Theorem sincos6thpi 24267

Description: The sine and cosine of π / 6. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jan-2008.) Replace OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 24-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sincos6thpi	⊢ ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))

Proof of Theorem sincos6thpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 11091	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		pire 24210	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ
3		6re 11101	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℝ
4		6pos 11119	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 6
5	3, 4	gt0ne0ii 10564	. . . . . 6 ⊢ 6 ≠ 0
6	2, 3, 5	redivcli 10792	. . . . 5 ⊢ (π / 6) ∈ ℝ
7	6	recni 10052	. . . 4 ⊢ (π / 6) ∈ ℂ
8		sincl 14856	. . . 4 ⊢ ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘(π / 6)) ∈ ℂ)
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (sin‘(π / 6)) ∈ ℂ
10		2ne0 11113	. . 3 ⊢ 2 ≠ 0
11		recoscl 14871	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 6) ∈ ℝ → (cos‘(π / 6)) ∈ ℝ)
12	6, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (cos‘(π / 6)) ∈ ℝ
13	12	recni 10052	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘(π / 6)) ∈ ℂ
14	1, 9, 13	mulassi 10049	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6))))
15		sin2t 14907	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 6) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6)))))
16	7, 15	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (sin‘(2 · (π / 6))) = (2 · ((sin‘(π / 6)) · (cos‘(π / 6))))
17	14, 16	eqtr4i 2647	. . . . . 6 ⊢ ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
18		3cn 11095	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
19		3ne0 11115	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ≠ 0
20	1, 18, 19	divcli 10767	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 / 3) ∈ ℂ
21	18, 19	reccli 10755	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
22		df-3 11080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 = (2 + 1)
23	22	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 / 3) = ((2 + 1) / 3)
24	18, 19	dividi 10758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 / 3) = 1
25		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
26	1, 25, 18, 19	divdiri 10782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 + 1) / 3) = ((2 / 3) + (1 / 3))
27	23, 24, 26	3eqtr3ri 2653	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1
28		sincosq1eq 24264	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 / 3) ∈ ℂ ∧ (1 / 3) ∈ ℂ ∧ ((2 / 3) + (1 / 3)) = 1) → (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 3) · (π / 2))))
29	20, 21, 27, 28	mp3an 1424	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (cos‘((1 / 3) · (π / 2)))
30		picn 24211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℂ
31	1, 18, 30, 1, 19, 10	divmuldivi 10785	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 / 3) · (π / 2)) = ((2 · π) / (3 · 2))
32		3t2e6 11179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 · 2) = 6
33	32	oveq2i 6661	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · π) / (3 · 2)) = ((2 · π) / 6)
34		6cn 11102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 ∈ ℂ
35	1, 30, 34, 5	divassi 10781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · π) / 6) = (2 · (π / 6))
36	31, 33, 35	3eqtri 2648	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 / 3) · (π / 2)) = (2 · (π / 6))
37	36	fveq2i 6194	. . . . . . . 8 ⊢ (sin‘((2 / 3) · (π / 2))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
38	29, 37	eqtr3i 2646	. . . . . . 7 ⊢ (cos‘((1 / 3) · (π / 2))) = (sin‘(2 · (π / 6)))
39	25, 18, 30, 1, 19, 10	divmuldivi 10785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 3) · (π / 2)) = ((1 · π) / (3 · 2))
