Theorem eirrlem 14932

Description: Lemma for eirr 14933. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eirr.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
eirr.2	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
eirr.3	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ)
eirr.4	⊢ (𝜑 → e = (𝑃 / 𝑄))

Assertion

Ref	Expression
eirrlem	⊢ ¬ 𝜑

Distinct variable group:   𝑄,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem eirrlem

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esum 14811	. . . . . . . . . 10 ⊢ e = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (1 / (!‘𝑘))
2		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
3	2	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑘)))
4		eirr.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
5		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / (!‘𝑘)) ∈ V
6	3, 4, 5	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
7	6	sumeq2i 14429	. . . . . . . . . 10 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (1 / (!‘𝑘))
8	1, 7	eqtr4i 2647	. . . . . . . . 9 ⊢ e = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘)
9		nn0uz 11722	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
10		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ≥‘(𝑄 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑄 + 1))
11		eirr.3	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ)
12	11	peano2nnd 11037	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℕ)
13	12	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℕ0)
14		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))
15		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
16		1exp 12889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (1↑𝑛) = 1)
18	17	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑛)))
19	18	mpteq2ia 4740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
20	4, 19	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)))
21	20	eftval 14807	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) = ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
22	21	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
23		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
25		eftcl 14804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
26	24, 25	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
27	22, 26	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
28	20	efcllem 14808	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
29	24, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
30	9, 10, 13, 14, 27, 29	isumsplit 14572	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)))
31	8, 30	syl5eq 2668	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → e = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)))
32	11	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
33		pncan 10287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑄 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑄 + 1) − 1) = 𝑄)
34	32, 23, 33	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) − 1) = 𝑄)
35	34	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0...((𝑄 + 1) − 1)) = (0...𝑄))
36	35	sumeq1d 14431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘))
37	36	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)))
38	31, 37	eqtrd 2656	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → e = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)))
39	38	oveq1d 6665	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘)) = ((Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘)))
40		fzfid 12772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0...𝑄) ∈ Fin)
41		elfznn0 12433	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑄) → 𝑘 ∈ ℕ0)
42	41, 27	sylan2 491	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
43	40, 42	fsumcl 14464	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
44	6	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
45		faccl 13070	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
46	45	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
47	46	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ+)
48	47	rpreccld 11882	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (!‘𝑘)) ∈ ℝ+)
49	44, 48	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
50	9, 10, 13, 14, 49, 29	isumrpcl 14575	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ+)
51	50	rpred 11872	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
52	51	recnd 10068	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
53	43, 52	pncan2d 10394	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘))
54	39, 53	eqtrd 2656	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘))
55	54	oveq2d 6666	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘))) = ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)))
56	11	nnnn0d 11351	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ0)
57		faccl 13070	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ ℕ0 → (!‘𝑄) ∈ ℕ)
58	56, 57	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑄) ∈ ℕ)
59	58	nncnd 11036	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑄) ∈ ℂ)
60		ere 14819	. . . . . . 7 ⊢ e ∈ ℝ
61	60	recni 10052	. . . . . 6 ⊢ e ∈ ℂ
62	61	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → e ∈ ℂ)
63	59, 62, 43	subdid 10486	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘))) = (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘))))
64	55, 63	eqtr3d 2658	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) = (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘))))
65		eirr.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → e = (𝑃 / 𝑄))
66	65	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · e) = ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)))
67		eirr.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
68	67	zcnd 11483	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
69	11	nnne0d 11065	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 0)
