Theorem itg2split 23516

Description: The S.2 integral splits under an almost disjoint union. (The proof avoids the use of itg2add 23526 which requires CC.) (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2split.a	|- ( ph -> A e. dom vol )
itg2split.b	|- ( ph -> B e. dom vol )
itg2split.i	|- ( ph -> ( vol* ` ( A i^i B ) ) = 0 )
itg2split.u	|- ( ph -> U = ( A u. B ) )
itg2split.c	|- ( ( ph /\ x e. U ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
itg2split.f	|- F = ( x e. RR |-> if ( x e. A , C , 0 ) )
itg2split.g	|- G = ( x e. RR |-> if ( x e. B , C , 0 ) )
itg2split.h	|- H = ( x e. RR |-> if ( x e. U , C , 0 ) )
itg2split.sf	|- ( ph -> ( S.2 ` F ) e. RR )
itg2split.sg	|- ( ph -> ( S.2 ` G ) e. RR )

Assertion

Ref	Expression
itg2split	|- ( ph -> ( S.2 ` H ) = ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x   x, A   x, B   x, U

Allowed substitution hints:   C( x)   F( x)   G( x)   H( x)

Proof of Theorem itg2split

Dummy variables f g y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2split.a	. . 3 |- ( ph -> A e. dom vol )
2		itg2split.b	. . 3 |- ( ph -> B e. dom vol )
3		itg2split.i	. . 3 |- ( ph -> ( vol* ` ( A i^i B ) ) = 0 )
4		itg2split.u	. . 3 |- ( ph -> U = ( A u. B ) )
5		itg2split.c	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. U ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
6		itg2split.f	. . 3 |- F = ( x e. RR |-> if ( x e. A , C , 0 ) )
7		itg2split.g	. . 3 |- G = ( x e. RR |-> if ( x e. B , C , 0 ) )
8		itg2split.h	. . 3 |- H = ( x e. RR |-> if ( x e. U , C , 0 ) )
9		itg2split.sf	. . 3 |- ( ph -> ( S.2 ` F ) e. RR )
10		itg2split.sg	. . 3 |- ( ph -> ( S.2 ` G ) e. RR )
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	itg2splitlem 23515	. 2 |- ( ph -> ( S.2 ` H ) <_ ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) )
12	10	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) ) -> ( S.2 ` G ) e. RR )
13	5	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ x e. U ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
14		0e0iccpnf 12283	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ -. x e. U ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
16	13, 15	ifclda 4120	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. U , C , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
17	16, 8	fmptd 6385	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> H : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
18	9, 10	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) e. RR )
19		itg2lecl 23505	. . . . . . . . 9 |- ( ( H : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) e. RR /\ ( S.2 ` H ) <_ ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) ) -> ( S.2 ` H ) e. RR )
20	17, 18, 11, 19	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S.2 ` H ) e. RR )
21	20	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) ) -> ( S.2 ` H ) e. RR )
22		itg1cl 23452	. . . . . . . 8 |- ( f e. dom S.1 -> ( S.1 ` f ) e. RR )
23	22	ad2antrl 764	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) ) -> ( S.1 ` f ) e. RR )
24		simprll 802	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) -> f e. dom S.1 )
25		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) -> g e. dom S.1 )
26	24, 25	itg1add 23468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) -> ( S.1 ` ( f oF + g ) ) = ( ( S.1 ` f ) + ( S.1 ` g ) ) )
27	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) -> H : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
28	24, 25	i1fadd 23462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) -> ( f oF + g ) e. dom S.1 )
29		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A i^i B ) C_ A
30		mblss 23299	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. dom vol -> A C_ RR )
31	1, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A C_ RR )
32	29, 31	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( A i^i B ) C_ RR )
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) -> ( A i^i B ) C_ RR )
34	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) -> ( vol* ` ( A i^i B ) ) = 0 )
35		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ x ph
36		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ x f e. dom S.1
37		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ x f
38		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ x oR <_
39		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/_ x ( x e. RR |-> if ( x e. A , C , 0 ) )