40	30	mulid2i 10043	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · π) = π
41	40, 32	oveq12i 6662	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · π) / (3 · 2)) = (π / 6)
42	39, 41	eqtri 2644	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 3) · (π / 2)) = (π / 6)
43	42	fveq2i 6194	. . . . . . 7 ⊢ (cos‘((1 / 3) · (π / 2))) = (cos‘(π / 6))
44	38, 43	eqtr3i 2646	. . . . . 6 ⊢ (sin‘(2 · (π / 6))) = (cos‘(π / 6))
45	17, 44	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (cos‘(π / 6))
46	13	mulid2i 10043	. . . . 5 ⊢ (1 · (cos‘(π / 6))) = (cos‘(π / 6))
47	45, 46	eqtr4i 2647	. . . 4 ⊢ ((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6)))
48	1, 9	mulcli 10045	. . . . 5 ⊢ (2 · (sin‘(π / 6))) ∈ ℂ
49		pipos 24212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < π
50	2, 3, 49, 4	divgt0ii 10941	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < (π / 6)
51		2lt6 11207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 < 6
52		2re 11090	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
53		2pos 11112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 2
54	52, 53	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
55	3, 4	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)
56	2, 49	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)
57		ltdiv2 10909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6) ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → (2 < 6 ↔ (π / 6) < (π / 2)))
58	54, 55, 56, 57	mp3an 1424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 < 6 ↔ (π / 6) < (π / 2))
59	51, 58	mpbi 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 6) < (π / 2)
60		0re 10040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
61		halfpire 24216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
62		rexr 10085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
63		rexr 10085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ*)
64		elioo2 12216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2))))
65	62, 63, 64	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2))))
66	60, 61, 65	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) < (π / 2)))
67	6, 50, 59, 66	mpbir3an 1244	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 6) ∈ (0(,)(π / 2))
68		sincosq1sgn 24250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 6) ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘(π / 6)) ∧ 0 < (cos‘(π / 6))))
69	67, 68	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < (sin‘(π / 6)) ∧ 0 < (cos‘(π / 6)))
70	69	simpri 478	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (cos‘(π / 6))
71	12, 70	gt0ne0ii 10564	. . . . . 6 ⊢ (cos‘(π / 6)) ≠ 0
72	13, 71	pm3.2i 471	. . . . 5 ⊢ ((cos‘(π / 6)) ∈ ℂ ∧ (cos‘(π / 6)) ≠ 0)
73		mulcan2 10665	. . . . 5 ⊢ (((2 · (sin‘(π / 6))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((cos‘(π / 6)) ∈ ℂ ∧ (cos‘(π / 6)) ≠ 0)) → (((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6))) ↔ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1))
74	48, 25, 72, 73	mp3an 1424	. . . 4 ⊢ (((2 · (sin‘(π / 6))) · (cos‘(π / 6))) = (1 · (cos‘(π / 6))) ↔ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1)
75	47, 74	mpbi 220	. . 3 ⊢ (2 · (sin‘(π / 6))) = 1
76	1, 9, 10, 75	mvllmuli 10858	. 2 ⊢ (sin‘(π / 6)) = (1 / 2)
77		3re 11094	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
78		3pos 11114	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 3
79	77, 78	sqrtpclii 14122	. . . . . . 7 ⊢ (√‘3) ∈ ℝ
80	79	recni 10052	. . . . . 6 ⊢ (√‘3) ∈ ℂ
81	80, 1, 10	sqdivi 12948	. . . . 5 ⊢ (((√‘3) / 2)↑2) = (((√‘3)↑2) / (2↑2))
82	60, 77, 78	ltleii 10160	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 3
83	77	sqsqrti 14115	. . . . . . 7 ⊢ (0 ≤ 3 → ((√‘3)↑2) = 3)
84	82, 83	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((√‘3)↑2) = 3
85		sq2 12960	. . . . . 6 ⊢ (2↑2) = 4