70	59, 68, 32, 69	div12d 10837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) = (𝑃 · ((!‘𝑄) / 𝑄)))
71	66, 70	eqtrd 2656	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · e) = (𝑃 · ((!‘𝑄) / 𝑄)))
72	11	nnred 11035	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ)
73	72	leidd 10594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≤ 𝑄)
74		facdiv 13074	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ ℕ0 ∧ 𝑄 ∈ ℕ ∧ 𝑄 ≤ 𝑄) → ((!‘𝑄) / 𝑄) ∈ ℕ)
75	56, 11, 73, 74	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) / 𝑄) ∈ ℕ)
76	75	nnzd 11481	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) / 𝑄) ∈ ℤ)
77	67, 76	zmulcld 11488	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 · ((!‘𝑄) / 𝑄)) ∈ ℤ)
78	71, 77	eqeltrd 2701	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · e) ∈ ℤ)
79	40, 59, 42	fsummulc2 14516	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)((!‘𝑄) · (𝐹‘𝑘)))
80	41	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
81	80, 6	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (𝐹‘𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
82	81	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹‘𝑘)) = ((!‘𝑄) · (1 / (!‘𝑘))))
83	59	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑄) ∈ ℂ)
84	41, 46	sylan2 491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
85	84	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
86		facne0 13073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ≠ 0)
87	80, 86	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑘) ≠ 0)
88	83, 85, 87	divrecd 10804	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)) = ((!‘𝑄) · (1 / (!‘𝑘))))
89	82, 88	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹‘𝑘)) = ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)))
90		permnn 13113	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑄) → ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)) ∈ ℕ)
91	90	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)) ∈ ℕ)
92	89, 91	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹‘𝑘)) ∈ ℕ)
93	92	nnzd 11481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹‘𝑘)) ∈ ℤ)
94	40, 93	fsumzcl 14466	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)((!‘𝑄) · (𝐹‘𝑘)) ∈ ℤ)
95	79, 94	eqeltrd 2701	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘)) ∈ ℤ)
96	78, 95	zsubcld 11487	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹‘𝑘))) ∈ ℤ)
97	64, 96	eqeltrd 2701	. 2 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) ∈ ℤ)
98		0zd 11389	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
99	58	nnrpd 11870	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑄) ∈ ℝ+)
100	99, 50	rpmulcld 11888	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ+)
101	100	rpgt0d 11875	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)))
102	12	peano2nnd 11037	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) ∈ ℕ)
103	102	nnred 11035	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) ∈ ℝ)
104		faccl 13070	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑄 + 1) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑄 + 1)) ∈ ℕ)
105	13, 104	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑄 + 1)) ∈ ℕ)
106	105, 12	nnmulcld 11068	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) ∈ ℕ)
107	103, 106	nndivred 11069	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) ∈ ℝ)
108	58	nnrecred 11066	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / (!‘𝑄)) ∈ ℝ)
109		abs1 14037	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘1) = 1
110	109	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs‘1)↑𝑛) = (1↑𝑛)
111	110	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘1)↑𝑛) / (!‘𝑛)) = ((1↑𝑛) / (!‘𝑛))
112	111	mpteq2i 4741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘1)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)))
113	20, 112	eqtr4i 2647	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘1)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
114		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) / (!‘(𝑄 + 1))) · ((1 / ((𝑄 + 1) + 1))↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) / (!‘(𝑄 + 1))) · ((1 / ((𝑄 + 1) + 1))↑𝑛)))
115		1le1 10655	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≤ 1
116	109, 115	eqbrtri 4674	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘1) ≤ 1
117	116	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘1) ≤ 1)
118	20, 113, 114, 12, 24, 117	eftlub 14839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) ≤ (((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))))
119	50	rprege0d 11879	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)))
120		absid 14036	. . . . . . . 8 ⊢ ((Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘))
121	119, 120	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘))
122	109	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) = (1↑(𝑄 + 1))
123	12	nnzd 11481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℤ)
124		1exp 12889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑄 + 1) ∈ ℤ → (1↑(𝑄 + 1)) = 1)
125	123, 124	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1↑(𝑄 + 1)) = 1)
126	122, 125	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) = 1)
127	126	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) = (1 · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))))
128	107	recnd 10068	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) ∈ ℂ)
129	128	mulid2d 10058	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) = (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))))
130	127, 129	eqtrd 2656	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) = (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))))
131	118, 121, 130	3brtr3d 4684	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘) ≤ (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))))
132	12	nnred 11035	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℝ)
