Theorem eftlub 14839

Description: An upper bound on the absolute value of the infinite tail of the series expansion of the exponential function on the closed unit disk. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eftl.1	|- F = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
eftl.2	|- G = ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
eftl.3	|- H = ( n e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) )
eftl.4	|- ( ph -> M e. NN )
eftl.5	|- ( ph -> A e. CC )
eftl.6	|- ( ph -> ( abs ` A ) <_ 1 )

Assertion

Ref	Expression
eftlub	|- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) ) <_ ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) )

Distinct variable groups:   k, n, A   k, F   k, G   k, M, n   ph, k

Allowed substitution hints:   ph( n)   F( n)   G( n)   H( k, n)

Proof of Theorem eftlub

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eftl.5	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
2		eftl.4	. . . . 5 |- ( ph -> M e. NN )
3	2	nnnn0d 11351	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN0 )
4		eftl.1	. . . . 5 |- F = ( n e. NN0 |-> ( ( A ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
5	4	eftlcl 14837	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ M e. NN0 ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. CC )
6	1, 3, 5	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. CC )
7	6	abscld 14175	. 2 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) ) e. RR )
8	1	abscld 14175	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR )
9		eftl.2	. . . 4 |- G = ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
10	9	reeftlcl 14838	. . 3 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ M e. NN0 ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. RR )
11	8, 3, 10	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. RR )
12	8, 3	reexpcld 13025	. . 3 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) ^ M ) e. RR )
13		peano2nn0 11333	. . . . . 6 |- ( M e. NN0 -> ( M + 1 ) e. NN0 )
14	3, 13	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. NN0 )
15	14	nn0red 11352	. . . 4 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. RR )
16		faccl 13070	. . . . . 6 |- ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) e. NN )
17	3, 16	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( ! ` M ) e. NN )
18	17, 2	nnmulcld 11068	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` M ) x. M ) e. NN )
19	15, 18	nndivred 11069	. . 3 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) e. RR )
20	12, 19	remulcld 10070	. 2 |- ( ph -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) e. RR )
21		eqid 2622	. . 3 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
22	2	nnzd 11481	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
23		eqidd 2623	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
24		eluznn0 11757	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. NN0 )
25	3, 24	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. NN0 )
26	4	eftval 14807	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( F ` k ) = ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
27	26	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
28		eftcl 14804	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
29	1, 28	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
30	27, 29	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. CC )
31	25, 30	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
32	4	eftlcvg 14836	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ M e. NN0 ) -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
33	1, 3, 32	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> seq M ( + , F ) e. dom ~~> )
34	21, 22, 23, 31, 33	isumclim2 14489	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , F ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) )
35		eqidd 2623	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) = ( G ` k ) )
36	9	eftval 14807	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> ( G ` k ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
37	36	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
38		reeftcl 14805	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. RR )
39	8, 38	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. RR )
40	37, 39	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) e. RR )
41	25, 40	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. RR )
42	41	recnd 10068	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
43	8	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. CC )
44	9	eftlcvg 14836	. . . . 5 |- ( ( ( abs ` A ) e. CC /\ M e. NN0 ) -> seq M ( + , G ) e. dom ~~> )
45	43, 3, 44	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> seq M ( + , G ) e. dom ~~> )
46	21, 22, 35, 42, 45	isumclim2 14489	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , G ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) )
47		eftabs 14806	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( abs ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
48	1, 47	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( abs ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
49	27	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( abs ` ( F ` k ) ) = ( abs ` ( ( A ^ k ) / ( ! ` k ) ) ) )
50	48, 49, 37	3eqtr4rd 2667	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( G ` k ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
51	25, 50	syldan 487	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) = ( abs ` ( F ` k ) ) )
52	21, 34, 46, 22, 31, 51	iserabs 14547	. 2 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) ) <_ sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) )
53		nn0uz 11722	. . . 4 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
54		0zd 11389	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
55	2	nncnd 11036	. . . . 5 |- ( ph -> M e. CC )
56		nn0cn 11302	. . . . 5 |- ( j e. NN0 -> j e. CC )
57		nn0ex 11298	. . . . . . . 8 |- NN0 e. _V
58	57	mptex 6486	. . . . . . 7 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) e. _V
59	9, 58	eqeltri 2697	. . . . . 6 |- G e. _V
60	59	shftval4 13817	. . . . 5 |- ( ( M e. CC /\ j e. CC ) -> ( ( G shift -u M ) ` j ) = ( G ` ( M + j ) ) )
61	55, 56, 60	syl2an 494	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( G shift -u M ) ` j ) = ( G ` ( M + j ) ) )
