Theorem 1idpr 9851

Description: 1 is an identity element for positive real multiplication. Theorem 9-3.7(iv) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 2-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
1idpr	|- ( A e. P. -> ( A .P. 1P ) = A )

Proof of Theorem 1idpr

Dummy variables x y z w v u f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2918	. . . . 5 |- ( E. g e. 1P x = ( f .Q g ) <-> E. g ( g e. 1P /\ x = ( f .Q g ) ) )
2		19.42v 1918	. . . . . 6 |- ( E. g ( x <Q f /\ x = ( f .Q g ) ) <-> ( x <Q f /\ E. g x = ( f .Q g ) ) )
3		elprnq 9813	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. P. /\ f e. A ) -> f e. Q. )
4		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( f .Q g ) -> ( x <Q f <-> ( f .Q g ) <Q f ) )
5		df-1p 9804	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1P = { g | g <Q 1Q }
6	5	abeq2i 2735	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g e. 1P <-> g <Q 1Q )
7		ltmnq 9794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. Q. -> ( g <Q 1Q <-> ( f .Q g ) <Q ( f .Q 1Q ) ) )
8		mulidnq 9785	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f e. Q. -> ( f .Q 1Q ) = f )
9	8	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. Q. -> ( ( f .Q g ) <Q ( f .Q 1Q ) <-> ( f .Q g ) <Q f ) )
10	7, 9	bitrd 268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. Q. -> ( g <Q 1Q <-> ( f .Q g ) <Q f ) )
11	6, 10	syl5rbb 273	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. Q. -> ( ( f .Q g ) <Q f <-> g e. 1P ) )
12	4, 11	sylan9bbr 737	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. Q. /\ x = ( f .Q g ) ) -> ( x <Q f <-> g e. 1P ) )
13	3, 12	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. P. /\ f e. A ) /\ x = ( f .Q g ) ) -> ( x <Q f <-> g e. 1P ) )
14	13	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. P. /\ f e. A ) -> ( x = ( f .Q g ) -> ( x <Q f <-> g e. 1P ) ) )
15	14	pm5.32rd 672	. . . . . . 7 |- ( ( A e. P. /\ f e. A ) -> ( ( x <Q f /\ x = ( f .Q g ) ) <-> ( g e. 1P /\ x = ( f .Q g ) ) ) )
16	15	exbidv 1850	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ f e. A ) -> ( E. g ( x <Q f /\ x = ( f .Q g ) ) <-> E. g ( g e. 1P /\ x = ( f .Q g ) ) ) )
17	2, 16	syl5rbbr 275	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ f e. A ) -> ( E. g ( g e. 1P /\ x = ( f .Q g ) ) <-> ( x <Q f /\ E. g x = ( f .Q g ) ) ) )
18	1, 17	syl5bb 272	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ f e. A ) -> ( E. g e. 1P x = ( f .Q g ) <-> ( x <Q f /\ E. g x = ( f .Q g ) ) ) )
19	18	rexbidva 3049	. . 3 |- ( A e. P. -> ( E. f e. A E. g e. 1P x = ( f .Q g ) <-> E. f e. A ( x <Q f /\ E. g x = ( f .Q g ) ) ) )
20		1pr 9837	. . . 4 |- 1P e. P.
21		df-mp 9806	. . . . 5 |- .P. = ( y e. P. , z e. P. |-> { w | E. u e. y E. v e. z w = ( u .Q v ) } )
22		mulclnq 9769	. . . . 5 |- ( ( u e. Q. /\ v e. Q. ) -> ( u .Q v ) e. Q. )
23	21, 22	genpelv 9822	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( x e. ( A .P. 1P ) <-> E. f e. A E. g e. 1P x = ( f .Q g ) ) )
24	20, 23	mpan2 707	. . 3 |- ( A e. P. -> ( x e. ( A .P. 1P ) <-> E. f e. A E. g e. 1P x = ( f .Q g ) ) )
25		prnmax 9817	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ x e. A ) -> E. f e. A x <Q f )
26		ltrelnq 9748	. . . . . . . . . . 11 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
27	26	brel 5168	. . . . . . . . . 10 |- ( x <Q f -> ( x e. Q. /\ f e. Q. ) )
28		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- f e. _V
29		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- x e. _V