40	6, 39	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ x F
41	37, 38, 40	nfbr 4699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ x f oR <_ F
42	36, 41	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ x ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F )
43		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ x g e. dom S.1
44		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ x g
45		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/_ x ( x e. RR |-> if ( x e. B , C , 0 ) )
46	7, 45	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ x G
47	44, 38, 46	nfbr 4699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ x g oR <_ G
48	43, 47	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ x ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G )
49	42, 48	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ x ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) )
50	35, 49	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ x ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) )
51		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) -> x e. RR )
52		i1ff 23443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( f e. dom S.1 -> f : RR --> RR )
53	24, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) -> f : RR --> RR )
54		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( f : RR --> RR -> f Fn RR )
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) -> f Fn RR )
56		i1ff 23443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( g e. dom S.1 -> g : RR --> RR )
57	25, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) -> g : RR --> RR )
58		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( g : RR --> RR -> g Fn RR )
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) -> g Fn RR )
60		reex 10027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- RR e. _V
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) -> RR e. _V )
62		inidm 3822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( RR i^i RR ) = RR
63		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. RR ) -> ( f ` x ) = ( f ` x ) )
64		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. RR ) -> ( g ` x ) = ( g ` x ) )
65	55, 59, 61, 61, 62, 63, 64	ofval 6906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. RR ) -> ( ( f oF + g ) ` x ) = ( ( f ` x ) + ( g ` x ) ) )
66	51, 65	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> ( ( f oF + g ) ` x ) = ( ( f ` x ) + ( g ` x ) ) )
67		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( f : RR --> RR /\ x e. RR ) -> ( f ` x ) e. RR )
68	53, 51, 67	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> ( f ` x ) e. RR )
69		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( g : RR --> RR /\ x e. RR ) -> ( g ` x ) e. RR )
70	57, 51, 69	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> ( g ` x ) e. RR )
71	68, 70	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> ( ( f ` x ) + ( g ` x ) ) e. RR )
72	71	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> ( ( f ` x ) + ( g ` x ) ) e. RR* )
73	72	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ x e. A ) -> ( ( f ` x ) + ( g ` x ) ) e. RR* )
74	68	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. RR )
75	74	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. RR* )
76		iccssxr 12256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
77		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( H : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ x e. RR ) -> ( H ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
78	27, 51, 77	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> ( H ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
79	76, 78	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> ( H ` x ) e. RR* )
80	79	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ x e. A ) -> ( H ` x ) e. RR* )
81	70	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ x e. A ) -> ( g ` x ) e. RR )
82		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ x e. A ) -> 0 e. RR )
83		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) -> g oR <_ G )
84	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ph /\ g Fn RR ) -> RR e. _V )
85		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ph /\ g Fn RR ) /\ x e. RR ) -> ( g ` x ) e. _V )
86		ssun2 3777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- B C_ ( A u. B )
87	86, 4	syl5sseqr 3654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ph -> B C_ U )
