Theorem isprm3 15396

Description: The predicate "is a prime number". A prime number is an integer greater than or equal to 2 with no divisors strictly between 1 and itself. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
isprm3	⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))

Distinct variable group:   𝑧,𝑃

Proof of Theorem isprm3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm2 15395	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
2		iman 440	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ¬ (𝑧 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
3		eluz2nn 11726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
4		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℤ)
5		dvdsle 15032	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 ≤ 𝑃))
6	4, 5	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑧 ∥ 𝑃 → 𝑧 ≤ 𝑃))
7		nnge1 11046	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑧)
8	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑧)
9	6, 8	jctild 566	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑧 ∥ 𝑃 → (1 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑃)))
10	3, 9	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑧 ∥ 𝑃 → (1 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑃)))
11		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
12		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
13		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℝ
14		leltne 10127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑧) → (1 < 𝑧 ↔ 𝑧 ≠ 1))
15	13, 14	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑧) → (1 < 𝑧 ↔ 𝑧 ≠ 1))
16	15	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑧) → (1 < 𝑧 ↔ 𝑧 ≠ 1))
17	16	3expia 1267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (1 ≤ 𝑧 → (1 < 𝑧 ↔ 𝑧 ≠ 1)))
18		leltne 10127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ≤ 𝑃) → (𝑧 < 𝑃 ↔ 𝑃 ≠ 𝑧))
19	18	3expia 1267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑧 ≤ 𝑃 → (𝑧 < 𝑃 ↔ 𝑃 ≠ 𝑧)))
20	17, 19	anim12d 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((1 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑃) → ((1 < 𝑧 ↔ 𝑧 ≠ 1) ∧ (𝑧 < 𝑃 ↔ 𝑃 ≠ 𝑧))))
21	11, 12, 20	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((1 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑃) → ((1 < 𝑧 ↔ 𝑧 ≠ 1) ∧ (𝑧 < 𝑃 ↔ 𝑃 ≠ 𝑧))))
22		pm4.38 916	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((1 < 𝑧 ↔ 𝑧 ≠ 1) ∧ (𝑧 < 𝑃 ↔ 𝑃 ≠ 𝑧)) → ((1 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑃) ↔ (𝑧 ≠ 1 ∧ 𝑃 ≠ 𝑧)))
23		df-ne 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ≠ 1 ↔ ¬ 𝑧 = 1)
24		nesym 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ≠ 𝑧 ↔ ¬ 𝑧 = 𝑃)
25	23, 24	anbi12i 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 ≠ 1 ∧ 𝑃 ≠ 𝑧) ↔ (¬ 𝑧 = 1 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃))
26		ioran 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ (¬ 𝑧 = 1 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑃))
27	25, 26	bitr4i 267	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ≠ 1 ∧ 𝑃 ≠ 𝑧) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))
28	22, 27	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((1 < 𝑧 ↔ 𝑧 ≠ 1) ∧ (𝑧 < 𝑃 ↔ 𝑃 ≠ 𝑧)) → ((1 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑃) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
29	21, 28	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((1 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑃) → ((1 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑃) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
30	4, 3, 29	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((1 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑃) → ((1 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑃) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
31	10, 30	syld 47	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑧 ∥ 𝑃 → ((1 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑃) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
32	31	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → ((1 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑃) ↔ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)))
33		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℤ)
34		1z 11407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ∈ ℤ
35		zltp1le 11427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (1 < 𝑧 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑧))
36	34, 35	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (1 < 𝑧 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑧))
37		df-2 11079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 = (1 + 1)
38	37	breq1i 4660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 ≤ 𝑧 ↔ (1 + 1) ≤ 𝑧)
39	36, 38	syl6bbr 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → (1 < 𝑧 ↔ 2 ≤ 𝑧))
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (1 < 𝑧 ↔ 2 ≤ 𝑧))
41		zltlem1 11430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑧 < 𝑃 ↔ 𝑧 ≤ (𝑃 − 1)))
42	40, 41	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((1 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑃) ↔ (2 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 − 1))))
43		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
44		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℤ
45		elfz 12332	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (2 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 − 1))))
46	44, 45	mp3an2 1412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (2 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 − 1))))
47	43, 46	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (2 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (𝑃 − 1))))
48	42, 47	bitr4d 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((1 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
49	4, 33, 48	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((1 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → ((1 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
51	32, 50	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → (¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
52	51	anasss 679	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ 𝑃)) → (¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
53	52	expcom 451	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → (𝑧 ∈ ℕ → (¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)))))
54	53	pm5.32d 671	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → ((𝑧 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)))))
55		fzssuz 12382	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2...(𝑃 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘2)
56		2eluzge1 11734	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
57		uzss 11708	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → (ℤ≥‘2) ⊆ (ℤ≥‘1))
58	56, 57	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℤ≥‘2) ⊆ (ℤ≥‘1)
59	55, 58	sstri 3612	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2...(𝑃 − 1)) ⊆ (ℤ≥‘1)
60		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
61	59, 60	sseqtr4i 3638	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2...(𝑃 − 1)) ⊆ ℕ
62	61	sseli 3599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → 𝑧 ∈ ℕ)
63	62	pm4.71ri 665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
64	54, 63	syl6bbr 278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → ((𝑧 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
65	64	notbid 308	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → (¬ (𝑧 ∈ ℕ ∧ ¬ (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
66	2, 65	syl5bb 272	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ 𝑃) → ((𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ¬ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))))
67	66	pm5.74da 723	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))) ↔ (𝑧 ∥ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)))))
68		bi2.04 376	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))) ↔ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))))
69		con2b 349	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∥ 𝑃 → ¬ 𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ↔ (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
70	67, 68, 69	3bitr3g 302	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))) ↔ (𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → ¬ 𝑧 ∥ 𝑃)))
71	70	ralbidv2 2984	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃)) ↔ ∀𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
72	71	pm5.32i 669	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 ∥ 𝑃 → (𝑧 = 1 ∨ 𝑧 = 𝑃))) ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))
73	1, 72	bitri 264	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ∀𝑧 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑧 ∥ 𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  ℕcn 11020  2c2 11070  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ...cfz 12326   ∥ cdvds 14983  ℙcprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386

This theorem is referenced by:  prmind2  15398  2prm  15405  3prm  15406  ncoprmlnprm  15436  wilth  24797  mersenne  24952  chtvalz  30707