62		nn0addcl 11328	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN0 /\ j e. NN0 ) -> ( M + j ) e. NN0 )
63	3, 62	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( M + j ) e. NN0 )
64	9	eftval 14807	. . . . . 6 |- ( ( M + j ) e. NN0 -> ( G ` ( M + j ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) / ( ! ` ( M + j ) ) ) )
65	63, 64	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( G ` ( M + j ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) / ( ! ` ( M + j ) ) ) )
66	8	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( abs ` A ) e. RR )
67		reeftcl 14805	. . . . . 6 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ ( M + j ) e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) / ( ! ` ( M + j ) ) ) e. RR )
68	66, 63, 67	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) / ( ! ` ( M + j ) ) ) e. RR )
69	65, 68	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( G ` ( M + j ) ) e. RR )
70		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( n = j -> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) = ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) )
71	70	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( n = j -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) )
72		eftl.3	. . . . . 6 |- H = ( n e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) )
73		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) e. _V
74	71, 72, 73	fvmpt 6282	. . . . 5 |- ( j e. NN0 -> ( H ` j ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) )
75	74	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( H ` j ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) )
76	12, 17	nndivred 11069	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) e. RR )
77	76	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) e. RR )
78	2	peano2nnd 11037	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. NN )
79	78	nnrecred 11066	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 / ( M + 1 ) ) e. RR )
80		reexpcl 12877	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 / ( M + 1 ) ) e. RR /\ j e. NN0 ) -> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) e. RR )
81	79, 80	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) e. RR )
82	77, 81	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) e. RR )
83	66, 63	reexpcld 13025	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) e. RR )
84	12	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ M ) e. RR )
85		faccl 13070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M + j ) e. NN0 -> ( ! ` ( M + j ) ) e. NN )
86	63, 85	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ! ` ( M + j ) ) e. NN )
87	86	nnred 11035	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ! ` ( M + j ) ) e. RR )
88	87, 82	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) ) e. RR )
89	3	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> M e. NN0 )
90		uzid 11702	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
91	22, 90	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
92		uzaddcl 11744	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` M ) /\ j e. NN0 ) -> ( M + j ) e. ( ZZ>= ` M ) )
93	91, 92	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( M + j ) e. ( ZZ>= ` M ) )
94	1	absge0d 14183	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` A ) )
95	94	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> 0 <_ ( abs ` A ) )
96		eftl.6	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` A ) <_ 1 )
97	96	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( abs ` A ) <_ 1 )
98	66, 89, 93, 95, 97	leexp2rd 13042	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) <_ ( ( abs ` A ) ^ M ) )
99	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ! ` M ) e. NN )
100		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M + 1 ) e. NN /\ j e. NN0 ) -> ( ( M + 1 ) ^ j ) e. NN )
101	78, 100	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( M + 1 ) ^ j ) e. NN )
102	99, 101	nnmulcld 11068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) e. NN )
103	102	nnred 11035	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) e. RR )
104	8, 3, 94	expge0d 13026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ ( ( abs ` A ) ^ M ) )
105	12, 104	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) e. RR /\ 0 <_ ( ( abs ` A ) ^ M ) ) )
106	105	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) e. RR /\ 0 <_ ( ( abs ` A ) ^ M ) ) )
107		faclbnd6 13086	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) <_ ( ! ` ( M + j ) ) )
108	3, 107	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) <_ ( ! ` ( M + j ) ) )
109		lemul1a 10877	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) e. RR /\ ( ! ` ( M + j ) ) e. RR /\ ( ( ( abs ` A ) ^ M ) e. RR /\ 0 <_ ( ( abs ` A ) ^ M ) ) ) /\ ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) <_ ( ! ` ( M + j ) ) ) -> ( ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) <_ ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) )
110	103, 87, 106, 108, 109	syl31anc 1329	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) <_ ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) )
111	87, 84	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) e. RR )
112	102	nnrpd 11870	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) e. RR+ )
113	84, 111, 112	lemuldiv2d 11922	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) <_ ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) <-> ( ( abs ` A ) ^ M ) <_ ( ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) / ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) ) )
114	110, 113	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ M ) <_ ( ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) / ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) )
115	86	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ! ` ( M + j ) ) e. CC )
116	12	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) ^ M ) e. CC )
117	116	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ M ) e. CC )
118	102	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) e. CC )
119	102	nnne0d 11065	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) =/= 0 )
120	115, 117, 118, 119	divassd 10836	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) / ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) = ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) ) )
