊆ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑑))) → {𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin)
287	168, 286	rexlimddv 3035	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → {𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin)
288		iuneq1 4534	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) = ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))(𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟))
289	288	sseq2d 3633	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) → (𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ↔ 𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))(𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟)))
290		rabeq 3192	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) → {𝑥 ∈ 𝑦 ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} = {𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅})
291	290	eleq1d 2686	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) → ({𝑥 ∈ 𝑦 ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin ↔ {𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin))
292	289, 291	anbi12d 747	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) → ((𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ {𝑥 ∈ 𝑦 ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin) ↔ (𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))(𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ {𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin)))
293	292	rspcev 3309	. . . . 5 ⊢ ((ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∈ 𝒫 ℂ ∧ (𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧))(𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ {𝑥 ∈ ran (𝑧 ∈ ℤ[i] ↦ (𝑟 · 𝑧)) ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin)) → ∃𝑦 ∈ 𝒫 ℂ(𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ {𝑥 ∈ 𝑦 ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin))
294	13, 163, 287, 293	syl12anc 1324	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑦 ∈ 𝒫 ℂ(𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ {𝑥 ∈ 𝑦 ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin))
295	294	ralrimiva 2966	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) → ∀𝑟 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ 𝒫 ℂ(𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ {𝑥 ∈ 𝑦 ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin))
296	15	sstotbnd3 33575	. . . 4 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑋) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ 𝒫 ℂ(𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ {𝑥 ∈ 𝑦 ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin)))
297	14, 17, 296	sylancr 695	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) → (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑋) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ 𝒫 ℂ(𝑋 ⊆ ∪ 𝑥 ∈ 𝑦 (𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∧ {𝑥 ∈ 𝑦 ∣ ((𝑥(ball‘(abs ∘ − ))𝑟) ∩ 𝑋) ≠ ∅} ∈ Fin)))
298	295, 297	mpbird 247	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋) → 𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑋))
299	1, 298	impbii 199	1 ⊢ (𝐷 ∈ (TotBnd‘𝑋) ↔ 𝐷 ∈ (Bnd‘𝑋))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 196 ∧ wa 384 ∧ w3a 1037 = wceq 1483 ∈ wcel 1990 ≠ wne 2794 ∀wral 2912 ∃wrex 2913 {crab 2916 Vcvv 3200 ∩ cin 3573 ⊆ wss 3574 ∅c0 3915 𝒫 cpw 4158 ∪ ciun 4520 class class class wbr 4653 ↦ cmpt 4729 × cxp 5112 ran crn 5115 ↾ cres 5116 ∘ ccom 5118 Fn wfn 5883 ⟶wf 5884 –onto→wfo 5886 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 ↦ cmpt2 6652 Fincfn 7955 ℂcc 9934 ℝcr 9935 0cc0 9936 1c1 9937 ici 9938 + caddc 9939 · cmul 9941 ℝ^*cxr 10073 < clt 10074 ≤ cle 10075 − cmin 10266 -cneg 10267 / cdiv 10684 2c2 11070 ℤcz 11377 ℝ⁺crp 11832 +_𝑒 cxad 11944 ...cfz 12326 ⌊cfl 12591 ↑cexp 12860 ℜcre 13837 ℑcim 13838 abscabs 13974 ℤ[i]cgz 15633 ∞Metcxmt 19731 Metcme 19732 ballcbl 19733 TotBndctotbnd 33565 Bndcbnd 33566

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-ec 7744 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-fz 12327 df-fl 12593 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-gz 15634 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-totbnd 33567 df-bnd 33578

This theorem is referenced by: cnpwstotbnd 33596

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