fourierdlem78 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem fourierdlem78 40401

Description: 𝐺 is continuous when restricted on an interval not containing 0. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
fourierdlem78.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem78.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (-π[,]π))
fourierdlem78.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (-π[,]π))
fourierdlem78.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem78.nxelab	⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
fourierdlem78.fcn	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋))) ∈ (((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋))–cn→ℂ))
fourierdlem78.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
fourierdlem78.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ)
fourierdlem78.h	⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
fourierdlem78.k	⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
fourierdlem78.u	⊢ 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)))
fourierdlem78.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
fourierdlem78.s	⊢ 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
fourierdlem78.g	⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)))

**Assertion**
Ref	Expression
fourierdlem78	⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑠 𝐵,𝑠 𝐹,𝑠 𝑁,𝑠 𝑊,𝑠 𝑋,𝑠 𝑌,𝑠 𝜑,𝑠 Allowed substitution hints: 𝑆(𝑠) 𝑈(𝑠) 𝐺(𝑠) 𝐻(𝑠) 𝐾(𝑠)

**Proof of Theorem fourierdlem78**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem78.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)))
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠))))
3	2	reseq1d 5395	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠))) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
4		pire 24210	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ
5	4	renegcli 10342	. . . . . . . 8 ⊢ -π ∈ ℝ
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -π ∈ ℝ)
7	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → π ∈ ℝ)
8		elioore 12205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ ℝ)
9	8	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
10	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -π ∈ ℝ)
11	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℝ)
12	10, 11	iccssred 39727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
13		fourierdlem78.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (-π[,]π))
14	12, 13	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
15	14	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
16	5, 4	elicc2i 12239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π))
17	16	simp2bi 1077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → -π ≤ 𝐴)
18	13, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -π ≤ 𝐴)
19	18	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -π ≤ 𝐴)
20	15	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
21		fourierdlem78.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (-π[,]π))
22	12, 21	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
23	22	rexrd 10089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^*)
24	23	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
25		simpr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵))
26		ioogtlb 39717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
27	20, 24, 25, 26	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
28	6, 15, 9, 19, 27	lelttrd 10195	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -π < 𝑠)
29	6, 9, 28	ltled 10185	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -π ≤ 𝑠)
30	22	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
31		iooltub 39735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
32	20, 24, 25, 31	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
33	5, 4	elicc2i 12239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ (-π[,]π) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ π))
34	33	simp3bi 1078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (-π[,]π) → 𝐵 ≤ π)
35	21, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ π)
36	35	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ≤ π)
37	9, 30, 7, 32, 36	ltletrd 10197	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < π)
38	9, 7, 37	ltled 10185	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ≤ π)
39	6, 7, 9, 29, 38	eliccd 39726	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
40	39	ex 450	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ (-π[,]π)))
41	40	ssrdv 3609	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (-π[,]π))
42	41	resmptd 5452	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠))) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠))))
43	3, 42	eqtrd 2656	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠))))
44		0red 10041	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
45		fourierdlem78.f	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
47		fourierdlem78.x	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ ℝ)
49	48, 9	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
50	46, 49	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
51		fourierdlem78.y	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
52		fourierdlem78.w	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ)
53	51, 52	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) ∈ ℝ)
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) ∈ ℝ)
55	50, 54	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ℝ)
56		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 = 0 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
57	56	biimpac 503	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
58	57	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑠 = 0) → 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
59		fourierdlem78.nxelab	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
60	59	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑠 = 0) → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
61	58, 60	pm2.65da 600	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑠 = 0)
62	61	neqned 2801	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ≠ 0)
63	55, 9, 62	redivcld 10853	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠) ∈ ℝ)
64	44, 63	ifcld 4131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) ∈ ℝ)
65		fourierdlem78.h	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
66	65	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) ∈ ℝ) → (𝐻‘𝑠) = if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
67	39, 64, 66	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐻‘𝑠) = if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
68	67, 64	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐻‘𝑠) ∈ ℝ)
69		1red 10055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
70		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℝ)
72	9	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
73	72	resincld 14873	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
74	71, 73	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
75	71	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
76	73	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
77		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 0
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 0)
79		fourierdlem44 40368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
80	39, 62, 79	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
81	75, 76, 78, 80	mulne0d 10679	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
82	9, 74, 81	redivcld 10853	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
83	69, 82	ifcld 4131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ)
84		fourierdlem78.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
85	84	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ) → (𝐾‘𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
86	39, 83, 85	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐾‘𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