121	78	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. CC )
122	121	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( M + 1 ) e. CC )
123	78	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( M + 1 ) e. NN )
124	123	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( M + 1 ) =/= 0 )
125		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN0 -> j e. ZZ )
126	125	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> j e. ZZ )
127	122, 124, 126	exprecd 13016	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) = ( 1 / ( ( M + 1 ) ^ j ) ) )
128	127	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( 1 / ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) )
129	76	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) e. CC )
130	129	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) e. CC )
131	101	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( M + 1 ) ^ j ) e. CC )
132	101	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( M + 1 ) ^ j ) =/= 0 )
133	130, 131, 132	divrecd 10804	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) / ( ( M + 1 ) ^ j ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( 1 / ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) )
134	17	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ! ` M ) e. CC )
135	134	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ! ` M ) e. CC )
136		facne0 13073	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) =/= 0 )
137	3, 136	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ! ` M ) =/= 0 )
138	137	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ! ` M ) =/= 0 )
139	117, 135, 131, 138, 132	divdiv1d 10832	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) / ( ( M + 1 ) ^ j ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) )
140	128, 133, 139	3eqtr2rd 2663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) )
141	140	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) ) = ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) ) )
142	120, 141	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( abs ` A ) ^ M ) ) / ( ( ! ` M ) x. ( ( M + 1 ) ^ j ) ) ) = ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) ) )
143	114, 142	breqtrd 4679	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ M ) <_ ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) ) )
144	83, 84, 88, 98, 143	letrd 10194	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) <_ ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) ) )
145	86	nngt0d 11064	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> 0 < ( ! ` ( M + j ) ) )
146		ledivmul 10899	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) e. RR /\ ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) e. RR /\ ( ( ! ` ( M + j ) ) e. RR /\ 0 < ( ! ` ( M + j ) ) ) ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) / ( ! ` ( M + j ) ) ) <_ ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) <-> ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) <_ ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) ) ) )
147	83, 82, 87, 145, 146	syl112anc 1330	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) / ( ! ` ( M + j ) ) ) <_ ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) <-> ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) <_ ( ( ! ` ( M + j ) ) x. ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) ) ) )
148	144, 147	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ ( M + j ) ) / ( ! ` ( M + j ) ) ) <_ ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) )
149	65, 148	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( G ` ( M + j ) ) <_ ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) )
150		0z 11388	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
151	22	znegcld 11484	. . . . . 6 |- ( ph -> -u M e. ZZ )
152	59	seqshft 13825	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ -u M e. ZZ ) -> seq 0 ( + , ( G shift -u M ) ) = ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) )
153	150, 151, 152	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( G shift -u M ) ) = ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) )
154		0cn 10032	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. CC
155		subneg 10330	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. CC /\ M e. CC ) -> ( 0 - -u M ) = ( 0 + M ) )
156	154, 155	mpan 706	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. CC -> ( 0 - -u M ) = ( 0 + M ) )
157		addid2 10219	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. CC -> ( 0 + M ) = M )
158	156, 157	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. CC -> ( 0 - -u M ) = M )
159	55, 158	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 - -u M ) = M )
160	159	seqeq1d 12807	. . . . . . . 8 |- ( ph -> seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) = seq M ( + , G ) )
161	160, 46	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 |- ( ph -> seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) )
162		seqex 12803	. . . . . . . 8 |- seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) e. _V
163		climshft 14307	. . . . . . . 8 |- ( ( -u M e. ZZ /\ seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) e. _V ) -> ( ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) <-> seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) ) )
164	151, 162, 163	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) <-> seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) ) )
165	161, 164	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) )
166		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) e. _V
167		sumex 14418	. . . . . . 7 |- sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. _V
168	166, 167	breldm 5329	. . . . . 6 |- ( ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) ~~> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) -> ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) e. dom ~~> )
169	165, 168	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq ( 0 - -u M ) ( + , G ) shift -u M ) e. dom ~~> )
170	153, 169	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( G shift -u M ) ) e. dom ~~> )
171	2	nnge1d 11063	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 <_ M )
172		1nn 11031	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. NN
173		nnleltp1 11432	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. NN /\ M e. NN ) -> ( 1 <_ M <-> 1 < ( M + 1 ) ) )
