Theorem 1mavmul 20354

Description: Multiplication of the identity NxN matrix with an N-dimensional vector results in the vector itself. (Contributed by AV, 9-Feb-2019.) (Revised by AV, 23-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
1mavmul.a	|- A = ( N Mat R )
1mavmul.b	|- B = ( Base ` R )
1mavmul.t	|- .x. = ( R maVecMul <. N , N >. )
1mavmul.r	|- ( ph -> R e. Ring )
1mavmul.n	|- ( ph -> N e. Fin )
1mavmul.y	|- ( ph -> Y e. ( B ^m N ) )

Assertion

Ref	Expression
1mavmul	|- ( ph -> ( ( 1r ` A ) .x. Y ) = Y )

Proof of Theorem 1mavmul

Dummy variables i j x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1mavmul.a	. . 3 |- A = ( N Mat R )
2		1mavmul.t	. . 3 |- .x. = ( R maVecMul <. N , N >. )
3		1mavmul.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
4		eqid 2622	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
5		1mavmul.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Ring )
6		1mavmul.n	. . 3 |- ( ph -> N e. Fin )
7		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` A ) = ( Base ` A )
8	1	fveq2i 6194	. . . . 5 |- ( 1r ` A ) = ( 1r ` ( N Mat R ) )
9	1, 7, 8	mat1bas 20255	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ N e. Fin ) -> ( 1r ` A ) e. ( Base ` A ) )
10	5, 6, 9	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( 1r ` A ) e. ( Base ` A ) )
11		1mavmul.y	. . 3 |- ( ph -> Y e. ( B ^m N ) )
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11	mavmulval 20351	. 2 |- ( ph -> ( ( 1r ` A ) .x. Y ) = ( i e. N |-> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i ( 1r ` A ) j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) ) ) )
13		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
14		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
15	1, 13, 14	mat1 20253	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( 1r ` A ) = ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) )
16	6, 5, 15	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1r ` A ) = ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) )
17	16	oveqdr 6674	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> ( i ( 1r ` A ) j ) = ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) j ) )
18	17	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> ( ( i ( 1r ` A ) j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) = ( ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) )
19	18	mpteq2dv 4745	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> ( j e. N |-> ( ( i ( 1r ` A ) j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) = ( j e. N |-> ( ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) )
20	19	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i ( 1r ` A ) j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) ) = ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) ) )
21		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) = ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) )
22		eqeq12 2635	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = i /\ y = j ) -> ( x = y <-> i = j ) )
23	22	ifbid 4108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = i /\ y = j ) -> if ( x = y , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) = if ( i = j , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) )
24	23	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) /\ ( x = i /\ y = j ) ) -> if ( x = y , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) = if ( i = j , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) )
25		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> i e. N )
26	25	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> i e. N )
27		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> j e. N )
28		fvexd 6203	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> ( 1r ` R ) e. _V )
29		fvexd 6203	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> ( 0g ` R ) e. _V )
30	28, 29	ifcld 4131	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> if ( i = j , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) e. _V )
31	21, 24, 26, 27, 30	ovmpt2d 6788	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) j ) = if ( i = j , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) )
32	31	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> ( ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) = ( if ( i = j , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) )
33		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = j -> if ( i = j , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) = ( 1r ` R ) )
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i = j /\ ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) ) -> if ( i = j , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) = ( 1r ` R ) )
35	34	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i = j /\ ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) ) -> ( if ( i = j , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) = ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) )
36	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> R e. Ring )
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> R e. Ring )
38		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Base ` R ) e. _V
39	3, 38	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- B e. _V
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> B e. _V )
41	40, 6	elmapd 7871	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( Y e. ( B ^m N ) <-> Y : N --> B ) )
42		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Y : N --> B /\ j e. N ) -> ( Y ` j ) e. B )
43	42	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Y : N --> B -> ( j e. N -> ( Y ` j ) e. B ) )
44	41, 43	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( Y e. ( B ^m N ) -> ( j e. N -> ( Y ` j ) e. B ) ) )
45	11, 44	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( j e. N -> ( Y ` j ) e. B ) )
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> ( j e. N -> ( Y ` j ) e. B ) )
47	46	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> ( Y ` j ) e. B )
48	3, 4, 13	ringlidm 18571	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Ring /\ ( Y ` j ) e. B ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) = ( Y ` j ) )
49	37, 47, 48	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) = ( Y ` j ) )
50	49	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i = j /\ ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) = ( Y ` j ) )
51		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = i -> ( Y ` j ) = ( Y ` i ) )
