Theorem binomcxplemnn0 38548

Description: Lemma for binomcxp 38556. When C is a nonnegative integer, the binomial's finite sum value by the standard binomial theorem binom 14562 equals this generalized infinite sum: the generalized binomial coefficient and exponentiation operators give exactly the same values in the standard index set ( 0 ... C ), and when the index set is widened beyond C the additional values are just zeroes. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomcxp.a	|- ( ph -> A e. RR+ )
binomcxp.b	|- ( ph -> B e. RR )
binomcxp.lt	|- ( ph -> ( abs ` B ) < ( abs ` A ) )
binomcxp.c	|- ( ph -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
binomcxplemnn0	|- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> ( ( A + B ) ^c C ) = sum_ k e. NN0 ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )

Distinct variable groups:   ph, k   A, k   B, k   C, k

Proof of Theorem binomcxplemnn0

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomcxp.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR+ )
2	1	rpcnd 11874	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. CC )
3		binomcxp.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. RR )
4	3	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. CC )
5		binom 14562	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. NN0 ) -> ( ( A + B ) ^ C ) = sum_ k e. ( 0 ... C ) ( ( C _C k ) x. ( ( A ^ ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
6	5	3expia 1267	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( C e. NN0 -> ( ( A + B ) ^ C ) = sum_ k e. ( 0 ... C ) ( ( C _C k ) x. ( ( A ^ ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) ) )
7	2, 4, 6	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C e. NN0 -> ( ( A + B ) ^ C ) = sum_ k e. ( 0 ... C ) ( ( C _C k ) x. ( ( A ^ ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) ) )
8	7	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> ( ( A + B ) ^ C ) = sum_ k e. ( 0 ... C ) ( ( C _C k ) x. ( ( A ^ ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
9	2	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> A e. CC )
10	4	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> B e. CC )
11	9, 10	addcld 10059	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> ( A + B ) e. CC )
12		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> C e. NN0 )
13		cxpexp 24414	. . . . . 6 |- ( ( ( A + B ) e. CC /\ C e. NN0 ) -> ( ( A + B ) ^c C ) = ( ( A + B ) ^ C ) )
14	11, 12, 13	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> ( ( A + B ) ^c C ) = ( ( A + B ) ^ C ) )
15		elfznn0 12433	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 0 ... C ) -> k e. NN0 )
16		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> C e. NN0 )
17		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
18	16, 17	bccbc 38544	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( CC𝑐 k ) = ( C _C k ) )
19	15, 18	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... C ) ) -> ( CC𝑐 k ) = ( C _C k ) )
20	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... C ) ) -> A e. CC )
21		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... C ) -> k <_ C )
22	21	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... C ) ) -> k <_ C )
23		nn0sub 11343	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. NN0 /\ C e. NN0 ) -> ( k <_ C <-> ( C - k ) e. NN0 ) )
24	23	ancoms 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( k <_ C <-> ( C - k ) e. NN0 ) )
25	24	adantll 750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( k <_ C <-> ( C - k ) e. NN0 ) )
26	15, 25	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... C ) ) -> ( k <_ C <-> ( C - k ) e. NN0 ) )
27	22, 26	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... C ) ) -> ( C - k ) e. NN0 )
28		cxpexp 24414	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ ( C - k ) e. NN0 ) -> ( A ^c ( C - k ) ) = ( A ^ ( C - k ) ) )
29	20, 27, 28	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... C ) ) -> ( A ^c ( C - k ) ) = ( A ^ ( C - k ) ) )
30	29	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... C ) ) -> ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) = ( ( A ^ ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) )
31	19, 30	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... C ) ) -> ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = ( ( C _C k ) x. ( ( A ^ ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
32	31	sumeq2dv 14433	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> sum_ k e. ( 0 ... C ) ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... C ) ( ( C _C k ) x. ( ( A ^ ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
33	8, 14, 32	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> ( ( A + B ) ^c C ) = sum_ k e. ( 0 ... C ) ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
34		binomcxp.c	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. CC )
35	34	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> C e. CC )
