MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem1a2 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem 2lgslem1a2 25115
Description: Lemma 2 for 2lgslem1a 25116. (Contributed by AV, 18-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
2lgslem1a2 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) < I <-> ( N / 2 ) < ( I x. 2 ) ) )
Proof of Theorem 2lgslem1a2
StepHypRef Expression
1 zre 11381 . . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
21rehalfcld 11279 . . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( N / 2 ) e. RR )
32adantr 481 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( N / 2 ) e. RR )
4 id 22 . . . . . 6 |- ( I e. ZZ -> I e. ZZ )
5 2z 11409 . . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
65a1i 11 . . . . . 6 |- ( I e. ZZ -> 2 e. ZZ )
74, 6zmulcld 11488 . . . . 5 |- ( I e. ZZ -> ( I x. 2 ) e. ZZ )
87zred 11482 . . . 4 |- ( I e. ZZ -> ( I x. 2 ) e. RR )
98adantl 482 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( I x. 2 ) e. RR )
10 2re 11090 . . . . 5 |- 2 e. RR
11 2pos 11112 . . . . 5 |- 0 < 2
1210, 11pm3.2i 471 . . . 4 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
1312a1i 11 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
14 ltdiv1 10887 . . 3 |- ( ( ( N / 2 ) e. RR /\ ( I x. 2 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( N / 2 ) < ( I x. 2 ) <-> ( ( N / 2 ) / 2 ) < ( ( I x. 2 ) / 2 ) ) )
153, 9, 13, 14syl3anc 1326 . 2 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( ( N / 2 ) < ( I x. 2 ) <-> ( ( N / 2 ) / 2 ) < ( ( I x. 2 ) / 2 ) ) )
16 zcn 11382 . . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
1716adantr 481 . . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> N e. CC )
18 2cnne0 11242 . . . . . 6 |- ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 )
1918a1i 11 . . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) )
20 divdiv1 10736 . . . . 5 |- ( ( N e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( ( N / 2 ) / 2 ) = ( N / ( 2 x. 2 ) ) )
2117, 19, 19, 20syl3anc 1326 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( ( N / 2 ) / 2 ) = ( N / ( 2 x. 2 ) ) )
22 2t2e4 11177 . . . . 5 |- ( 2 x. 2 ) = 4
2322oveq2i 6661 . . . 4 |- ( N / ( 2 x. 2 ) ) = ( N / 4 )
2421, 23syl6eq 2672 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( ( N / 2 ) / 2 ) = ( N / 4 ) )
25 zcn 11382 . . . . 5 |- ( I e. ZZ -> I e. CC )
2625adantl 482 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> I e. CC )
27 2cnd 11093 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> 2 e. CC )
28 2ne0 11113 . . . . 5 |- 2 =/= 0
2928a1i 11 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> 2 =/= 0 )
3026, 27, 29divcan4d 10807 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( ( I x. 2 ) / 2 ) = I )
3124, 30breq12d 4666 . 2 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( ( ( N / 2 ) / 2 ) < ( ( I x. 2 ) / 2 ) <-> ( N / 4 ) < I ) )
32 4re 11097 . . . . 5 |- 4 e. RR
3332a1i 11 . . . 4 |- ( N e. ZZ -> 4 e. RR )
34 4ne0 11117 . . . . 5 |- 4 =/= 0
3534a1i 11 . . . 4 |- ( N e. ZZ -> 4 =/= 0 )
361, 33, 35redivcld 10853 . . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N / 4 ) e. RR )
37 fllt 12607 . . 3 |- ( ( ( N / 4 ) e. RR /\ I e. ZZ ) -> ( ( N / 4 ) < I <-> ( |_ ` ( N / 4 ) ) < I ) )
3836, 37sylan 488 . 2 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( ( N / 4 ) < I <-> ( |_ ` ( N / 4 ) ) < I ) )
3915, 31, 383bitrrd 295 1 |- ( ( N e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) < I <-> ( N / 2 ) < ( I x. 2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   x. cmul 9941   < clt 10074   / cdiv 10684   2c2 11070   4c4 11072   ZZcz 11377   |_cfl 12591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fl 12593
This theorem is referenced by:  2lgslem1a  25116
  Copyright terms: Public domain W3C validator