87	86, 83	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐾‘𝑠) ∈ ℝ)
88	68, 87	remulcld 10070	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)) ∈ ℝ)
89		fourierdlem78.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)))
90	89	fvmpt2 6291	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑈‘𝑠) = ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)))
91	39, 88, 90	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑈‘𝑠) = ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)))
92	91, 88	eqeltrd 2701	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑈‘𝑠) ∈ ℝ)
93		fourierdlem78.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
94	93	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑁 ∈ ℝ)
95	71, 78	rereccld 10852	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
96	94, 95	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
97	96, 9	remulcld 10070	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
98	97	resincld 14873	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
99		fourierdlem78.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
100	99	fvmpt2 6291	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑆‘𝑠) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
101	39, 98, 100	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑆‘𝑠) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
102	101, 98	eqeltrd 2701	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑆‘𝑠) ∈ ℝ)
103	92, 102	remulcld 10070	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)) ∈ ℝ)
104		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)))
105	103, 104	fmptd 6385	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
106		ax-resscn 9993	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
107	106	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
108	91	mpteq2dva 4744	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑈‘𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠))))
109	61	iffalsed 4097	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠))
110	55	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ℂ)
111	9	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℂ)
112	110, 111, 62	divrecd 10804	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · (1 / 𝑠)))
113	67, 109, 112	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐻‘𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · (1 / 𝑠)))
114	113	mpteq2dva 4744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐻‘𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · (1 / 𝑠))))
115	50	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
116	54	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) ∈ ℂ)
117	115, 116	negsubd 10398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) + -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)))
118	117	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) + -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)))
119	118	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) + -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊))))
120	14, 47	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ)
121	120	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ^*)
122	121	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 + 𝑋) ∈ ℝ^*)
123	22, 47	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ)
124	123	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ^*)
125	124	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐵 + 𝑋) ∈ ℝ^*)
126	14	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
127	47	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
128	126, 127	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝑋) = (𝑋 + 𝐴))
129	128	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 + 𝑋) = (𝑋 + 𝐴))
130	15, 9, 48, 27	ltadd2dd 10196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐴) < (𝑋 + 𝑠))
131	129, 130	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴 + 𝑋) < (𝑋 + 𝑠))
132	9, 30, 48, 32	ltadd2dd 10196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) < (𝑋 + 𝐵))
133	22	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
134	127, 133	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐵) = (𝐵 + 𝑋))
135	134	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝐵) = (𝐵 + 𝑋))
136	132, 135	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) < (𝐵 + 𝑋))
137	122, 125, 49, 131, 136	eliood 39720	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)))
138		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)) → ((𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)))‘(𝑋 + 𝑠)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
139	137, 138	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)))‘(𝑋 + 𝑠)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
140	139	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) = ((𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)))‘(𝑋 + 𝑠)))
141	140	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)))‘(𝑋 + 𝑠))))
142		ioosscn 39716	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)) ⊆ ℂ
143	142	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)) ⊆ ℂ)
144		fourierdlem78.fcn	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋))) ∈ (((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋))–cn→ℂ))
145		ioosscn 39716	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
146	145	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
147	143, 144, 146, 127, 137	fourierdlem23 40347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑋)(,)(𝐵 + 𝑋)))‘(𝑋 + 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
148	141, 147	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
149		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
150	14	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
151	8	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
152		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ≤ 𝐴)
153	27	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑠)
154	149, 150, 151, 152, 153	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 < 𝑠)
155	154	iftrued 4094	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = 𝑌)
156	155	negeqd 10275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = -𝑌)
157	156	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -𝑌))
158	51	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → -𝑌 ∈ ℝ)
159	158	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → -𝑌 ∈ ℂ)
160		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
161	160	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
162	146, 159, 161	constcncfg 40084	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -𝑌) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
163	162	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -𝑌) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
164	157, 163	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
165		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → 𝜑)
166	14	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ^*)
167	166	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
168	23	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
169		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
170		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → ¬ 0 ≤ 𝐴)
171	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
172		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
173	171, 172	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐴))
174	170, 173	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 < 0)
175	174	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 𝐴 < 0)
176		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → ¬ 𝐵 ≤ 0)
177		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 0 ∈ ℝ)
178	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
179	177, 178	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → (0 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 0))
180	176, 179	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 0 < 𝐵)
181	180	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 0 < 𝐵)