88	87	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> x e. U )
89	88	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ x e. B ) -> x e. U )
90	89, 13	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ x e. B ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
91	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ -. x e. B ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
92	90, 91	ifclda 4120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. B , C , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
93	92	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ph /\ g Fn RR ) /\ x e. RR ) -> if ( x e. B , C , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
94		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ph /\ g Fn RR ) -> g Fn RR )
95		dffn5 6241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( g Fn RR <-> g = ( x e. RR |-> ( g ` x ) ) )
96	94, 95	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ph /\ g Fn RR ) -> g = ( x e. RR |-> ( g ` x ) ) )
97	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ph /\ g Fn RR ) -> G = ( x e. RR |-> if ( x e. B , C , 0 ) ) )
98	84, 85, 93, 96, 97	ofrfval2 6915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ g Fn RR ) -> ( g oR <_ G <-> A. x e. RR ( g ` x ) <_ if ( x e. B , C , 0 ) ) )
99	59, 98	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) -> ( g oR <_ G <-> A. x e. RR ( g ` x ) <_ if ( x e. B , C , 0 ) ) )
100	83, 99	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) -> A. x e. RR ( g ` x ) <_ if ( x e. B , C , 0 ) )
101	100	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. RR ) -> ( g ` x ) <_ if ( x e. B , C , 0 ) )
102	51, 101	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> ( g ` x ) <_ if ( x e. B , C , 0 ) )
103	102	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ x e. A ) -> ( g ` x ) <_ if ( x e. B , C , 0 ) )
104		eldifn 3733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) -> -. x e. ( A i^i B ) )
105	104	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> -. x e. ( A i^i B ) )
106		elin 3796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( x e. ( A i^i B ) <-> ( x e. A /\ x e. B ) )
107	105, 106	sylnib 318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> -. ( x e. A /\ x e. B ) )
108		imnan 438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( x e. A -> -. x e. B ) <-> -. ( x e. A /\ x e. B ) )
109	107, 108	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> ( x e. A -> -. x e. B ) )
110	109	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ x e. A ) -> -. x e. B )
111	110	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ x e. A ) -> if ( x e. B , C , 0 ) = 0 )
112	103, 111	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ x e. A ) -> ( g ` x ) <_ 0 )
113	81, 82, 74, 112	leadd2dd 10642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ x e. A ) -> ( ( f ` x ) + ( g ` x ) ) <_ ( ( f ` x ) + 0 ) )
114	74	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) e. CC )
115	114	addid1d 10236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ x e. A ) -> ( ( f ` x ) + 0 ) = ( f ` x ) )
116	113, 115	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ x e. A ) -> ( ( f ` x ) + ( g ` x ) ) <_ ( f ` x ) )
117		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) -> f oR <_ F )
118	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ f Fn RR ) -> RR e. _V )
119		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ph /\ f Fn RR ) /\ x e. RR ) -> ( f ` x ) e. _V )
120		ssun1 3776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- A C_ ( A u. B )
121	120, 4	syl5sseqr 3654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ph -> A C_ U )
122	121	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. U )
123	122	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ x e. A ) -> x e. U )
124	123, 13	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ x e. A ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
125	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ -. x e. A ) -> 0 e. ( 0 [,] +oo ) )
126	124, 125	ifclda 4120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , C , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
127	126	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ph /\ f Fn RR ) /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , C , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