36	11, 35	cxpcld 24454	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> ( ( A + B ) ^c C ) e. CC )
37	33, 36	eqeltrrd 2702	. . 3 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> sum_ k e. ( 0 ... C ) ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) e. CC )
38	37	addid1d 10236	. 2 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... C ) ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) + 0 ) = sum_ k e. ( 0 ... C ) ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
39		nn0uz 11722	. . . 4 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
40		eqid 2622	. . . 4 |- ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( C + 1 ) )
41		1nn0 11308	. . . . . 6 |- 1 e. NN0
42	41	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> 1 e. NN0 )
43	12, 42	nn0addcld 11355	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> ( C + 1 ) e. NN0 )
44		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( j e. NN0 |-> ( ( CC𝑐 j ) x. ( ( A ^c ( C - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) ) = ( j e. NN0 |-> ( ( CC𝑐 j ) x. ( ( A ^c ( C - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) ) )
45		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> j = k )
46	45	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> ( CC𝑐 j ) = ( CC𝑐 k ) )
47	45	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> ( C - j ) = ( C - k ) )
48	47	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> ( A ^c ( C - j ) ) = ( A ^c ( C - k ) ) )
49	45	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> ( B ^ j ) = ( B ^ k ) )
50	48, 49	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> ( ( A ^c ( C - j ) ) x. ( B ^ j ) ) = ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) )
51	46, 50	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> ( ( CC𝑐 j ) x. ( ( A ^c ( C - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) = ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
52	34	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> C e. CC )
53	52, 17	bcccl 38538	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( CC𝑐 k ) e. CC )
54	2	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> A e. CC )
55	17	nn0cnd 11353	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> k e. CC )
56	52, 55	subcld 10392	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( C - k ) e. CC )
57	54, 56	cxpcld 24454	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( A ^c ( C - k ) ) e. CC )
58	4	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> B e. CC )
59	58, 17	expcld 13008	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( B ^ k ) e. CC )
60	57, 59	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) e. CC )
61	53, 60	mulcld 10060	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) e. CC )
62	44, 51, 17, 61	fvmptd 6288	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( j e. NN0 |-> ( ( CC𝑐 j ) x. ( ( A ^c ( C - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) ) ` k ) = ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
63		peano2nn0 11333	. . . . . 6 |- ( C e. NN0 -> ( C + 1 ) e. NN0 )
64	63	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> ( C + 1 ) e. NN0 )
65		c0ex 10034	. . . . . . . . 9 |- 0 e. _V
66	65	fconst 6091	. . . . . . . 8 |- ( NN0 X. { 0 } ) : NN0 --> { 0 }
67	66	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> ( NN0 X. { 0 } ) : NN0 --> { 0 } )
68		0red 10041	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> 0 e. RR )
69	68	snssd 4340	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> { 0 } C_ RR )
70	67, 69	fssd 6057	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> ( NN0 X. { 0 } ) : NN0 --> RR )
71	70	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( NN0 X. { 0 } ) ` k ) e. RR )
72	62, 61	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( j e. NN0 |-> ( ( CC𝑐 j ) x. ( ( A ^c ( C - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) ) ` k ) e. CC )
73		climrel 14223	. . . . . . 7 |- Rel ~~>
74	39	xpeq1i 5135	. . . . . . . . 9 |- ( NN0 X. { 0 } ) = ( ( ZZ>= ` 0 ) X. { 0 } )
75		seqeq3 12806	. . . . . . . . 9 |- ( ( NN0 X. { 0 } ) = ( ( ZZ>= ` 0 ) X. { 0 } ) -> seq 0 ( + , ( NN0 X. { 0 } ) ) = seq 0 ( + , ( ( ZZ>= ` 0 ) X. { 0 } ) ) )
76	74, 75	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- seq 0 ( + , ( NN0 X. { 0 } ) ) = seq 0 ( + , ( ( ZZ>= ` 0 ) X. { 0 } ) )
77		0z 11388	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
78		serclim0 14308	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. ZZ -> seq 0 ( + , ( ( ZZ>= ` 0 ) X. { 0 } ) ) ~~> 0 )
79	77, 78	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- seq 0 ( + , ( ( ZZ>= ` 0 ) X. { 0 } ) ) ~~> 0
80	76, 79	eqbrtri 4674	. . . . . . 7 |- seq 0 ( + , ( NN0 X. { 0 } ) ) ~~> 0
81		releldm 5358	. . . . . . 7 |- ( ( Rel ~~> /\ seq 0 ( + , ( NN0 X. { 0 } ) ) ~~> 0 ) -> seq 0 ( + , ( NN0 X. { 0 } ) ) e. dom ~~> )
82	73, 80, 81	mp2an 708	. . . . . 6 |- seq 0 ( + , ( NN0 X. { 0 } ) ) e. dom ~~>
83	82	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> seq 0 ( + , ( NN0 X. { 0 } ) ) e. dom ~~> )
