Theorem itg2i1fseq2 23523

Description: In an extension to the results of itg2i1fseq 23522, if there is an upper bound on the integrals of the simple functions approaching F, then S.2 F is real and the standard limit relation applies. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2i1fseq.1	|- ( ph -> F e. MblFn )
itg2i1fseq.2	|- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2i1fseq.3	|- ( ph -> P : NN --> dom S.1 )
itg2i1fseq.4	|- ( ph -> A. n e. NN ( 0p oR <_ ( P ` n ) /\ ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) ) )
itg2i1fseq.5	|- ( ph -> A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) )
itg2i1fseq.6	|- S = ( m e. NN |-> ( S.1 ` ( P ` m ) ) )
itg2i1fseq2.7	|- ( ph -> M e. RR )
itg2i1fseq2.8	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( S.1 ` ( P ` k ) ) <_ M )

Assertion

Ref	Expression
itg2i1fseq2	|- ( ph -> S ~~> ( S.2 ` F ) )

Distinct variable groups:   k, m, n, x, F   k, M, n   P, k, m, n, x   ph, k, m   S, k

Allowed substitution hints:   ph( x, n)   S( x, m, n)   M( x, m)

Proof of Theorem itg2i1fseq2

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11723	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 11408	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
3		itg2i1fseq.3	. . . . . 6 |- ( ph -> P : NN --> dom S.1 )
4	3	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) e. dom S.1 )
5		itg1cl 23452	. . . . 5 |- ( ( P ` m ) e. dom S.1 -> ( S.1 ` ( P ` m ) ) e. RR )
6	4, 5	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( S.1 ` ( P ` m ) ) e. RR )
7		itg2i1fseq.6	. . . 4 |- S = ( m e. NN |-> ( S.1 ` ( P ` m ) ) )
8	6, 7	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> S : NN --> RR )
9	3	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( P ` k ) e. dom S.1 )
10		peano2nn 11032	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
11		ffvelrn 6357	. . . . . 6 |- ( ( P : NN --> dom S.1 /\ ( k + 1 ) e. NN ) -> ( P ` ( k + 1 ) ) e. dom S.1 )
12	3, 10, 11	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( P ` ( k + 1 ) ) e. dom S.1 )
13		itg2i1fseq.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n e. NN ( 0p oR <_ ( P ` n ) /\ ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) ) )
14		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( 0p oR <_ ( P ` n ) /\ ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) ) -> ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) )
15	14	ralimi 2952	. . . . . . 7 |- ( A. n e. NN ( 0p oR <_ ( P ` n ) /\ ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) ) -> A. n e. NN ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) )
16	13, 15	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. NN ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) )
17		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( n = k -> ( P ` n ) = ( P ` k ) )
18		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( n + 1 ) = ( k + 1 ) )
19	18	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( n = k -> ( P ` ( n + 1 ) ) = ( P ` ( k + 1 ) ) )
20	17, 19	breq12d 4666	. . . . . . 7 |- ( n = k -> ( ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) <-> ( P ` k ) oR <_ ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
21	20	rspccva 3308	. . . . . 6 |- ( ( A. n e. NN ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) /\ k e. NN ) -> ( P ` k ) oR <_ ( P ` ( k + 1 ) ) )
22	16, 21	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( P ` k ) oR <_ ( P ` ( k + 1 ) ) )
23		itg1le 23480	. . . . 5 |- ( ( ( P ` k ) e. dom S.1 /\ ( P ` ( k + 1 ) ) e. dom S.1 /\ ( P ` k ) oR <_ ( P ` ( k + 1 ) ) ) -> ( S.1 ` ( P ` k ) ) <_ ( S.1 ` ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
24	9, 12, 22, 23	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( S.1 ` ( P ` k ) ) <_ ( S.1 ` ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
25		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( m = k -> ( P ` m ) = ( P ` k ) )
26	25	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( m = k -> ( S.1 ` ( P ` m ) ) = ( S.1 ` ( P ` k ) ) )
27		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( S.1 ` ( P ` k ) ) e. _V
