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Theorem mersenne 24952

Description: A Mersenne prime is a prime number of the form 2↑𝑃 − 1. This theorem shows that the 𝑃 in this expression is necessarily also prime. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
mersenne	⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)

Proof of Theorem mersenne Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 473	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℤ)
2		2nn0 11309	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
3	2	numexp1 15781	. . . . . 6 ⊢ (2↑1) = 2
4		df-2 11079	. . . . . 6 ⊢ 2 = (1 + 1)
5	3, 4	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ (2↑1) = (1 + 1)
6		prmuz2 15408	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ → ((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ_≥‘2))
7	6	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ_≥‘2))
8		eluz2b2 11761	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (((2↑𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 1 < ((2↑𝑃) − 1)))
9	8	simprbi 480	. . . . . . 7 ⊢ (((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 < ((2↑𝑃) − 1))
10	7, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 < ((2↑𝑃) − 1))
11		1red 10055	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 ∈ ℝ)
12		2re 11090	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 2 ∈ ℝ)
14		2ne0 11113	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 2 ≠ 0)
16	13, 15, 1	reexpclzd 13034	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (2↑𝑃) ∈ ℝ)
17	11, 11, 16	ltaddsubd 10627	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((1 + 1) < (2↑𝑃) ↔ 1 < ((2↑𝑃) − 1)))
18	10, 17	mpbird 247	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (1 + 1) < (2↑𝑃))
19	5, 18	syl5eqbr 4688	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (2↑1) < (2↑𝑃))
20		1zzd 11408	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 ∈ ℤ)
21		1lt2 11194	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 < 2)
23	13, 20, 1, 22	ltexp2d 13038	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (1 < 𝑃 ↔ (2↑1) < (2↑𝑃)))
24	19, 23	mpbird 247	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 < 𝑃)
25		eluz2b1 11759	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑃))
26	1, 24, 25	sylanbrc 698	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2))
27		simpllr 799	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ)
28		prmnn 15388	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℕ)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℕ)
30	29	nncnd 11036	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℂ)
31		2nn 11185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
32		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2))
33	32	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2))
34		eluz2nn 11726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑘 ∈ ℕ)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑘 ∈ ℕ)
36	35	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑘 ∈ ℕ₀)
37		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ₀) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
38	31, 36, 37	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
39	38	nnzd 11481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑘) ∈ ℤ)
40		peano2zm 11420	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2↑𝑘) ∈ ℤ → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
42	41	zred 11482	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℝ)
43	42	recnd 10068	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℂ)
44		0red 10041	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 0 ∈ ℝ)
45		1red 10055	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 1 ∈ ℝ)
46		0lt1 10550	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
47	46	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 0 < 1)
48		eluz2b2 11761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑘))
49	48	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2) → 1 < 𝑘)
50	33, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 1 < 𝑘)
51	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 2 ∈ ℝ)
52		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 1 ∈ ℤ)
53		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
54	53	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑘 ∈ ℤ)
55	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 1 < 2)
56	51, 52, 54, 55	ltexp2d 13038	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (1 < 𝑘 ↔ (2↑1) < (2↑𝑘)))
57	50, 56	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑1) < (2↑𝑘))
58	5, 57	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (1 + 1) < (2↑𝑘))
59	38	nnred 11035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑘) ∈ ℝ)
60	45, 45, 59	ltaddsubd 10627	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((1 + 1) < (2↑𝑘) ↔ 1 < ((2↑𝑘) − 1)))
61	58, 60	mpbid 222	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 1 < ((2↑𝑘) − 1))
62	44, 45, 42, 47, 61	lttrd 10198	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 0 < ((2↑𝑘) − 1))
63		elnnz 11387	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑𝑘) − 1) ∈ ℕ ↔ (((2↑𝑘) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((2↑𝑘) − 1)))
64	41, 62, 63	sylanbrc 698	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℕ)
65	64	nnne0d 11065	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ≠ 0)
66	30, 43, 65	divcan2d 10803	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (((2↑𝑘) − 1) · (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))) = ((2↑𝑃) − 1))
67	66, 27	eqeltrd 2701	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (((2↑𝑘) − 1) · (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))) ∈ ℙ)
68		eluz2b2 11761	. . . . . 6 ⊢ (((2↑𝑘) − 1) ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (((2↑𝑘) − 1) ∈ ℕ ∧ 1 < ((2↑𝑘) − 1)))
69	64, 61, 68	sylanbrc 698	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ (ℤ_≥‘2))
70	38	nncnd 11036	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
71		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
72		subeq0 10307	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2↑𝑘) − 1) = 0 ↔ (2↑𝑘) = 1))
73	70, 71, 72	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (((2↑𝑘) − 1) = 0 ↔ (2↑𝑘) = 1))
74	73	necon3bid 2838	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (((2↑𝑘) − 1) ≠ 0 ↔ (2↑𝑘) ≠ 1))
75	65, 74	mpbid 222	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑘) ≠ 1)
76		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑘 ∥ 𝑃)
77		eluz2nn 11726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
78	26, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
79	78	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ)