86	84, 85	oveq12i 6662	. . . . 5 ⊢ (((√‘3)↑2) / (2↑2)) = (3 / 4)
87	81, 86	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ (((√‘3) / 2)↑2) = (3 / 4)
88	87	fveq2i 6194	. . 3 ⊢ (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = (√‘(3 / 4))
89	77	sqrtge0i 14116	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ 3 → 0 ≤ (√‘3))
90	82, 89	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (√‘3)
91	79, 52	divge0i 10933	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ (√‘3) ∧ 0 < 2) → 0 ≤ ((√‘3) / 2))
92	90, 53, 91	mp2an 708	. . . 4 ⊢ 0 ≤ ((√‘3) / 2)
93	79, 52, 10	redivcli 10792	. . . . 5 ⊢ ((√‘3) / 2) ∈ ℝ
94	93	sqrtsqi 14114	. . . 4 ⊢ (0 ≤ ((√‘3) / 2) → (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = ((√‘3) / 2))
95	92, 94	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (√‘(((√‘3) / 2)↑2)) = ((√‘3) / 2)
96		4cn 11098	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
97		4ne0 11117	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ≠ 0
98	96, 97	dividi 10758	. . . . . . 7 ⊢ (4 / 4) = 1
99	98	oveq1i 6660	. . . . . 6 ⊢ ((4 / 4) − (1 / 4)) = (1 − (1 / 4))
100	96, 97	pm3.2i 471	. . . . . . . 8 ⊢ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
101		divsubdir 10721	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 − 1) / 4) = ((4 / 4) − (1 / 4)))
102	96, 25, 100, 101	mp3an 1424	. . . . . . 7 ⊢ ((4 − 1) / 4) = ((4 / 4) − (1 / 4))
103		3p1e4 11153	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 1) = 4
104	96, 25, 18	subadd2i 10369	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 − 1) = 3 ↔ (3 + 1) = 4)
105	103, 104	mpbir 221	. . . . . . . 8 ⊢ (4 − 1) = 3
106	105	oveq1i 6660	. . . . . . 7 ⊢ ((4 − 1) / 4) = (3 / 4)
107	102, 106	eqtr3i 2646	. . . . . 6 ⊢ ((4 / 4) − (1 / 4)) = (3 / 4)
108	96, 97	reccli 10755	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 4) ∈ ℂ
109	13	sqcli 12944	. . . . . . 7 ⊢ ((cos‘(π / 6))↑2) ∈ ℂ
110	76	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((sin‘(π / 6))↑2) = ((1 / 2)↑2)
111	1, 10	sqrecii 12946	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2)↑2) = (1 / (2↑2))
112	85	oveq2i 6661	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / (2↑2)) = (1 / 4)
113	110, 111, 112	3eqtri 2648	. . . . . . . . 9 ⊢ ((sin‘(π / 6))↑2) = (1 / 4)
114	113	oveq1i 6660	. . . . . . . 8 ⊢ (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = ((1 / 4) + ((cos‘(π / 6))↑2))
115		sincossq 14906	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 6) ∈ ℂ → (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1)
116	7, 115	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (((sin‘(π / 6))↑2) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1
117	114, 116	eqtr3i 2646	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 4) + ((cos‘(π / 6))↑2)) = 1
118	25, 108, 109, 117	subaddrii 10370	. . . . . 6 ⊢ (1 − (1 / 4)) = ((cos‘(π / 6))↑2)
119	99, 107, 118	3eqtr3ri 2653	. . . . 5 ⊢ ((cos‘(π / 6))↑2) = (3 / 4)
120	119	fveq2i 6194	. . . 4 ⊢ (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (√‘(3 / 4))
121	60, 12, 70	ltleii 10160	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (cos‘(π / 6))
122	12	sqrtsqi 14114	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ (cos‘(π / 6)) → (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (cos‘(π / 6)))
123	121, 122	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (√‘((cos‘(π / 6))↑2)) = (cos‘(π / 6))
124	120, 123	eqtr3i 2646	. . 3 ⊢ (√‘(3 / 4)) = (cos‘(π / 6))
125	88, 95, 124	3eqtr3ri 2653	. 2 ⊢ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2)
126	76, 125	pm3.2i 471	1 ⊢ ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266   / cdiv 10684  2c2 11070  3c3 11071  4c4 11072  6c6 11074  (,)cioo 12175  ↑cexp 12860  √csqrt 13973  sincsin 14794  cosccos 14795  πcpi 14797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  sincos3rdpi  24268  1cubrlem  24568  pigt3  33402