Theorem itg2addlem 23525

Description: Lemma for itg2add 23526. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2add.f1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
itg2add.f2	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2add.f3	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
itg2add.g1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
itg2add.g2	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2add.g3	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)
itg2add.p1	⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
itg2add.p2	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑃‘𝑛) ∧ (𝑃‘𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
itg2add.p3	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))
itg2add.q1	⊢ (𝜑 → 𝑄:ℕ⟶dom ∫1)
itg2add.q2	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑄‘𝑛) ∧ (𝑄‘𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑄‘(𝑛 + 1))))
itg2add.q3	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
itg2addlem	⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)) = ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐹   𝑃,𝑛,𝑥   𝑄,𝑛,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem itg2addlem

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑗 𝑘 𝑚 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2add.f1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
2		itg2add.g1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
3	1, 2	mbfadd 23428	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ MblFn)
4		ge0addcl 12284	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑦 + 𝑧) ∈ (0[,)+∞))
5	4	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑦 + 𝑧) ∈ (0[,)+∞))
6		itg2add.f2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
7		itg2add.g2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
8		reex 10027	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
10		inidm 3822	. . . 4 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
11	5, 6, 7, 9, 9, 10	off 6912	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺):ℝ⟶(0[,)+∞))
12		simpl 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) → 𝑓 ∈ dom ∫1)
13		simpr 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) → 𝑔 ∈ dom ∫1)
14	12, 13	i1fadd 23462	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ dom ∫1)
15	14	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑓 ∘𝑓 + 𝑔) ∈ dom ∫1)
16		itg2add.p1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
17		itg2add.q1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄:ℕ⟶dom ∫1)
18		nnex 11026	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℕ ∈ V)
20		inidm 3822	. . . 4 ⊢ (ℕ ∩ ℕ) = ℕ
21	15, 16, 17, 19, 19, 20	off 6912	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄):ℕ⟶dom ∫1)
22		ge0addcl 12284	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑔 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑓 + 𝑔) ∈ (0[,)+∞))
23	22	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑓 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑔 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑓 + 𝑔) ∈ (0[,)+∞))
24	16	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑚) ∈ dom ∫1)
25		itg2add.p2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑃‘𝑛) ∧ (𝑃‘𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
26		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑃‘𝑛) = (𝑃‘𝑚))
27	26	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑃‘𝑛) ↔ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑃‘𝑚)))
28		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 + 1) = (𝑚 + 1))
29	28	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑃‘(𝑛 + 1)) = (𝑃‘(𝑚 + 1)))
30	26, 29	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑃‘𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝑃‘𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1))))
31	27, 30	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑃‘𝑛) ∧ (𝑃‘𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))) ↔ (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑃‘𝑚) ∧ (𝑃‘𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1)))))
32	31	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑃‘𝑛) ∧ (𝑃‘𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑃‘𝑚) ∧ (𝑃‘𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1))))
33	25, 32	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑃‘𝑚) ∧ (𝑃‘𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1))))
34	33	simpld 475	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑃‘𝑚))
35		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝑃‘𝑚) → (0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝑓 ↔ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑃‘𝑚)))
36		feq1 6026	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝑃‘𝑚) → (𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝑃‘𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞)))
37	35, 36	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (𝑃‘𝑚) → ((0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝑓 → 𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞)) ↔ (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑃‘𝑚) → (𝑃‘𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞))))
38		i1ff 23443	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
39		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓:ℝ⟶ℝ → 𝑓 Fn ℝ)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → 𝑓 Fn ℝ)
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝑓) → 𝑓 Fn ℝ)