30		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( *Q ` f ) e. _V
31		mulcomnq 9775	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y .Q z ) = ( z .Q y )
32		mulassnq 9781	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y .Q z ) .Q w ) = ( y .Q ( z .Q w ) )
33	28, 29, 30, 31, 32	caov12 6862	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f .Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) = ( x .Q ( f .Q ( *Q ` f ) ) )
34		recidnq 9787	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f e. Q. -> ( f .Q ( *Q ` f ) ) = 1Q )
35	34	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. Q. -> ( x .Q ( f .Q ( *Q ` f ) ) ) = ( x .Q 1Q ) )
36	33, 35	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. Q. -> ( f .Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) = ( x .Q 1Q ) )
37		mulidnq 9785	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. Q. -> ( x .Q 1Q ) = x )
38	36, 37	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( f .Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) = x )
39	38	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> x = ( f .Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) )
40		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 |- ( x .Q ( *Q ` f ) ) e. _V
41		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = ( x .Q ( *Q ` f ) ) -> ( f .Q g ) = ( f .Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) )
42	41	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = ( x .Q ( *Q ` f ) ) -> ( x = ( f .Q g ) <-> x = ( f .Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) ) )
43	40, 42	spcev 3300	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( f .Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) -> E. g x = ( f .Q g ) )
44	27, 39, 43	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( x <Q f -> E. g x = ( f .Q g ) )
45	44	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( f e. A -> ( x <Q f -> E. g x = ( f .Q g ) ) )
46	45	ancld 576	. . . . . . 7 |- ( f e. A -> ( x <Q f -> ( x <Q f /\ E. g x = ( f .Q g ) ) ) )
47	46	reximia 3009	. . . . . 6 |- ( E. f e. A x <Q f -> E. f e. A ( x <Q f /\ E. g x = ( f .Q g ) ) )
48	25, 47	syl 17	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ x e. A ) -> E. f e. A ( x <Q f /\ E. g x = ( f .Q g ) ) )
49	48	ex 450	. . . 4 |- ( A e. P. -> ( x e. A -> E. f e. A ( x <Q f /\ E. g x = ( f .Q g ) ) ) )
50		prcdnq 9815	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ f e. A ) -> ( x <Q f -> x e. A ) )
51	50	adantrd 484	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ f e. A ) -> ( ( x <Q f /\ E. g x = ( f .Q g ) ) -> x e. A ) )
52	51	rexlimdva 3031	. . . 4 |- ( A e. P. -> ( E. f e. A ( x <Q f /\ E. g x = ( f .Q g ) ) -> x e. A ) )
53	49, 52	impbid 202	. . 3 |- ( A e. P. -> ( x e. A <-> E. f e. A ( x <Q f /\ E. g x = ( f .Q g ) ) ) )
54	19, 24, 53	3bitr4d 300	. 2 |- ( A e. P. -> ( x e. ( A .P. 1P ) <-> x e. A ) )
55	54	eqrdv 2620	1 |- ( A e. P. -> ( A .P. 1P ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Q.cnq 9674   1Qc1q 9675   .Q cmq 9678   *Qcrq 9679   <Q cltq 9680   P.cnp 9681   1Pc1p 9682   .P. cmp 9684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ni 9694  df-pli 9695  df-mi 9696  df-lti 9697  df-plpq 9730  df-mpq 9731  df-ltpq 9732  df-enq 9733  df-nq 9734  df-erq 9735  df-plq 9736  df-mq 9737  df-1nq 9738  df-rq 9739  df-ltnq 9740  df-np 9803  df-1p 9804  df-mp 9806

This theorem is referenced by:  m1m1sr  9914  1idsr  9919