Theorem bccbc 38544

Description: The binomial coefficient and generalized binomial coefficient are equal when their arguments are nonnegative integers. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
bccbc.c	|- ( ph -> N e. NN0 )
bccbc.k	|- ( ph -> K e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
bccbc	|- ( ph -> ( NC𝑐 K ) = ( N _C K ) )

Proof of Theorem bccbc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bccbc.c	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN0 )
2	1	nn0cnd 11353	. . . . 5 |- ( ph -> N e. CC )
3		bccbc.k	. . . . 5 |- ( ph -> K e. NN0 )
4	2, 3	bccval 38537	. . . 4 |- ( ph -> ( NC𝑐 K ) = ( ( N FallFac K ) / ( ! ` K ) ) )
5	4	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( NC𝑐 K ) = ( ( N FallFac K ) / ( ! ` K ) ) )
6		bcfallfac 14775	. . . 4 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N _C K ) = ( ( N FallFac K ) / ( ! ` K ) ) )
7	6	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C K ) = ( ( N FallFac K ) / ( ! ` K ) ) )
8	5, 7	eqtr4d 2659	. 2 |- ( ( ph /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( NC𝑐 K ) = ( N _C K ) )
9		nn0split 12454	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> NN0 = ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
10	1, 9	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> NN0 = ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
11	3, 10	eleqtrd 2703	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
12		elun 3753	. . . . . . 7 |- ( K e. ( ( 0 ... N ) u. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) <-> ( K e. ( 0 ... N ) \/ K e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
13	11, 12	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K e. ( 0 ... N ) \/ K e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
14	13	orcanai 952	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> K e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
15		eluzle 11700	. . . . . . 7 |- ( K e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( N + 1 ) <_ K )
16	15	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( N + 1 ) <_ K )
17	1	nn0zd 11480	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. ZZ )
18	3	nn0zd 11480	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. ZZ )
19		zltp1le 11427	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N < K <-> ( N + 1 ) <_ K ) )
20	17, 18, 19	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N < K <-> ( N + 1 ) <_ K ) )
21	20	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ K e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> ( N < K <-> ( N + 1 ) <_ K ) )
22	16, 21	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ph /\ K e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> N < K )
23	14, 22	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> N < K )
24	1	nn0ge0d 11354	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ N )
25		0zd 11389	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
26		elfzo 12472	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N e. ( 0..^ K ) <-> ( 0 <_ N /\ N < K ) ) )
27	17, 25, 18, 26	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N e. ( 0..^ K ) <-> ( 0 <_ N /\ N < K ) ) )
28	27	biimpar 502	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( 0 <_ N /\ N < K ) ) -> N e. ( 0..^ K ) )
29		fzoval 12471	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ZZ -> ( 0..^ K ) = ( 0 ... ( K - 1 ) ) )
30	18, 29	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0..^ K ) = ( 0 ... ( K - 1 ) ) )
31	30	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N e. ( 0..^ K ) <-> N e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) )
32	31	biimpa 501	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( 0..^ K ) ) -> N e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) )
33	2, 3	bcc0 38539	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( NC𝑐 K ) = 0 <-> N e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) )
34	33	biimpar 502	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( NC𝑐 K ) = 0 )
35	32, 34	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ N e. ( 0..^ K ) ) -> ( NC𝑐 K ) = 0 )
36	28, 35	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( 0 <_ N /\ N < K ) ) -> ( NC𝑐 K ) = 0 )
37	24, 36	sylanr1 684	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ph /\ N < K ) ) -> ( NC𝑐 K ) = 0 )
38	37	anabss5 857	. . . 4 |- ( ( ph /\ N < K ) -> ( NC𝑐 K ) = 0 )
39	23, 38	syldan 487	. . 3 |- ( ( ph /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( NC𝑐 K ) = 0 )
40	1, 18	jca 554	. . . 4 |- ( ph -> ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) )
41		bcval3 13093	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C K ) = 0 )
42	41	3expa 1265	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C K ) = 0 )
43	40, 42	sylan 488	. . 3 |- ( ( ph /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C K ) = 0 )
44	39, 43	eqtr4d 2659	. 2 |- ( ( ph /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( NC𝑐 K ) = ( N _C K ) )
45	8, 44	pm2.61dan 832	1 |- ( ph -> ( NC𝑐 K ) = ( N _C K ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   u. cun 3572   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   !cfa 13060   _C cbc 13089   FallFac cfallfac 14735  C_𝑐cbcc 38535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636  df-fallfac 14738  df-bcc 38536

This theorem is referenced by:  binomcxplemnn0  38548