42		0cn 10032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ∈ ℂ
43		fnconstg 6093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0 ∈ ℂ → (ℂ × {0}) Fn ℂ)
44	42, 43	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℂ × {0}) Fn ℂ
45		df-0p 23437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
46	45	fneq1i 5985	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0𝑝 Fn ℂ ↔ (ℂ × {0}) Fn ℂ)
47	44, 46	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0𝑝 Fn ℂ
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → 0𝑝 Fn ℂ)
49		cnex 10017	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℂ ∈ V
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → ℂ ∈ V)
51	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
52		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
53		sseqin2 3817	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℂ ∩ ℝ) = ℝ)
54	52, 53	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℂ ∩ ℝ) = ℝ
55		0pval 23438	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝑥) = 0)
56	55	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝑝‘𝑥) = 0)
57		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑥))
58	48, 40, 50, 51, 54, 56, 57	ofrfval 6905	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → (0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝑓 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝑓‘𝑥)))
59	58	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝑓) → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝑓‘𝑥))
60	38	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℝ)
61		elrege0 12278	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝑓‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑓‘𝑥)))
62	61	simplbi2 655	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓‘𝑥) ∈ ℝ → (0 ≤ (𝑓‘𝑥) → (𝑓‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
63	60, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑓‘𝑥) → (𝑓‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
64	63	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → (∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝑓‘𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
65	64	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝑓‘𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
66	59, 65	syldan 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝑓) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
67		ffnfv 6388	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝑓 Fn ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
68	41, 66, 67	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝑓) → 𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞))
69	68	ex 450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → (0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝑓 → 𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞)))
70	37, 69	vtoclga 3272	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃‘𝑚) ∈ dom ∫1 → (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑃‘𝑚) → (𝑃‘𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞)))
71	24, 34, 70	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞))
72	17	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑚) ∈ dom ∫1)
73		itg2add.q2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑄‘𝑛) ∧ (𝑄‘𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑄‘(𝑛 + 1))))
74		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑄‘𝑛) = (𝑄‘𝑚))
75	74	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑄‘𝑛) ↔ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑄‘𝑚)))
76	28	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑄‘(𝑛 + 1)) = (𝑄‘(𝑚 + 1)))
77	74, 76	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑄‘𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑄‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝑄‘𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1))))
78	75, 77	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑄‘𝑛) ∧ (𝑄‘𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑄‘(𝑛 + 1))) ↔ (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑄‘𝑚) ∧ (𝑄‘𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1)))))
79	78	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑄‘𝑛) ∧ (𝑄‘𝑛) ∘𝑟 ≤ (𝑄‘(𝑛 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑄‘𝑚) ∧ (𝑄‘𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1))))
80	73, 79	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑄‘𝑚) ∧ (𝑄‘𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1))))
81	80	simpld 475	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑄‘𝑚))
82		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝑄‘𝑚) → (0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝑓 ↔ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑄‘𝑚)))
83		feq1 6026	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝑄‘𝑚) → (𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝑄‘𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞)))
84	82, 83	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (𝑄‘𝑚) → ((0𝑝 ∘𝑟 ≤ 𝑓 → 𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞)) ↔ (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑄‘𝑚) → (𝑄‘𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞))))
85	84, 69	vtoclga 3272	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄‘𝑚) ∈ dom ∫1 → (0𝑝 ∘𝑟 ≤ (𝑄‘𝑚) → (𝑄‘𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞)))
86	72, 81, 85	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞))