80		nndivdvds 14989	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ∥ 𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑘) ∈ ℕ))
81	79, 35, 80	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (𝑘 ∥ 𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑘) ∈ ℕ))
82	76, 81	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (𝑃 / 𝑘) ∈ ℕ)
83	82	nnnn0d 11351	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (𝑃 / 𝑘) ∈ ℕ₀)
84	70, 75, 83	geoser 14599	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1))((2↑𝑘)↑𝑛) = ((1 − ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘))) / (1 − (2↑𝑘))))
85	16	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑃) ∈ ℝ)
86	85	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑃) ∈ ℂ)
87		negsubdi2 10340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2↑𝑃) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((2↑𝑃) − 1) = (1 − (2↑𝑃)))
88	86, 71, 87	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → -((2↑𝑃) − 1) = (1 − (2↑𝑃)))
89	79	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℂ)
90	35	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑘 ∈ ℂ)
91	35	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑘 ≠ 0)
92	89, 90, 91	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (𝑘 · (𝑃 / 𝑘)) = 𝑃)
93	92	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑(𝑘 · (𝑃 / 𝑘))) = (2↑𝑃))
94	51	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 2 ∈ ℂ)
95	94, 83, 36	expmuld 13011	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑(𝑘 · (𝑃 / 𝑘))) = ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘)))
96	93, 95	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑃) = ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘)))
97	96	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (1 − (2↑𝑃)) = (1 − ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘))))
98	88, 97	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → -((2↑𝑃) − 1) = (1 − ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘))))
99		negsubdi2 10340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((2↑𝑘) − 1) = (1 − (2↑𝑘)))
100	70, 71, 99	sylancl 694	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → -((2↑𝑘) − 1) = (1 − (2↑𝑘)))
101	98, 100	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (-((2↑𝑃) − 1) / -((2↑𝑘) − 1)) = ((1 − ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘))) / (1 − (2↑𝑘))))
102	30, 43, 65	div2negd 10816	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (-((2↑𝑃) − 1) / -((2↑𝑘) − 1)) = (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)))
103	84, 101, 102	3eqtr2d 2662	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1))((2↑𝑘)↑𝑛) = (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)))
104		fzfid 12772	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (0...((𝑃 / 𝑘) − 1)) ∈ Fin)
105		elfznn0 12433	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ₀)
106		zexpcl 12875	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2↑𝑘) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ₀) → ((2↑𝑘)↑𝑛) ∈ ℤ)
107	39, 105, 106	syl2an 494	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1))) → ((2↑𝑘)↑𝑛) ∈ ℤ)
108	104, 107	fsumzcl 14466	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1))((2↑𝑘)↑𝑛) ∈ ℤ)
109	103, 108	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ ℤ)
110	43	mulid2d 10058	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (1 · ((2↑𝑘) − 1)) = ((2↑𝑘) − 1))
111		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℤ
112		elfzm11 12411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑃)))
113	111, 1, 112	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑃)))
114	113	biimpa 501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < 𝑃))
115	114	simp3d 1075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → 𝑘 < 𝑃)
116	115	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑘 < 𝑃)
117	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
118	51, 54, 117, 55	ltexp2d 13038	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (𝑘 < 𝑃 ↔ (2↑𝑘) < (2↑𝑃)))
119	116, 118	mpbid 222	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (2↑𝑘) < (2↑𝑃))
120	59, 85, 45, 119	ltsub1dd 10639	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) < ((2↑𝑃) − 1))
121	110, 120	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (1 · ((2↑𝑘) − 1)) < ((2↑𝑃) − 1))
122	29	nnred 11035	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℝ)
123		ltmuldiv 10896	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℝ ∧ (((2↑𝑘) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((2↑𝑘) − 1))) → ((1 · ((2↑𝑘) − 1)) < ((2↑𝑃) − 1) ↔ 1 < (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))))
124	45, 122, 42, 62, 123	syl112anc 1330	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ((1 · ((2↑𝑘) − 1)) < ((2↑𝑃) − 1) ↔ 1 < (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))))
125	121, 124	mpbid 222	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → 1 < (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)))
126		eluz2b1 11759	. . . . . 6 ⊢ ((((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ ((((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ ℤ ∧ 1 < (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))))
127	109, 125, 126	sylanbrc 698	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ (ℤ_≥‘2))
128		nprm 15401	. . . . 5 ⊢ ((((2↑𝑘) − 1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ (ℤ_≥‘2)) → ¬ (((2↑𝑘) − 1) · (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))) ∈ ℙ)
129	69, 127, 128	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘 ∥ 𝑃) → ¬ (((2↑𝑘) − 1) · (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))) ∈ ℙ)
130	67, 129	pm2.65da 600	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑘 ∥ 𝑃)
131	130	ralrimiva 2966	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ∀𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑘 ∥ 𝑃)
132		isprm3 15396	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ∀𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑘 ∥ 𝑃))
133	26, 131, 132	sylanbrc 698	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 196 ∧ wa 384 ∧ w3a 1037 = wceq 1483 ∈ wcel 1990 ≠ wne 2794 ∀wral 2912 class class class wbr 4653 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 ℂcc 9934 ℝcr 9935 0cc0 9936 1c1 9937 + caddc 9939 · cmul 9941 < clt 10074 ≤ cle 10075 − cmin 10266 -cneg 10267 / cdiv 10684 ℕcn 11020 2c2 11070 ℕ₀cn0 11292 ℤcz 11377 ℤ_≥cuz 11687 ...cfz 12326 ↑cexp 12860 Σcsu 14416 ∥ cdvds 14983 ℙcprime 15385

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-oi 8415 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-sum 14417 df-dvds 14984 df-prm 15386

This theorem is referenced by: perfect1 24953 perfect 24956 lighneal 41528 perfectALTV 41632

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