Theorem efabl 24296

Description: The image of a subgroup of the group +, under the exponential function of a scaled complex number, is an Abelian group. (Contributed by Paul Chapman, 25-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
efabl.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥)))
efabl.2	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ran 𝐹)
efabl.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
efabl.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld))

Assertion

Ref	Expression
efabl	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem efabl

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. 2 ⊢ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)) = (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))
2		eqid 2622	. 2 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3		eqid 2622	. 2 ⊢ (+g‘(ℂfld ↾s 𝑋)) = (+g‘(ℂfld ↾s 𝑋))
4		eqid 2622	. 2 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5		simp1 1061	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))) → 𝜑)
6		simp2 1062	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))) → 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)))
7		efabl.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
8		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ↾s 𝑋) = (ℂfld ↾s 𝑋)
9	8	subgbas 17598	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 𝑋 = (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)))
10	7, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)))
11	10	3ad2ant1 1082	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))) → 𝑋 = (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)))
12	6, 11	eleqtrrd 2704	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))) → 𝑥 ∈ 𝑋)
13		simp3 1063	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))) → 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)))
14	13, 11	eleqtrrd 2704	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))) → 𝑦 ∈ 𝑋)
15		efabl.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
16	15, 7	jca 554	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)))
17		efabl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥)))
18	17	efgh 24287	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)))
19	16, 18	syl3an1 1359	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)))
20		cnfldadd 19751	. . . . . . . . 9 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
21	8, 20	ressplusg 15993	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → + = (+g‘(ℂfld ↾s 𝑋)))
22	7, 21	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → + = (+g‘(ℂfld ↾s 𝑋)))
23	22	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → + = (+g‘(ℂfld ↾s 𝑋)))
24	23	oveqd 6667	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥(+g‘(ℂfld ↾s 𝑋))𝑦))
25	24	fveq2d 6195	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = (𝐹‘(𝑥(+g‘(ℂfld ↾s 𝑋))𝑦)))
26		mptexg 6484	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥))) ∈ V)
27	17, 26	syl5eqel 2705	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 𝐹 ∈ V)
28		rnexg 7098	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ V → ran 𝐹 ∈ V)
29	7, 27, 28	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ V)
30		efabl.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ran 𝐹)
31		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
32		cnfldmul 19752	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
33	31, 32	mgpplusg 18493	. . . . . . . 8 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
34	30, 33	ressplusg 15993	. . . . . . 7 ⊢ (ran 𝐹 ∈ V → · = (+g‘𝐺))
35	29, 34	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → · = (+g‘𝐺))
36	35	3ad2ant1 1082	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → · = (+g‘𝐺))
37	36	oveqd 6667	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥) · (𝐹‘𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑦)))
38	19, 25, 37	3eqtr3d 2664	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝐹‘(𝑥(+g‘(ℂfld ↾s 𝑋))𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑦)))
39	5, 12, 14, 38	syl3anc 1326	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))) → (𝐹‘(𝑥(+g‘(ℂfld ↾s 𝑋))𝑦)) = ((𝐹‘𝑥)(+g‘𝐺)(𝐹‘𝑦)))
40		fvex 6201	. . . . 5 ⊢ (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ V
41	40, 17	fnmpti 6022	. . . 4 ⊢ 𝐹 Fn 𝑋
42		dffn4 6121	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 ↔ 𝐹:𝑋–onto→ran 𝐹)
43	41, 42	mpbi 220	. . 3 ⊢ 𝐹:𝑋–onto→ran 𝐹
44		eqidd 2623	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = 𝐹)
45		eff 14812	. . . . . . . 8 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
46	45	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → exp:ℂ⟶ℂ)
47	15	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
48		cnfldbas 19750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
49	48	subgss 17595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 𝑋 ⊆ ℂ)
50	7, 49	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
51	50	sselda 3603	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
52	47, 51	mulcld 10060	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
53	46, 52	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
54	53	ralrimiva 2966	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
55	17	rnmptss 6392	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ → ran 𝐹 ⊆ ℂ)
56	31, 48	mgpbas 18495	. . . . . 6 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
57	30, 56	ressbas2 15931	. . . . 5 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ ℂ → ran 𝐹 = (Base‘𝐺))
58	54, 55, 57	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐺))
59	44, 10, 58	foeq123d 6132	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑋–onto→ran 𝐹 ↔ 𝐹:(Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))–onto→(Base‘𝐺)))
60	43, 59	mpbii 223	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(Base‘(ℂfld ↾s 𝑋))–onto→(Base‘𝐺))
61		cnring 19768	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
62		ringabl 18580	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Abel)
63	61, 62	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ Abel
64	8	subgabl 18241	. . 3 ⊢ ((ℂfld ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld)) → (ℂfld ↾s 𝑋) ∈ Abel)
65	63, 7, 64	sylancr 695	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂfld ↾s 𝑋) ∈ Abel)
66	1, 2, 3, 4, 39, 60, 65	ghmabl 18238	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574   ↦ cmpt 4729  ran crn 5115   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  –onto→wfo 5886  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934   + caddc 9939   · cmul 9941  expce 14792  Basecbs 15857   ↾_s cress 15858  +_gcplusg 15941  SubGrpcsubg 17588  Abelcabl 18194  mulGrpcmgp 18489  Ringcrg 18547  ℂ_fldccnfld 19746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-cnfld 19747

This theorem is referenced by:  efsubm  24297  circgrp  24298