87	8	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ℝ ∈ V)
88	23, 71, 86, 87, 87, 10	off 6912	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑚) ∘𝑓 + (𝑄‘𝑚)):ℝ⟶(0[,)+∞))
89		0plef 23439	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃‘𝑚) ∘𝑓 + (𝑄‘𝑚)):ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (((𝑃‘𝑚) ∘𝑓 + (𝑄‘𝑚)):ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ ((𝑃‘𝑚) ∘𝑓 + (𝑄‘𝑚))))
90	88, 89	sylib 208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑃‘𝑚) ∘𝑓 + (𝑄‘𝑚)):ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝 ∘𝑟 ≤ ((𝑃‘𝑚) ∘𝑓 + (𝑄‘𝑚))))
91	90	simprd 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 0𝑝 ∘𝑟 ≤ ((𝑃‘𝑚) ∘𝑓 + (𝑄‘𝑚)))
92		ffn 6045	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃:ℕ⟶dom ∫1 → 𝑃 Fn ℕ)
93	16, 92	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 Fn ℕ)
94		ffn 6045	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄:ℕ⟶dom ∫1 → 𝑄 Fn ℕ)
95	17, 94	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 Fn ℕ)
96		eqidd 2623	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑚) = (𝑃‘𝑚))
97		eqidd 2623	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑚) = (𝑄‘𝑚))
98	93, 95, 19, 19, 20, 96, 97	ofval 6906	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚) = ((𝑃‘𝑚) ∘𝑓 + (𝑄‘𝑚)))
99	91, 98	breqtrrd 4681	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 0𝑝 ∘𝑟 ≤ ((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚))
100		i1ff 23443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃‘𝑚) ∈ dom ∫1 → (𝑃‘𝑚):ℝ⟶ℝ)
101	24, 100	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑚):ℝ⟶ℝ)
102	101	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘𝑚)‘𝑦) ∈ ℝ)
103		i1ff 23443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑄‘𝑚) ∈ dom ∫1 → (𝑄‘𝑚):ℝ⟶ℝ)
104	72, 103	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑚):ℝ⟶ℝ)
105	104	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑄‘𝑚)‘𝑦) ∈ ℝ)
106		peano2nn 11032	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
107		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃:ℕ⟶dom ∫1 ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1)
108	16, 106, 107	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1)
109		i1ff 23443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1 → (𝑃‘(𝑚 + 1)):ℝ⟶ℝ)
110	108, 109	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑚 + 1)):ℝ⟶ℝ)
111	110	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) ∈ ℝ)
112		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑄:ℕ⟶dom ∫1 ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → (𝑄‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1)
113	17, 106, 112	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1)
114		i1ff 23443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑄‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1 → (𝑄‘(𝑚 + 1)):ℝ⟶ℝ)
115	113, 114	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘(𝑚 + 1)):ℝ⟶ℝ)
116	115	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦) ∈ ℝ)
117	33	simprd 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1)))
118		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃‘𝑚):ℝ⟶ℝ → (𝑃‘𝑚) Fn ℝ)
119	101, 118	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑚) Fn ℝ)
120		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃‘(𝑚 + 1)):ℝ⟶ℝ → (𝑃‘(𝑚 + 1)) Fn ℝ)
121	110, 120	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑚 + 1)) Fn ℝ)
122		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘𝑚)‘𝑦) = ((𝑃‘𝑚)‘𝑦))
123		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) = ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
124	119, 121, 87, 87, 10, 122, 123	ofrfval 6905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑃‘𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦)))
125	117, 124	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑃‘𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
126	125	r19.21bi 2932	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
127	80	simprd 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1)))
128		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑄‘𝑚):ℝ⟶ℝ → (𝑄‘𝑚) Fn ℝ)
129	104, 128	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑚) Fn ℝ)
130		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑄‘(𝑚 + 1)):ℝ⟶ℝ → (𝑄‘(𝑚 + 1)) Fn ℝ)
131	115, 130	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘(𝑚 + 1)) Fn ℝ)
132		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑄‘𝑚)‘𝑦) = ((𝑄‘𝑚)‘𝑦))
133		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦) = ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
134	129, 131, 87, 87, 10, 132, 133	ofrfval 6905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑄‘𝑚) ∘𝑟 ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑄‘𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦)))
135	127, 134	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑄‘𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
136	135	r19.21bi 2932	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑄‘𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
137	102, 105, 111, 116, 126, 136	le2addd 10646	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑃‘𝑚)‘𝑦) + ((𝑄‘𝑚)‘𝑦)) ≤ (((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) + ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦)))
138	137	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ∀𝑦 ∈ ℝ (((𝑃‘𝑚)‘𝑦) + ((𝑄‘𝑚)‘𝑦)) ≤ (((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) + ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦)))