182	167, 168, 169, 175, 181	eliood 39720	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
183	59	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) ∧ ¬ 𝐵 ≤ 0) → ¬ 0 ∈ (𝐴(,)𝐵))
184	182, 183	condan 835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → 𝐵 ≤ 0)
185	8	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
186		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
187	22	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
188	32	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 𝐵)
189		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐵 ≤ 0)
190	185, 187, 186, 188, 189	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 < 0)
191	185, 186, 190	ltnsymd 10186	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 0 < 𝑠)
192	191	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = 𝑊)
193	192	negeqd 10275	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = -𝑊)
194	193	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -𝑊))
195	52	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂ)
196	195	negcld 10379	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → -𝑊 ∈ ℂ)
197	146, 196, 161	constcncfg 40084	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -𝑊) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
198	197	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -𝑊) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
199	194, 198	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≤ 0) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
200	165, 184, 199	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 0 ≤ 𝐴) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
201	164, 200	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
202	148, 201	addcncf 40086	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) + -if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
203	119, 202	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
204		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑠)) = (𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑠))
205		1cnd 10056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
206	204	cdivcncf 22720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ∈ ℂ → (𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑠)) ∈ ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ))
207	205, 206	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑠)) ∈ ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ))
208		velsn 4193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ {0} ↔ 𝑠 = 0)
209	61, 208	sylnibr 319	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑠 ∈ {0})
210	111, 209	eldifd 3585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}))
211	210	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}))
212		dfss3 3592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (ℂ ∖ {0}) ↔ ∀𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)𝑠 ∈ (ℂ ∖ {0}))
213	211, 212	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (ℂ ∖ {0}))
214	9, 62	rereccld 10852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / 𝑠) ∈ ℝ)
215	214	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / 𝑠) ∈ ℂ)
216	204, 207, 213, 161, 215	cncfmptssg 40083	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 𝑠)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
217	203, 216	mulcncf 23215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · (1 / 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
218	114, 217	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐻‘𝑠)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
219	61	iffalsed 4097	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
220	74	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
221	111, 220, 81	divrecd 10804	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 · (1 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
222	86, 219, 221	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐾‘𝑠) = (𝑠 · (1 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
223	222	mpteq2dva 4744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐾‘𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑠 · (1 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
224	219, 221	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 · (1 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
225	224	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑠 · (1 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
226		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
227		cncfss 22702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((-π[,]π)–cn→ℝ) ⊆ ((-π[,]π)–cn→ℂ))
228	106, 160, 227	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-π[,]π)–cn→ℝ) ⊆ ((-π[,]π)–cn→ℂ)
229	226	fourierdlem62 40385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ)
230	229	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ))
231	228, 230	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℂ))
232	83	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℂ)
233	226, 231, 41, 161, 232	cncfmptssg 40083	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
234	225, 233	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑠 · (1 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
235	223, 234	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐾‘𝑠)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
236	218, 235	mulcncf 23215	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
237	108, 236	eqeltrd 2701	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑈‘𝑠)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
238	101	mpteq2dva 4744	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑆‘𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))))
239		sincn 24198	. . . . . . . 8 ⊢ sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
240	239	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
241		halfre 11246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
242	241	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
243	93, 242	readdcld 10069	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
244	243	recnd 10068	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
245	146, 244, 161	constcncfg 40084	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑁 + (1 / 2))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
246	146, 161	idcncfg 40085	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
247	245, 246	mulcncf 23215	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
248	240, 247	cncfmpt1f 22716	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
249	238, 248	eqeltrd 2701	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑆‘𝑠)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
250	237, 249	mulcncf 23215	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
251		cncffvrn 22701	. . . 4 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)) → ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
252	107, 250, 251	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠))):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
253	105, 252	mpbird 247	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
254	43, 253	eqeltrd 2701	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 196 ∧ wa 384 = wceq 1483 ∈ wcel 1990 ≠ wne 2794 ∀wral 2912 ∖ cdif 3571 ⊆ wss 3574 ifcif 4086 {csn 4177 class class class wbr 4653 ↦ cmpt 4729 ↾ cres 5116 ⟶wf 5884 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 ℂcc 9934 ℝcr 9935 0cc0 9936 1c1 9937 + caddc 9939 · cmul 9941 ℝ^*cxr 10073 < clt 10074 ≤ cle 10075 − cmin 10266 -cneg 10267 / cdiv 10684 2c2 11070 (,)cioo 12175 [,]cicc 12178 sincsin 14794 πcpi 14797 –cn→ccncf 22679

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-ef 14798 df-sin 14800 df-cos 14801 df-pi 14803 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-t1 21118 df-haus 21119 df-cmp 21190 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-limc 23630 df-dv 23631

This theorem is referenced by: fourierdlem88 40411

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