Theorem pntlemn 25289

Description: Lemma for pnt 25303. The "naive" base bound, which we will slightly improve. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem1.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d	⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f	⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
pntlem1.e	⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k	⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w	⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
pntlem1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
pntlem1.m	⊢ 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
pntlem1.n	⊢ 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
pntlem1.U	⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
pntlemn	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 0 ≤ (((𝑈 / 𝐽) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍))) · (log‘𝐽)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐶   𝑧,𝐽   𝑧,𝐿   𝑧,𝐾   𝑧,𝑀   𝑧,𝑁   𝑧,𝑅   𝑧,𝑈   𝑧,𝑊   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝑧,𝑎,𝐸   𝑧,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑎)   𝐴(𝑧,𝑎)   𝐵(𝑧,𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑧,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑎)   𝐹(𝑧,𝑎)   𝐽(𝑎)   𝐾(𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑀(𝑎)   𝑁(𝑎)   𝑊(𝑎)   𝑋(𝑎)   𝑌(𝑎)   𝑍(𝑎)

Proof of Theorem pntlemn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntlem1.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
2	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝑈 ∈ ℝ+)
3	2	rpred 11872	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝑈 ∈ ℝ)
4		simprl 794	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝐽 ∈ ℕ)
5	3, 4	nndivred 11069	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (𝑈 / 𝐽) ∈ ℝ)
6		pntlem1.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
7		pntlem1.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
8		pntlem1.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
9		pntlem1.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
10		pntlem1.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
11		pntlem1.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
12		pntlem1.u2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
13		pntlem1.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
14		pntlem1.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
15		pntlem1.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
16		pntlem1.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
17		pntlem1.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
18		pntlem1.w	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
19		pntlem1.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
20	6, 7, 8, 9, 10, 11, 1, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19	pntlemb 25286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)) ∧ ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈 − 𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (;32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))))
21	20	simp1d 1073	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ+)
22	21	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝑍 ∈ ℝ+)
23	4	nnrpd 11870	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝐽 ∈ ℝ+)
24	22, 23	rpdivcld 11889	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (𝑍 / 𝐽) ∈ ℝ+)
25	6	pntrf 25252	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅:ℝ+⟶ℝ
26	25	ffvelrni 6358	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 / 𝐽) ∈ ℝ+ → (𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) ∈ ℝ)
27	24, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) ∈ ℝ)
28	27, 22	rerpdivcld 11903	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍) ∈ ℝ)
29	28	recnd 10068	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍) ∈ ℂ)
30	29	abscld 14175	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) ∈ ℝ)
31	5, 30	resubcld 10458	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → ((𝑈 / 𝐽) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍))) ∈ ℝ)
32	23	relogcld 24369	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (log‘𝐽) ∈ ℝ)
33	27	recnd 10068	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) ∈ ℂ)
34	22	rpcnne0d 11881	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0))
35	23	rpcnne0d 11881	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ≠ 0))
36		divdiv2 10737	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) ∈ ℂ ∧ (𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0) ∧ (𝐽 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ≠ 0)) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽)) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) · 𝐽) / 𝑍))
37	33, 34, 35, 36	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽)) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) · 𝐽) / 𝑍))
38	4	nncnd 11036	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝐽 ∈ ℂ)
39		div23 10704	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ (𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ≠ 0)) → (((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) · 𝐽) / 𝑍) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍) · 𝐽))
40	33, 38, 34, 39	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) · 𝐽) / 𝑍) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍) · 𝐽))
41	37, 40	eqtrd 2656	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → ((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽)) = (((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍) · 𝐽))
42	41	fveq2d 6195	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽))) = (abs‘(((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍) · 𝐽)))
43	29, 38	absmuld 14193	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (abs‘(((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍) · 𝐽)) = ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) · (abs‘𝐽)))
44	23	rprege0d 11879	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (𝐽 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐽))
45		absid 14036	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐽) → (abs‘𝐽) = 𝐽)
46	44, 45	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (abs‘𝐽) = 𝐽)
47	46	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) · (abs‘𝐽)) = ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) · 𝐽))
48	42, 43, 47	3eqtrd 2660	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽))) = ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) · 𝐽))
49	24	rpred 11872	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (𝑍 / 𝐽) ∈ ℝ)
50		simprr 796	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))
51	23	rpred 11872	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝐽 ∈ ℝ)
52	22	rpred 11872	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝑍 ∈ ℝ)
53	15	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ+)
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝑌 ∈ ℝ+)
55	51, 52, 54	lemuldiv2d 11922	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → ((𝑌 · 𝐽) ≤ 𝑍 ↔ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌)))
56	50, 55	mpbird 247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (𝑌 · 𝐽) ≤ 𝑍)
57	54	rpred 11872	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝑌 ∈ ℝ)
58	57, 52, 23	lemuldivd 11921	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → ((𝑌 · 𝐽) ≤ 𝑍 ↔ 𝑌 ≤ (𝑍 / 𝐽)))
59	56, 58	mpbid 222	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 𝑌 ≤ (𝑍 / 𝐽))
60		elicopnf 12269	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ ℝ → ((𝑍 / 𝐽) ∈ (𝑌[,)+∞) ↔ ((𝑍 / 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑌 ≤ (𝑍 / 𝐽))))
61	57, 60	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → ((𝑍 / 𝐽) ∈ (𝑌[,)+∞) ↔ ((𝑍 / 𝐽) ∈ ℝ ∧ 𝑌 ≤ (𝑍 / 𝐽))))
62	49, 59, 61	mpbir2and 957	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (𝑍 / 𝐽) ∈ (𝑌[,)+∞))
63		pntlem1.U	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
64	63	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
65		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑍 / 𝐽) → (𝑅‘𝑧) = (𝑅‘(𝑍 / 𝐽)))
66		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (𝑍 / 𝐽) → 𝑧 = (𝑍 / 𝐽))
67	65, 66	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑍 / 𝐽) → ((𝑅‘𝑧) / 𝑧) = ((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽)))
68	67	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝑍 / 𝐽) → (abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) = (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽))))
69	68	breq1d 4663	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑍 / 𝐽) → ((abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈 ↔ (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽))) ≤ 𝑈))
70	69	rspcv 3305	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 / 𝐽) ∈ (𝑌[,)+∞) → (∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅‘𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈 → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽))) ≤ 𝑈))
71	62, 64, 70	sylc 65	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / (𝑍 / 𝐽))) ≤ 𝑈)
72	48, 71	eqbrtrrd 4677	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → ((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) · 𝐽) ≤ 𝑈)
73	30, 3, 23	lemuldivd 11921	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (((abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) · 𝐽) ≤ 𝑈 ↔ (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) ≤ (𝑈 / 𝐽)))
74	72, 73	mpbid 222	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) ≤ (𝑈 / 𝐽))
75	5, 30	subge0d 10617	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (0 ≤ ((𝑈 / 𝐽) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍))) ↔ (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍)) ≤ (𝑈 / 𝐽)))
76	74, 75	mpbird 247	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 0 ≤ ((𝑈 / 𝐽) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍))))
77		log1 24332	. . 3 ⊢ (log‘1) = 0
78		nnge1 11046	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐽)
79	78	ad2antrl 764	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 1 ≤ 𝐽)
80		1rp 11836	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ+
81		logleb 24349	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝐽 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝐽 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝐽)))
82	80, 23, 81	sylancr 695	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (1 ≤ 𝐽 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝐽)))
83	79, 82	mpbid 222	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → (log‘1) ≤ (log‘𝐽))
84	77, 83	syl5eqbrr 4689	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 0 ≤ (log‘𝐽))
85	31, 32, 76, 84	mulge0d 10604	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐽 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ≤ (𝑍 / 𝑌))) → 0 ≤ (((𝑈 / 𝐽) − (abs‘((𝑅‘(𝑍 / 𝐽)) / 𝑍))) · (log‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941  +∞cpnf 10071   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266   / cdiv 10684  ℕcn 11020  2c2 11070  3c3 11071  4c4 11072  ;cdc 11493  ℝ⁺crp 11832  (,)cioo 12175  [,)cico 12177  ⌊cfl 12591  ↑cexp 12860  √csqrt 13973  abscabs 13974  expce 14792  eceu 14793  logclog 24301  ψcchp 24819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-vma 24824  df-chp 24825

This theorem is referenced by:  pntlemj  25292  pntlemf  25294