139	24, 72	i1fadd 23462	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑚) ∘𝑓 + (𝑄‘𝑚)) ∈ dom ∫1)
140		i1ff 23443	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃‘𝑚) ∘𝑓 + (𝑄‘𝑚)) ∈ dom ∫1 → ((𝑃‘𝑚) ∘𝑓 + (𝑄‘𝑚)):ℝ⟶ℝ)
141		ffn 6045	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃‘𝑚) ∘𝑓 + (𝑄‘𝑚)):ℝ⟶ℝ → ((𝑃‘𝑚) ∘𝑓 + (𝑄‘𝑚)) Fn ℝ)
142	139, 140, 141	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑚) ∘𝑓 + (𝑄‘𝑚)) Fn ℝ)
143	108, 113	i1fadd 23462	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1))) ∈ dom ∫1)
144		i1ff 23443	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1))) ∈ dom ∫1 → ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1))):ℝ⟶ℝ)
145	143, 144	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1))):ℝ⟶ℝ)
146		ffn 6045	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1))):ℝ⟶ℝ → ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1))) Fn ℝ)
147	145, 146	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1))) Fn ℝ)
148	119, 129, 87, 87, 10, 122, 132	ofval 6906	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑃‘𝑚) ∘𝑓 + (𝑄‘𝑚))‘𝑦) = (((𝑃‘𝑚)‘𝑦) + ((𝑄‘𝑚)‘𝑦)))
149	121, 131, 87, 87, 10, 123, 133	ofval 6906	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1)))‘𝑦) = (((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) + ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦)))
150	142, 147, 87, 87, 10, 148, 149	ofrfval 6905	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑃‘𝑚) ∘𝑓 + (𝑄‘𝑚)) ∘𝑟 ≤ ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1))) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (((𝑃‘𝑚)‘𝑦) + ((𝑄‘𝑚)‘𝑦)) ≤ (((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) + ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦))))
151	138, 150	mpbird 247	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑚) ∘𝑓 + (𝑄‘𝑚)) ∘𝑟 ≤ ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1))))
152		eqidd 2623	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑚 + 1)) = (𝑃‘(𝑚 + 1)))
153		eqidd 2623	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → (𝑄‘(𝑚 + 1)) = (𝑄‘(𝑚 + 1)))
154	93, 95, 19, 19, 20, 152, 153	ofval 6906	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → ((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘(𝑚 + 1)) = ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1))))
155	106, 154	sylan2 491	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘(𝑚 + 1)) = ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘𝑓 + (𝑄‘(𝑚 + 1))))
156	151, 98, 155	3brtr4d 4685	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚) ∘𝑟 ≤ ((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘(𝑚 + 1)))
157	99, 156	jca 554	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0𝑝 ∘𝑟 ≤ ((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚) ∧ ((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚) ∘𝑟 ≤ ((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘(𝑚 + 1))))
158	157	ralrimiva 2966	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (0𝑝 ∘𝑟 ≤ ((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚) ∧ ((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚) ∘𝑟 ≤ ((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘(𝑚 + 1))))
159		fveq2 6191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛) = ((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚))
160	159	fveq1d 6193	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦) = (((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦))
161	160	cbvmptv 4750	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦))
162		nnuz 11723	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
163		1zzd 11408	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℤ)
164		itg2add.p3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))
165		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑃‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))
166	165	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦)))
167		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
168	166, 167	breq12d 4666	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)))
169	168	rspccva 3308	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦))
170	164, 169	sylan 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦))
171	18	mptex 6486	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦)) ∈ V
172	171	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦)) ∈ V)
173		itg2add.q3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))
174		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑄‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑄‘𝑛)‘𝑦))
175	174	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦)))
176		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑦))
177	175, 176	breq12d 4666	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))
178	177	rspccva 3308	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦))
179	173, 178	sylan 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦))
180	26	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑃‘𝑛)‘𝑦) = ((𝑃‘𝑚)‘𝑦))
181		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))
182		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃‘𝑚)‘𝑦) ∈ V
183	180, 181, 182	fvmpt 6282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = ((𝑃‘𝑚)‘𝑦))
184	183	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = ((𝑃‘𝑚)‘𝑦))
185	102	an32s 846	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑚)‘𝑦) ∈ ℝ)
186	184, 185	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) ∈ ℝ)
187	186	recnd 10068	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) ∈ ℂ)
