Theorem raddcn 29975

Description: Addition in the real numbers is a continuous function. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-May-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
raddcn.1	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))

Assertion

Ref	Expression
raddcn	⊢ (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem raddcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	addcn 22668	. . . . 5 ⊢ + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
3		ax-resscn 9993	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
4		xpss12 5225	. . . . . 6 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ))
5	3, 3, 4	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ)
6	1	cnfldtop 22587	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
7	1	cnfldtopon 22586	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
8	7	toponunii 20721	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
9	6, 6, 8, 8	txunii 21396	. . . . . 6 ⊢ (ℂ × ℂ) = ∪ ((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld))
10	9	cnrest 21089	. . . . 5 ⊢ (( + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ)) → ( + ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) ↾t (ℝ × ℝ)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
11	2, 5, 10	mp2an 708	. . . 4 ⊢ ( + ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) ↾t (ℝ × ℝ)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
12		reex 10027	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
13		txrest 21434	. . . . . . 7 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top) ∧ (ℝ ∈ V ∧ ℝ ∈ V)) → (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) ↾t (ℝ × ℝ)) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ×t ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
14	6, 6, 12, 12, 13	mp4an 709	. . . . . 6 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) ↾t (ℝ × ℝ)) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ×t ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
15		raddcn.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
16	1	tgioo2 22606	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
17	15, 16	eqtr2i 2645	. . . . . . 7 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) = 𝐽
18	17, 17	oveq12i 6662	. . . . . 6 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ×t ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) = (𝐽 ×t 𝐽)
19	14, 18	eqtri 2644	. . . . 5 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) ↾t (ℝ × ℝ)) = (𝐽 ×t 𝐽)
20	19	oveq1i 6660	. . . 4 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) ↾t (ℝ × ℝ)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) = ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (TopOpen‘ℂfld))
21	11, 20	eleqtri 2699	. . 3 ⊢ ( + ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (TopOpen‘ℂfld))
22		ax-addf 10015	. . . . . . . . . 10 ⊢ + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
23		ffn 6045	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → + Fn (ℂ × ℂ))
24	22, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ + Fn (ℂ × ℂ)
25		fnssres 6004	. . . . . . . . 9 ⊢ (( + Fn (ℂ × ℂ) ∧ (ℝ × ℝ) ⊆ (ℂ × ℂ)) → ( + ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ))
26	24, 5, 25	mp2an 708	. . . . . . . 8 ⊢ ( + ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ)
27		fnov 6768	. . . . . . . 8 ⊢ (( + ↾ (ℝ × ℝ)) Fn (ℝ × ℝ) ↔ ( + ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥( + ↾ (ℝ × ℝ))𝑦)))
28	26, 27	mpbi 220	. . . . . . 7 ⊢ ( + ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥( + ↾ (ℝ × ℝ))𝑦))
29		ovres 6800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥( + ↾ (ℝ × ℝ))𝑦) = (𝑥 + 𝑦))
30	29	mpt2eq3ia 6720	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥( + ↾ (ℝ × ℝ))𝑦)) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦))
31	28, 30	eqtri 2644	. . . . . 6 ⊢ ( + ↾ (ℝ × ℝ)) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦))
32	31	rneqi 5352	. . . . 5 ⊢ ran ( + ↾ (ℝ × ℝ)) = ran (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦))
33		readdcl 10019	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
34	33	rgen2a 2977	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ
35		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦)) = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦))
36	35	rnmpt2ss 29473	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ → ran (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ⊆ ℝ)
37	34, 36	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ⊆ ℝ
38	32, 37	eqsstri 3635	. . . 4 ⊢ ran ( + ↾ (ℝ × ℝ)) ⊆ ℝ
39		cnrest2 21090	. . . 4 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran ( + ↾ (ℝ × ℝ)) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (( + ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ( + ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
40	7, 38, 3, 39	mp3an 1424	. . 3 ⊢ (( + ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ ( + ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
41	21, 40	mpbi 220	. 2 ⊢ ( + ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
42	17	oveq2i 6661	. 2 ⊢ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) = ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)
43	41, 31, 42	3eltr3i 2713	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)

Syntax hints:   ↔ wb 196   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574   × cxp 5112  ran crn 5115   ↾ cres 5116   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↦ cmpt2 6652  ℂcc 9934  ℝcr 9935   + caddc 9939  (,)cioo 12175   ↾_t crest 16081  TopOpenctopn 16082  topGenctg 16098  ℂ_fldccnfld 19746  Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   ×_t ctx 21363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127

This theorem is referenced by:  rrvadd  30514