133	132, 132	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)) ∈ ℝ)
134	132, 132	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)) ∈ ℝ)
135		1red 10055	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
136	11	nnge1d 11063	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝑄)
137		1nn 11031	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ
138		nnleltp1 11432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑄 ∈ ℕ) → (1 ≤ 𝑄 ↔ 1 < (𝑄 + 1)))
139	137, 11, 138	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 ≤ 𝑄 ↔ 1 < (𝑄 + 1)))
140	136, 139	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 < (𝑄 + 1))
141	135, 132, 132, 140	ltadd2dd 10196	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) < ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)))
142	12	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℂ)
143	142	2timesd 11275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑄 + 1)) = ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)))
144		df-2 11079	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 = (1 + 1)
145	135, 72, 135, 136	leadd1dd 10641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 + 1) ≤ (𝑄 + 1))
146	144, 145	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (𝑄 + 1))
147		2re 11090	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
148	147	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
149	12	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝑄 + 1))
150		lemul1 10875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑄 + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑄 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑄 + 1))) → (2 ≤ (𝑄 + 1) ↔ (2 · (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1))))
151	148, 132, 132, 149, 150	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (2 ≤ (𝑄 + 1) ↔ (2 · (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1))))
152	146, 151	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)))
153	143, 152	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)))
154	103, 133, 134, 141, 153	ltletrd 10197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) < ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)))
155		facp1 13065	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑄 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑄 + 1)) = ((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)))
156	56, 155	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑄 + 1)) = ((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)))
157	156	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)) = (((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)))
158	105	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘(𝑄 + 1)) ∈ ℂ)
159	58	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (!‘𝑄) ≠ 0)
160	158, 59, 159	divrecd 10804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)) = ((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
161	142, 59, 159	divcan3d 10806	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)) = (𝑄 + 1))
162	157, 160, 161	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑄 + 1) = ((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
163	162	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)) = (((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))) · (𝑄 + 1)))
164	108	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 / (!‘𝑄)) ∈ ℂ)
165	158, 164, 142	mul32d 10246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))) · (𝑄 + 1)) = (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
166	163, 165	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)) = (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
167	154, 166	breqtrd 4679	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) < (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
168	106	nnred 11035	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) ∈ ℝ)
169	106	nngt0d 11064	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))
170		ltdivmul 10898	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑄 + 1) + 1) ∈ ℝ ∧ (1 / (!‘𝑄)) ∈ ℝ ∧ (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) → ((((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) < (1 / (!‘𝑄)) ↔ ((𝑄 + 1) + 1) < (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄)))))
171	103, 108, 168, 169, 170	syl112anc 1330	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) < (1 / (!‘𝑄)) ↔ ((𝑄 + 1) + 1) < (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄)))))
172	167, 171	mpbird 247	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) < (1 / (!‘𝑄)))
173	51, 107, 108, 131, 172	lelttrd 10195	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘) < (1 / (!‘𝑄)))
174	51, 135, 99	ltmuldiv2d 11920	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) < 1 ↔ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘) < (1 / (!‘𝑄))))
175	173, 174	mpbird 247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) < 1)
176		0p1e1 11132	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
177	175, 176	syl6breqr 4695	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) < (0 + 1))
178		btwnnz 11453	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 0 < ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) ∧ ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) < (0 + 1)) → ¬ ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) ∈ ℤ)
179	98, 101, 177, 178	syl3anc 1326	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑄 + 1))(𝐹‘𝑘)) ∈ ℤ)
180	97, 179	pm2.65i 185	1 ⊢ ¬ 𝜑

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  dom cdm 5114  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266   / cdiv 10684  ℕcn 11020  2c2 11070  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ℝ⁺crp 11832  ...cfz 12326  seqcseq 12801  ↑cexp 12860  !cfa 13060  abscabs 13974   ⇝ cli 14215  Σcsu 14416  eceu 14793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799

This theorem is referenced by:  eirr  14933