188	74	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑄‘𝑛)‘𝑦) = ((𝑄‘𝑚)‘𝑦))
189		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦))
190		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑄‘𝑚)‘𝑦) ∈ V
191	188, 189, 190	fvmpt 6282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = ((𝑄‘𝑚)‘𝑦))
192	191	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = ((𝑄‘𝑚)‘𝑦))
193	105	an32s 846	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑄‘𝑚)‘𝑦) ∈ ℝ)
194	192, 193	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) ∈ ℝ)
195	194	recnd 10068	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) ∈ ℂ)
196	98	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦) = (((𝑃‘𝑚) ∘𝑓 + (𝑄‘𝑚))‘𝑦))
197	196	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦) = (((𝑃‘𝑚) ∘𝑓 + (𝑄‘𝑚))‘𝑦))
198	197, 148	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦) = (((𝑃‘𝑚)‘𝑦) + ((𝑄‘𝑚)‘𝑦)))
199	198	an32s 846	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦) = (((𝑃‘𝑚)‘𝑦) + ((𝑄‘𝑚)‘𝑦)))
200		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦))
201		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦) ∈ V
202	160, 200, 201	fvmpt 6282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = (((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦))
203	202	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = (((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦))
204	184, 192	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) + ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚)) = (((𝑃‘𝑚)‘𝑦) + ((𝑄‘𝑚)‘𝑦)))
205	199, 203, 204	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) + ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚)))
206	162, 163, 170, 172, 179, 187, 195, 205	climadd 14362	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ ((𝐹‘𝑦) + (𝐺‘𝑦)))
207	161, 206	syl5eqbrr 4689	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦)) ⇝ ((𝐹‘𝑦) + (𝐺‘𝑦)))
208		ffn 6045	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) → 𝐹 Fn ℝ)
209	6, 208	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℝ)
210		ffn 6045	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞) → 𝐺 Fn ℝ)
211	7, 210	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn ℝ)
212		eqidd 2623	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
213		eqidd 2623	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑦))
214	209, 211, 9, 9, 10, 212, 213	ofval 6906	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑦) = ((𝐹‘𝑦) + (𝐺‘𝑦)))
215	207, 214	breqtrrd 4681	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦)) ⇝ ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑦))
216	215	ralrimiva 2966	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦)) ⇝ ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑦))
217		fveq2 6191	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛) = ((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑗))
218	217	fveq2d 6195	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛)) = (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑗)))
219	218	cbvmptv 4750	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑗)))
220		itg2add.f3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
221		itg2add.g3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)
222	220, 221	readdcld 10069	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ∈ ℝ)
223	98	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)) = (∫1‘((𝑃‘𝑚) ∘𝑓 + (𝑄‘𝑚))))
224	24, 72	itg1add 23468	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃‘𝑚) ∘𝑓 + (𝑄‘𝑚))) = ((∫1‘(𝑃‘𝑚)) + (∫1‘(𝑄‘𝑚))))
225	223, 224	eqtrd 2656	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)) = ((∫1‘(𝑃‘𝑚)) + (∫1‘(𝑄‘𝑚))))
226		itg1cl 23452	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘𝑚) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑃‘𝑚)) ∈ ℝ)
227	24, 226	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃‘𝑚)) ∈ ℝ)
228		itg1cl 23452	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄‘𝑚) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑄‘𝑚)) ∈ ℝ)
229	72, 228	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑄‘𝑚)) ∈ ℝ)
230	220	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
231	221	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)
232	6	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
233		icossicc 12260	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
234		fss 6056	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
235	232, 233, 234	sylancl 694	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
236	1, 6, 16, 25, 164	itg2i1fseqle 23521	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑚) ∘𝑟 ≤ 𝐹)
237		itg2ub 23500	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑃‘𝑚) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑃‘𝑚) ∘𝑟 ≤ 𝐹) → (∫1‘(𝑃‘𝑚)) ≤ (∫2‘𝐹))
238	235, 24, 236, 237	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃‘𝑚)) ≤ (∫2‘𝐹))
239	7	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
240		fss 6056	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
241	239, 233, 240	sylancl 694	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
242	2, 7, 17, 73, 173	itg2i1fseqle 23521	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑚) ∘𝑟 ≤ 𝐺)
243		itg2ub 23500	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑄‘𝑚) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑄‘𝑚) ∘𝑟 ≤ 𝐺) → (∫1‘(𝑄‘𝑚)) ≤ (∫2‘𝐺))
244	241, 72, 242, 243	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑄‘𝑚)) ≤ (∫2‘𝐺))