28	26, 7, 27	fvmpt 6282	. . . . 5 |- ( k e. NN -> ( S ` k ) = ( S.1 ` ( P ` k ) ) )
29	28	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( S ` k ) = ( S.1 ` ( P ` k ) ) )
30		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( P ` m ) = ( P ` ( k + 1 ) ) )
31	30	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( m = ( k + 1 ) -> ( S.1 ` ( P ` m ) ) = ( S.1 ` ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
32		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( S.1 ` ( P ` ( k + 1 ) ) ) e. _V
33	31, 7, 32	fvmpt 6282	. . . . . 6 |- ( ( k + 1 ) e. NN -> ( S ` ( k + 1 ) ) = ( S.1 ` ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
34	10, 33	syl 17	. . . . 5 |- ( k e. NN -> ( S ` ( k + 1 ) ) = ( S.1 ` ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
35	34	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( S ` ( k + 1 ) ) = ( S.1 ` ( P ` ( k + 1 ) ) ) )
36	24, 29, 35	3brtr4d 4685	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( S ` k ) <_ ( S ` ( k + 1 ) ) )
37		itg2i1fseq2.7	. . . 4 |- ( ph -> M e. RR )
38		itg2i1fseq2.8	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( S.1 ` ( P ` k ) ) <_ M )
39	29, 38	eqbrtrd 4675	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( S ` k ) <_ M )
40	39	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. NN ( S ` k ) <_ M )
41		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( z = M -> ( ( S ` k ) <_ z <-> ( S ` k ) <_ M ) )
42	41	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( z = M -> ( A. k e. NN ( S ` k ) <_ z <-> A. k e. NN ( S ` k ) <_ M ) )
43	42	rspcev 3309	. . . 4 |- ( ( M e. RR /\ A. k e. NN ( S ` k ) <_ M ) -> E. z e. RR A. k e. NN ( S ` k ) <_ z )
44	37, 40, 43	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> E. z e. RR A. k e. NN ( S ` k ) <_ z )
45	1, 2, 8, 36, 44	climsup 14400	. 2 |- ( ph -> S ~~> sup ( ran S , RR , < ) )
46		itg2i1fseq.1	. . . 4 |- ( ph -> F e. MblFn )
47		itg2i1fseq.2	. . . 4 |- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
48		itg2i1fseq.5	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) )
49	46, 47, 3, 13, 48, 7	itg2i1fseq 23522	. . 3 |- ( ph -> ( S.2 ` F ) = sup ( ran S , RR* , < ) )
50		frn 6053	. . . . 5 |- ( S : NN --> RR -> ran S C_ RR )
51	8, 50	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ran S C_ RR )
52	7, 6	dmmptd 6024	. . . . . 6 |- ( ph -> dom S = NN )
53		1nn 11031	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
54		ne0i 3921	. . . . . . 7 |- ( 1 e. NN -> NN =/= (/) )
55	53, 54	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( ph -> NN =/= (/) )
56	52, 55	eqnetrd 2861	. . . . 5 |- ( ph -> dom S =/= (/) )
57		dm0rn0 5342	. . . . . 6 |- ( dom S = (/) <-> ran S = (/) )
58	57	necon3bii 2846	. . . . 5 |- ( dom S =/= (/) <-> ran S =/= (/) )
59	56, 58	sylib 208	. . . 4 |- ( ph -> ran S =/= (/) )
60		ffn 6045	. . . . . . 7 |- ( S : NN --> RR -> S Fn NN )
61		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( y = ( S ` k ) -> ( y <_ z <-> ( S ` k ) <_ z ) )
62	61	ralrn 6362	. . . . . . 7 |- ( S Fn NN -> ( A. y e. ran S y <_ z <-> A. k e. NN ( S ` k ) <_ z ) )
63	8, 60, 62	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. y e. ran S y <_ z <-> A. k e. NN ( S ` k ) <_ z ) )
64	63	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. z e. RR A. y e. ran S y <_ z <-> E. z e. RR A. k e. NN ( S ` k ) <_ z ) )
65	44, 64	mpbird 247	. . . 4 |- ( ph -> E. z e. RR A. y e. ran S y <_ z )
66		supxrre 12157	. . . 4 |- ( ( ran S C_ RR /\ ran S =/= (/) /\ E. z e. RR A. y e. ran S y <_ z ) -> sup ( ran S , RR* , < ) = sup ( ran S , RR , < ) )
67	51, 59, 65, 66	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) = sup ( ran S , RR , < ) )
68	49, 67	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> ( S.2 ` F ) = sup ( ran S , RR , < ) )
69	45, 68	breqtrrd 4681	1 |- ( ph -> S ~~> ( S.2 ` F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oRcofr 6896   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   [,)cico 12177   ~~> cli 14215  MblFncmbf 23383   S.1citg1 23384   S.2citg2 23385   0pc0p 23436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-0p 23437

This theorem is referenced by:  itg2i1fseq3  23524  itg2addlem  23525