174	172, 2, 173	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 <_ M <-> 1 < ( M + 1 ) ) )
175	171, 174	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 < ( M + 1 ) )
176	14	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 <_ ( M + 1 ) )
177	15, 176	absidd 14161	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` ( M + 1 ) ) = ( M + 1 ) )
178	175, 177	breqtrrd 4681	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 < ( abs ` ( M + 1 ) ) )
179		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) )
180		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) e. _V
181	70, 179, 180	fvmpt 6282	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN0 -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) ` j ) = ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) )
182	181	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) ` j ) = ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) )
183	121, 178, 182	georeclim 14603	. . . . . . 7 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) ) ~~> ( ( M + 1 ) / ( ( M + 1 ) - 1 ) ) )
184	81	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) e. CC )
185	182, 184	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) ` j ) e. CC )
186	182	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) ` j ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) )
187	75, 186	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( H ` j ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( n e. NN0 |-> ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ n ) ) ` j ) ) )
188	53, 54, 129, 183, 185, 187	isermulc2 14388	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( M + 1 ) - 1 ) ) ) )
189		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
190		pncan 10287	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
191	55, 189, 190	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) - 1 ) = M )
192	191	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) / ( ( M + 1 ) - 1 ) ) = ( ( M + 1 ) / M ) )
193	192	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( M + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( M + 1 ) / M ) ) )
194	15, 2	nndivred 11069	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) / M ) e. RR )
195	194	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) / M ) e. CC )
196	116, 195, 134, 137	div23d 10838	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / M ) ) / ( ! ` M ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( M + 1 ) / M ) ) )
197	193, 196	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( M + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / M ) ) / ( ! ` M ) ) )
198	116, 195, 134, 137	divassd 10836	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / M ) ) / ( ! ` M ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( ( M + 1 ) / M ) / ( ! ` M ) ) ) )
199	2	nnne0d 11065	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M =/= 0 )
200	121, 55, 134, 199, 137	divdiv1d 10832	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( M + 1 ) / M ) / ( ! ` M ) ) = ( ( M + 1 ) / ( M x. ( ! ` M ) ) ) )
201	55, 134	mulcomd 10061	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M x. ( ! ` M ) ) = ( ( ! ` M ) x. M ) )
202	201	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) / ( M x. ( ! ` M ) ) ) = ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) )
203	200, 202	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( M + 1 ) / M ) / ( ! ` M ) ) = ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) )
204	203	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( ( M + 1 ) / M ) / ( ! ` M ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) )
205	197, 198, 204	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( M + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) )
206	188, 205	breqtrd 4679	. . . . 5 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) ~~> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) )
207		seqex 12803	. . . . . 6 |- seq 0 ( + , H ) e. _V
208		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) e. _V
209	207, 208	breldm 5329	. . . . 5 |- ( seq 0 ( + , H ) ~~> ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) -> seq 0 ( + , H ) e. dom ~~> )
210	206, 209	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) e. dom ~~> )
211	53, 54, 61, 69, 75, 82, 149, 170, 210	isumle 14576	. . 3 |- ( ph -> sum_ j e. NN0 ( G ` ( M + j ) ) <_ sum_ j e. NN0 ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) )
212		eqid 2622	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) = ( ZZ>= ` ( 0 + M ) )
213		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( k = ( M + j ) -> ( G ` k ) = ( G ` ( M + j ) ) )
214	55	addid2d 10237	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 + M ) = M )
215	214	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) = ( ZZ>= ` M ) )
216	215	eleq2d 2687	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( k e. ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) <-> k e. ( ZZ>= ` M ) ) )
217	216	biimpa 501	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
218	217, 42	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
219	53, 212, 213, 22, 54, 218	isumshft 14571	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) ( G ` k ) = sum_ j e. NN0 ( G ` ( M + j ) ) )
220	215	sumeq1d 14431	. . . 4 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) ( G ` k ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) )
221	219, 220	eqtr3d 2658	. . 3 |- ( ph -> sum_ j e. NN0 ( G ` ( M + j ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) )
222	82	recnd 10068	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) e. CC )
223	53, 54, 75, 222, 206	isumclim 14488	. . 3 |- ( ph -> sum_ j e. NN0 ( ( ( ( abs ` A ) ^ M ) / ( ! ` M ) ) x. ( ( 1 / ( M + 1 ) ) ^ j ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) )
224	211, 221, 223	3brtr3d 4684	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) <_ ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) )
225	7, 11, 20, 52, 224	letrd 10194	1 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) ) <_ ( ( ( abs ` A ) ^ M ) x. ( ( M + 1 ) / ( ( ! ` M ) x. M ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   seqcseq 12801   ^cexp 12860   !cfa 13060   shift cshi 13806   abscabs 13974   ~~> cli 14215   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  ef01bndlem  14914  eirrlem  14932  dveflem  23742  subfaclim  31170