245	227, 229, 230, 231, 238, 244	le2addd 10646	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((∫1‘(𝑃‘𝑚)) + (∫1‘(𝑄‘𝑚))) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))
246	225, 245	eqbrtrd 4675	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))
247	246	ralrimiva 2966	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))
248		fveq2 6191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚) = ((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑘))
249	248	fveq2d 6195	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)) = (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑘)))
250	249	breq1d 4663	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ↔ (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑘)) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺))))
251	250	rspccva 3308	. . . 4 ⊢ ((∀𝑚 ∈ ℕ (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑘)) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))
252	247, 251	sylan 488	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑘)) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))
253	3, 11, 21, 158, 216, 219, 222, 252	itg2i1fseq2 23523	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛))) ⇝ (∫2‘(𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)))
254		1zzd 11408	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
255		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃‘𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃‘𝑘)))
256	1, 6, 16, 25, 164, 255, 220	itg2i1fseq3 23524	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃‘𝑘))) ⇝ (∫2‘𝐹))
257	18	mptex 6486	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛))) ∈ V
258	257	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛))) ∈ V)
259		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄‘𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄‘𝑘)))
260	2, 7, 17, 73, 173, 259, 221	itg2i1fseq3 23524	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄‘𝑘))) ⇝ (∫2‘𝐺))
261		fveq2 6191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘𝑚))
262	261	fveq2d 6195	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (∫1‘(𝑃‘𝑘)) = (∫1‘(𝑃‘𝑚)))
263		fvex 6201	. . . . . 6 ⊢ (∫1‘(𝑃‘𝑚)) ∈ V
264	262, 255, 263	fvmpt 6282	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃‘𝑘)))‘𝑚) = (∫1‘(𝑃‘𝑚)))
265	264	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃‘𝑘)))‘𝑚) = (∫1‘(𝑃‘𝑚)))
266	227	recnd 10068	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃‘𝑚)) ∈ ℂ)
267	265, 266	eqeltrd 2701	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃‘𝑘)))‘𝑚) ∈ ℂ)
268		fveq2 6191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝑄‘𝑘) = (𝑄‘𝑚))
269	268	fveq2d 6195	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (∫1‘(𝑄‘𝑘)) = (∫1‘(𝑄‘𝑚)))
270		fvex 6201	. . . . . 6 ⊢ (∫1‘(𝑄‘𝑚)) ∈ V
271	269, 259, 270	fvmpt 6282	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄‘𝑘)))‘𝑚) = (∫1‘(𝑄‘𝑚)))
272	271	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄‘𝑘)))‘𝑚) = (∫1‘(𝑄‘𝑚)))
273	229	recnd 10068	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑄‘𝑚)) ∈ ℂ)
274	272, 273	eqeltrd 2701	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄‘𝑘)))‘𝑚) ∈ ℂ)
275		fveq2 6191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → ((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑗) = ((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚))
276	275	fveq2d 6195	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑗)) = (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)))
277		fvex 6201	. . . . . 6 ⊢ (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)) ∈ V
278	276, 219, 277	fvmpt 6282	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛)))‘𝑚) = (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)))
279	278	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛)))‘𝑚) = (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑚)))
280	265, 272	oveq12d 6668	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃‘𝑘)))‘𝑚) + ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄‘𝑘)))‘𝑚)) = ((∫1‘(𝑃‘𝑚)) + (∫1‘(𝑄‘𝑚))))
281	225, 279, 280	3eqtr4d 2666	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛)))‘𝑚) = (((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃‘𝑘)))‘𝑚) + ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄‘𝑘)))‘𝑚)))
282	162, 254, 256, 258, 260, 267, 274, 281	climadd 14362	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛))) ⇝ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))
283		climuni 14283	. 2 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛))) ⇝ (∫2‘(𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃 ∘𝑓 ∘𝑓 + 𝑄)‘𝑛))) ⇝ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺))) → (∫2‘(𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)) = ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))
284	253, 282, 283	syl2anc 693	1 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)) = ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  Vcvv 3200   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  {csn 4177   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729   × cxp 5112  dom cdm 5114   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895   ∘_𝑟 cofr 6896  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939  +∞cpnf 10071   ≤ cle 10075  ℕcn 11020  [,)cico 12177  [,]cicc 12178   ⇝ cli 14215  MblFncmbf 23383  ∫₁citg1 23384  ∫₂citg2 23385  0_𝑝c0p 23436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-0p 23437

This theorem is referenced by:  itg2add  23526