128		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ f Fn RR ) -> f Fn RR )
129		dffn5 6241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( f Fn RR <-> f = ( x e. RR |-> ( f ` x ) ) )
130	128, 129	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ f Fn RR ) -> f = ( x e. RR |-> ( f ` x ) ) )
131	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ f Fn RR ) -> F = ( x e. RR |-> if ( x e. A , C , 0 ) ) )
132	118, 119, 127, 130, 131	ofrfval2 6915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ f Fn RR ) -> ( f oR <_ F <-> A. x e. RR ( f ` x ) <_ if ( x e. A , C , 0 ) ) )
133	55, 132	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) -> ( f oR <_ F <-> A. x e. RR ( f ` x ) <_ if ( x e. A , C , 0 ) ) )
134	117, 133	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) -> A. x e. RR ( f ` x ) <_ if ( x e. A , C , 0 ) )
135	134	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. RR ) -> ( f ` x ) <_ if ( x e. A , C , 0 ) )
136	51, 135	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> ( f ` x ) <_ if ( x e. A , C , 0 ) )
137	136	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) <_ if ( x e. A , C , 0 ) )
138	121	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> A C_ U )
139	138	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ x e. A ) -> x e. U )
140	139	iftrued 4094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ x e. A ) -> if ( x e. U , C , 0 ) = C )
141		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. RR ) -> x e. RR )
142	16	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. RR ) -> if ( x e. U , C , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
143	8	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( x e. RR /\ if ( x e. U , C , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( H ` x ) = if ( x e. U , C , 0 ) )
144	141, 142, 143	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. RR ) -> ( H ` x ) = if ( x e. U , C , 0 ) )
145	51, 144	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> ( H ` x ) = if ( x e. U , C , 0 ) )
146	145	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ x e. A ) -> ( H ` x ) = if ( x e. U , C , 0 ) )
147		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x e. A -> if ( x e. A , C , 0 ) = C )
148	147	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ x e. A ) -> if ( x e. A , C , 0 ) = C )
149	140, 146, 148	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ x e. A ) -> ( H ` x ) = if ( x e. A , C , 0 ) )
150	137, 149	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ x e. A ) -> ( f ` x ) <_ ( H ` x ) )
151	73, 75, 80, 116, 150	xrletrd 11993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ x e. A ) -> ( ( f ` x ) + ( g ` x ) ) <_ ( H ` x ) )
152	72	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. x e. A ) -> ( ( f ` x ) + ( g ` x ) ) e. RR* )
153	70	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. x e. A ) -> ( g ` x ) e. RR )
154	153	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. x e. A ) -> ( g ` x ) e. RR* )
155	79	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. x e. A ) -> ( H ` x ) e. RR* )
156	68	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. x e. A ) -> ( f ` x ) e. RR )
157		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. x e. A ) -> 0 e. RR )
158	136	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. x e. A ) -> ( f ` x ) <_ if ( x e. A , C , 0 ) )
159		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , C , 0 ) = 0 )
160	159	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. x e. A ) -> if ( x e. A , C , 0 ) = 0 )
161	158, 160	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. x e. A ) -> ( f ` x ) <_ 0 )
162	156, 157, 153, 161	leadd1dd 10641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. x e. A ) -> ( ( f ` x ) + ( g ` x ) ) <_ ( 0 + ( g ` x ) ) )
163	153	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. x e. A ) -> ( g ` x ) e. CC )
164	163	addid2d 10237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. x e. A ) -> ( 0 + ( g ` x ) ) = ( g ` x ) )
165	162, 164	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. x e. A ) -> ( ( f ` x ) + ( g ` x ) ) <_ ( g ` x ) )
166	102	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. x e. A ) -> ( g ` x ) <_ if ( x e. B , C , 0 ) )
167	145	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. x e. A ) -> ( H ` x ) = if ( x e. U , C , 0 ) )
168	4	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. x e. A ) -> U = ( A u. B ) )
