Theorem sincosq2sgn 24251

Description: The signs of the sine and cosine functions in the second quadrant. (Contributed by Paul Chapman, 24-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sincosq2sgn	⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)π) → (0 < (sin‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < 0))

Proof of Theorem sincosq2sgn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfpire 24216	. . 3 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
2		pire 24210	. . 3 ⊢ π ∈ ℝ
3		rexr 10085	. . . 4 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ*)
4		rexr 10085	. . . 4 ⊢ (π ∈ ℝ → π ∈ ℝ*)
5		elioo2 12216	. . . 4 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < π)))
6	3, 4, 5	syl2an 494	. . 3 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < π)))
7	1, 2, 6	mp2an 708	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < π))
8		resubcl 10345	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ)
9	1, 8	mpan2 707	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ)
10		0xr 10086	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ*
11	1	rexri 10097	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
12		elioo2 12216	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → ((𝐴 − (π / 2)) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (π / 2))))
13	10, 11, 12	mp2an 708	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (π / 2)))
14		sincosq1sgn 24250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2)))))
15	13, 14	sylbir 225	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (π / 2)) → (0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2)))))
16	9, 15	syl3an1 1359	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (π / 2)) → (0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2)))))
17	16	3expib 1268	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (π / 2)) → (0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2))))))
18		0re 10040	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
19		ltsub13 10509	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 − (π / 2)) ↔ (π / 2) < (𝐴 − 0)))
20	18, 1, 19	mp3an13 1415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < (𝐴 − (π / 2)) ↔ (π / 2) < (𝐴 − 0)))
21		recn 10026	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
22	21	subid1d 10381	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
23	22	breq2d 4665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π / 2) < (𝐴 − 0) ↔ (π / 2) < 𝐴))
24	20, 23	bitrd 268	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < (𝐴 − (π / 2)) ↔ (π / 2) < 𝐴))
25		ltsubadd 10498	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → ((𝐴 − (π / 2)) < (π / 2) ↔ 𝐴 < ((π / 2) + (π / 2))))
26	1, 1, 25	mp3an23 1416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − (π / 2)) < (π / 2) ↔ 𝐴 < ((π / 2) + (π / 2))))
27		pidiv2halves 24219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) + (π / 2)) = π
28	27	breq2i 4661	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 < ((π / 2) + (π / 2)) ↔ 𝐴 < π)
29	26, 28	syl6bb 276	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝐴 − (π / 2)) < (π / 2) ↔ 𝐴 < π))
30	24, 29	anbi12d 747	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < (𝐴 − (π / 2)) ∧ (𝐴 − (π / 2)) < (π / 2)) ↔ ((π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < π)))
31	9	resincld 14873	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∈ ℝ)
32	31	lt0neg2d 10598	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ↔ -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
33	32	anbi1d 741	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < (sin‘(𝐴 − (π / 2))) ∧ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2)))) ↔ (-(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2))))))
34	17, 30, 33	3imtr3d 282	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → (-(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2))))))
35	1	recni 10052	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
36		pncan3 10289	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((π / 2) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((π / 2) + (𝐴 − (π / 2))) = 𝐴)
37	35, 21, 36	sylancr 695	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π / 2) + (𝐴 − (π / 2))) = 𝐴)
38	37	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘𝐴))
39	9	recnd 10068	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ)
40		coshalfpip 24246	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
42	38, 41	eqtr3d 2658	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (cos‘𝐴) = -(sin‘(𝐴 − (π / 2))))
43	42	breq1d 4663	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((cos‘𝐴) < 0 ↔ -(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0))
44	37	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (sin‘𝐴))
45		sinhalfpip 24244	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 − (π / 2)) ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
46	39, 45	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘((π / 2) + (𝐴 − (π / 2)))) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
47	44, 46	eqtr3d 2658	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = (cos‘(𝐴 − (π / 2))))
48	47	breq2d 4665	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < (sin‘𝐴) ↔ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2)))))
49	43, 48	anbi12d 747	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((cos‘𝐴) < 0 ∧ 0 < (sin‘𝐴)) ↔ (-(sin‘(𝐴 − (π / 2))) < 0 ∧ 0 < (cos‘(𝐴 − (π / 2))))))
50	34, 49	sylibrd 249	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → ((cos‘𝐴) < 0 ∧ 0 < (sin‘𝐴))))
51	50	3impib 1262	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → ((cos‘𝐴) < 0 ∧ 0 < (sin‘𝐴)))
52	51	ancomd 467	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < π) → (0 < (sin‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < 0))
53	7, 52	sylbi 207	1 ⊢ (𝐴 ∈ ((π / 2)(,)π) → (0 < (sin‘𝐴) ∧ (cos‘𝐴) < 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936   + caddc 9939  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   − cmin 10266  -cneg 10267   / cdiv 10684  2c2 11070  (,)cioo 12175  sincsin 14794  cosccos 14795  πcpi 14797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  sincosq3sgn  24252  coseq00topi  24254