52	51	equcoms 1947	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = j -> ( Y ` j ) = ( Y ` i ) )
53	52	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i = j /\ ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) ) -> ( Y ` j ) = ( Y ` i ) )
54	35, 50, 53	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( ( i = j /\ ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) ) -> ( if ( i = j , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) = ( Y ` i ) )
55		iftrue 4092	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = i -> if ( j = i , ( Y ` i ) , ( 0g ` R ) ) = ( Y ` i ) )
56	55	equcoms 1947	. . . . . . . . . 10 |- ( i = j -> if ( j = i , ( Y ` i ) , ( 0g ` R ) ) = ( Y ` i ) )
57	56	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( i = j /\ ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) ) -> if ( j = i , ( Y ` i ) , ( 0g ` R ) ) = ( Y ` i ) )
58	54, 57	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( i = j /\ ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) ) -> ( if ( i = j , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) = if ( j = i , ( Y ` i ) , ( 0g ` R ) ) )
59		iffalse 4095	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. i = j -> if ( i = j , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
60	59	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( -. i = j -> ( if ( i = j , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) = ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) )
61	60	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. i = j /\ ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) ) -> ( if ( i = j , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) = ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) )
62	3, 4, 14	ringlz 18587	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Ring /\ ( Y ` j ) e. B ) -> ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) = ( 0g ` R ) )
63	37, 47, 62	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) = ( 0g ` R ) )
64	63	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. i = j /\ ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) ) -> ( ( 0g ` R ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) = ( 0g ` R ) )
65		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = j <-> j = i )
66		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. j = i -> if ( j = i , ( Y ` i ) , ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
67	65, 66	sylnbi 320	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. i = j -> if ( j = i , ( Y ` i ) , ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
68	67	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( -. i = j -> ( 0g ` R ) = if ( j = i , ( Y ` i ) , ( 0g ` R ) ) )
69	68	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. i = j /\ ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) ) -> ( 0g ` R ) = if ( j = i , ( Y ` i ) , ( 0g ` R ) ) )
70	61, 64, 69	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ( -. i = j /\ ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) ) -> ( if ( i = j , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) = if ( j = i , ( Y ` i ) , ( 0g ` R ) ) )
71	58, 70	pm2.61ian 831	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> ( if ( i = j , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) = if ( j = i , ( Y ` i ) , ( 0g ` R ) ) )
72	32, 71	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ i e. N ) /\ j e. N ) -> ( ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) = if ( j = i , ( Y ` i ) , ( 0g ` R ) ) )
73	72	mpteq2dva 4744	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> ( j e. N |-> ( ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) = ( j e. N |-> if ( j = i , ( Y ` i ) , ( 0g ` R ) ) ) )
74	73	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i ( x e. N , y e. N |-> if ( x = y , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) ) = ( R gsumg ( j e. N |-> if ( j = i , ( Y ` i ) , ( 0g ` R ) ) ) ) )
75		ringmnd 18556	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> R e. Mnd )
76	5, 75	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. Mnd )
77	76	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> R e. Mnd )
78	6	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> N e. Fin )
79		eqid 2622	. . . . 5 |- ( j e. N |-> if ( j = i , ( Y ` i ) , ( 0g ` R ) ) ) = ( j e. N |-> if ( j = i , ( Y ` i ) , ( 0g ` R ) ) )
80		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Y : N --> B /\ i e. N ) -> ( Y ` i ) e. B )
81	80, 3	syl6eleq 2711	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y : N --> B /\ i e. N ) -> ( Y ` i ) e. ( Base ` R ) )
82	81	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( Y : N --> B -> ( i e. N -> ( Y ` i ) e. ( Base ` R ) ) )
83	41, 82	syl6bi 243	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Y e. ( B ^m N ) -> ( i e. N -> ( Y ` i ) e. ( Base ` R ) ) ) )
84	11, 83	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ph -> ( i e. N -> ( Y ` i ) e. ( Base ` R ) ) )
85	84	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> ( Y ` i ) e. ( Base ` R ) )
86	14, 77, 78, 25, 79, 85	gsummptif1n0 18365	. . . 4 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> ( R gsumg ( j e. N |-> if ( j = i , ( Y ` i ) , ( 0g ` R ) ) ) ) = ( Y ` i ) )
87	20, 74, 86	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i ( 1r ` A ) j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) ) = ( Y ` i ) )
88	87	mpteq2dva 4744	. 2 |- ( ph -> ( i e. N |-> ( R gsumg ( j e. N |-> ( ( i ( 1r ` A ) j ) ( .r ` R ) ( Y ` j ) ) ) ) ) = ( i e. N |-> ( Y ` i ) ) )
89		ffn 6045	. . . . 5 |- ( Y : N --> B -> Y Fn N )
90	41, 89	syl6bi 243	. . . 4 |- ( ph -> ( Y e. ( B ^m N ) -> Y Fn N ) )
91	11, 90	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> Y Fn N )
92		eqcom 2629	. . . 4 |- ( ( i e. N |-> ( Y ` i ) ) = Y <-> Y = ( i e. N |-> ( Y ` i ) ) )
93		dffn5 6241	. . . 4 |- ( Y Fn N <-> Y = ( i e. N |-> ( Y ` i ) ) )
94	92, 93	bitr4i 267	. . 3 |- ( ( i e. N |-> ( Y ` i ) ) = Y <-> Y Fn N )
95	91, 94	sylibr 224	. 2 |- ( ph -> ( i e. N |-> ( Y ` i ) ) = Y )
96	12, 88, 95	3eqtrd 2660	1 |- ( ph -> ( ( 1r ` A ) .x. Y ) = Y )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   ifcif 4086   <.cop 4183   |-> cmpt 4729   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294   1rcur 18501   Ringcrg 18547   Mat cmat 20213   maVecMul cmvmul 20346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mamu 20190  df-mat 20214  df-mvmul 20347

This theorem is referenced by:  slesolinv  20486  slesolinvbi  20487