169	168	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. x e. A ) -> ( x e. U <-> x e. ( A u. B ) ) )
170		biorf 420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( -. x e. A -> ( x e. B <-> ( x e. A \/ x e. B ) ) )
171		elun 3753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
172	170, 171	syl6rbbr 279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( -. x e. A -> ( x e. ( A u. B ) <-> x e. B ) )
173	172	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. x e. A ) -> ( x e. ( A u. B ) <-> x e. B ) )
174	169, 173	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. x e. A ) -> ( x e. U <-> x e. B ) )
175	174	ifbid 4108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. x e. A ) -> if ( x e. U , C , 0 ) = if ( x e. B , C , 0 ) )
176	167, 175	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. x e. A ) -> ( H ` x ) = if ( x e. B , C , 0 ) )
177	166, 176	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. x e. A ) -> ( g ` x ) <_ ( H ` x ) )
178	152, 154, 155, 165, 177	xrletrd 11993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) /\ -. x e. A ) -> ( ( f ` x ) + ( g ` x ) ) <_ ( H ` x ) )
179	151, 178	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> ( ( f ` x ) + ( g ` x ) ) <_ ( H ` x ) )
180	66, 179	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> ( ( f oF + g ) ` x ) <_ ( H ` x ) )
181	180	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) -> ( x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) -> ( ( f oF + g ) ` x ) <_ ( H ` x ) ) )
182	50, 181	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) -> A. x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ( ( f oF + g ) ` x ) <_ ( H ` x ) )
183		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ y ( ( f oF + g ) ` x ) <_ ( H ` x )
184		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ x ( ( f oF + g ) ` y )
185		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ x <_
186		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ x ( x e. RR |-> if ( x e. U , C , 0 ) )
187	8, 186	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ x H
188		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ x y
189	187, 188	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ x ( H ` y )
190	184, 185, 189	nfbr 4699	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ x ( ( f oF + g ) ` y ) <_ ( H ` y )
191		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = y -> ( ( f oF + g ) ` x ) = ( ( f oF + g ) ` y ) )
192		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = y -> ( H ` x ) = ( H ` y ) )
193	191, 192	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> ( ( ( f oF + g ) ` x ) <_ ( H ` x ) <-> ( ( f oF + g ) ` y ) <_ ( H ` y ) ) )
194	183, 190, 193	cbvral 3167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. x e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ( ( f oF + g ) ` x ) <_ ( H ` x ) <-> A. y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ( ( f oF + g ) ` y ) <_ ( H ` y ) )
195	182, 194	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) -> A. y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ( ( f oF + g ) ` y ) <_ ( H ` y ) )
196	195	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) /\ y e. ( RR \ ( A i^i B ) ) ) -> ( ( f oF + g ) ` y ) <_ ( H ` y ) )
197	27, 28, 33, 34, 196	itg2uba 23510	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) -> ( S.1 ` ( f oF + g ) ) <_ ( S.2 ` H ) )
198	26, 197	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) -> ( ( S.1 ` f ) + ( S.1 ` g ) ) <_ ( S.2 ` H ) )
199	23	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) -> ( S.1 ` f ) e. RR )
200		itg1cl 23452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g e. dom S.1 -> ( S.1 ` g ) e. RR )
201	25, 200	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) -> ( S.1 ` g ) e. RR )
202	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) -> ( S.2 ` H ) e. RR )
203	199, 201, 202	leaddsub2d 10629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) -> ( ( ( S.1 ` f ) + ( S.1 ` g ) ) <_ ( S.2 ` H ) <-> ( S.1 ` g ) <_ ( ( S.2 ` H ) - ( S.1 ` f ) ) ) )
204	198, 203	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) ) -> ( S.1 ` g ) <_ ( ( S.2 ` H ) - ( S.1 ` f ) ) )
205	204	anassrs 680	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) ) /\ ( g e. dom S.1 /\ g oR <_ G ) ) -> ( S.1 ` g ) <_ ( ( S.2 ` H ) - ( S.1 ` f ) ) )
206	205	expr 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) ) /\ g e. dom S.1 ) -> ( g oR <_ G -> ( S.1 ` g ) <_ ( ( S.2 ` H ) - ( S.1 ` f ) ) ) )
207	206	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) ) -> A. g e. dom S.1 ( g oR <_ G -> ( S.1 ` g ) <_ ( ( S.2 ` H ) - ( S.1 ` f ) ) ) )
208	92, 7	fmptd 6385	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
209	208	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) ) -> G : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
210	21, 23	resubcld 10458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) ) -> ( ( S.2 ` H ) - ( S.1 ` f ) ) e. RR )
211	210	rexrd 10089	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) ) -> ( ( S.2 ` H ) - ( S.1 ` f ) ) e. RR* )
212		itg2leub 23501	. . . . . . . . 9 |- ( ( G : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( ( S.2 ` H ) - ( S.1 ` f ) ) e. RR* ) -> ( ( S.2 ` G ) <_ ( ( S.2 ` H ) - ( S.1 ` f ) ) <-> A. g e. dom S.1 ( g oR <_ G -> ( S.1 ` g ) <_ ( ( S.2 ` H ) - ( S.1 ` f ) ) ) ) )
213	209, 211, 212	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) ) -> ( ( S.2 ` G ) <_ ( ( S.2 ` H ) - ( S.1 ` f ) ) <-> A. g e. dom S.1 ( g oR <_ G -> ( S.1 ` g ) <_ ( ( S.2 ` H ) - ( S.1 ` f ) ) ) ) )
214	207, 213	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) ) -> ( S.2 ` G ) <_ ( ( S.2 ` H ) - ( S.1 ` f ) ) )
215	12, 21, 23, 214	lesubd 10631	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ F ) ) -> ( S.1 ` f ) <_ ( ( S.2 ` H ) - ( S.2 ` G ) ) )
216	215	expr 643	. . . . 5 |- ( ( ph /\ f e. dom S.1 ) -> ( f oR <_ F -> ( S.1 ` f ) <_ ( ( S.2 ` H ) - ( S.2 ` G ) ) ) )
217	216	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. f e. dom S.1 ( f oR <_ F -> ( S.1 ` f ) <_ ( ( S.2 ` H ) - ( S.2 ` G ) ) ) )
218	126, 6	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
219	20, 10	resubcld 10458	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( S.2 ` H ) - ( S.2 ` G ) ) e. RR )
220	219	rexrd 10089	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( S.2 ` H ) - ( S.2 ` G ) ) e. RR* )
221		itg2leub 23501	. . . . 5 |- ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( ( S.2 ` H ) - ( S.2 ` G ) ) e. RR* ) -> ( ( S.2 ` F ) <_ ( ( S.2 ` H ) - ( S.2 ` G ) ) <-> A. f e. dom S.1 ( f oR <_ F -> ( S.1 ` f ) <_ ( ( S.2 ` H ) - ( S.2 ` G ) ) ) ) )
222	218, 220, 221	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( ( S.2 ` F ) <_ ( ( S.2 ` H ) - ( S.2 ` G ) ) <-> A. f e. dom S.1 ( f oR <_ F -> ( S.1 ` f ) <_ ( ( S.2 ` H ) - ( S.2 ` G ) ) ) ) )
223	217, 222	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> ( S.2 ` F ) <_ ( ( S.2 ` H ) - ( S.2 ` G ) ) )
224		leaddsub 10504	. . . 4 |- ( ( ( S.2 ` F ) e. RR /\ ( S.2 ` G ) e. RR /\ ( S.2 ` H ) e. RR ) -> ( ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) <_ ( S.2 ` H ) <-> ( S.2 ` F ) <_ ( ( S.2 ` H ) - ( S.2 ` G ) ) ) )
225	9, 10, 20, 224	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) <_ ( S.2 ` H ) <-> ( S.2 ` F ) <_ ( ( S.2 ` H ) - ( S.2 ` G ) ) ) )
226	223, 225	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) <_ ( S.2 ` H ) )
227		itg2cl 23499	. . . 4 |- ( H : RR --> ( 0 [,] +oo ) -> ( S.2 ` H ) e. RR* )
228	17, 227	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( S.2 ` H ) e. RR* )
229	18	rexrd 10089	. . 3 |- ( ph -> ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) e. RR* )
230		xrletri3 11985	. . 3 |- ( ( ( S.2 ` H ) e. RR* /\ ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) e. RR* ) -> ( ( S.2 ` H ) = ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) <-> ( ( S.2 ` H ) <_ ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) /\ ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) <_ ( S.2 ` H ) ) ) )
231	228, 229, 230	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( ( S.2 ` H ) = ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) <-> ( ( S.2 ` H ) <_ ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) /\ ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) <_ ( S.2 ` H ) ) ) )
232	11, 226, 231	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> ( S.2 ` H ) = ( ( S.2 ` F ) + ( S.2 ` G ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   oRcofr 6896   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   - cmin 10266   [,]cicc 12178   vol*covol 23231   volcvol 23232   S.1citg1 23384   S.2citg2 23385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390

This theorem is referenced by:  itg2cnlem2  23529  itgsplit  23602  iblsplit  40182