84		eluznn0 11757	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( C + 1 ) e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
85	64, 84	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
86	85, 62	syldan 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> ( ( j e. NN0 |-> ( ( CC𝑐 j ) x. ( ( A ^c ( C - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) ) ` k ) = ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
87		0zd 11389	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> 0 e. ZZ )
88	85	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> k e. ZZ )
89		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> 1 e. ZZ )
90	88, 89	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. ZZ )
91	12	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> C e. ZZ )
92	91	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> C e. ZZ )
93	12	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> 0 <_ C )
94	93	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> 0 <_ C )
95		eluzle 11700	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) -> ( C + 1 ) <_ k )
96	95	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> ( C + 1 ) <_ k )
97	92	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> C e. RR )
98		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
99	85	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> k e. RR )
100		leaddsub 10504	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( C e. RR /\ 1 e. RR /\ k e. RR ) -> ( ( C + 1 ) <_ k <-> C <_ ( k - 1 ) ) )
101	97, 98, 99, 100	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> ( ( C + 1 ) <_ k <-> C <_ ( k - 1 ) ) )
102	96, 101	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> C <_ ( k - 1 ) )
103		elfz4 12335	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ ( k - 1 ) e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( 0 <_ C /\ C <_ ( k - 1 ) ) ) -> C e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) )
104	87, 90, 92, 94, 102, 103	syl32anc 1334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> C e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) )
105	34	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> C e. CC )
106	105, 85	bcc0 38539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> ( ( CC𝑐 k ) = 0 <-> C e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ) )
107	104, 106	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> ( CC𝑐 k ) = 0 )
108	107	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = ( 0 x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
109	2	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> A e. CC )
110		eluzelcn 11699	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) -> k e. CC )
111	110	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> k e. CC )
112	105, 111	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> ( C - k ) e. CC )
113	109, 112	cxpcld 24454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> ( A ^c ( C - k ) ) e. CC )
114	4	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> B e. CC )
115	114, 85	expcld 13008	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> ( B ^ k ) e. CC )
116	113, 115	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) e. CC )
117	116	mul02d 10234	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> ( 0 x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = 0 )
118	108, 117	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = 0 )
119	86, 118	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> ( ( j e. NN0 |-> ( ( CC𝑐 j ) x. ( ( A ^c ( C - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) ) ` k ) = 0 )
120	119	abs00bd 14031	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( j e. NN0 |-> ( ( CC𝑐 j ) x. ( ( A ^c ( C - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) ) ` k ) ) = 0 )
121		0re 10040	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
122	120, 121	syl6eqel 2709	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( j e. NN0 |-> ( ( CC𝑐 j ) x. ( ( A ^c ( C - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) ) ` k ) ) e. RR )
123		eqle 10139	. . . . . . 7 |- ( ( ( abs ` ( ( j e. NN0 |-> ( ( CC𝑐 j ) x. ( ( A ^c ( C - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) ) ` k ) ) e. RR /\ ( abs ` ( ( j e. NN0 |-> ( ( CC𝑐 j ) x. ( ( A ^c ( C - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) ) ` k ) ) = 0 ) -> ( abs ` ( ( j e. NN0 |-> ( ( CC𝑐 j ) x. ( ( A ^c ( C - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) ) ` k ) ) <_ 0 )
124	122, 120, 123	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( j e. NN0 |-> ( ( CC𝑐 j ) x. ( ( A ^c ( C - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) ) ` k ) ) <_ 0 )
125	71	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( NN0 X. { 0 } ) ` k ) e. CC )
126	85, 125	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> ( ( NN0 X. { 0 } ) ` k ) e. CC )
127	126	mul02d 10234	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> ( 0 x. ( ( NN0 X. { 0 } ) ` k ) ) = 0 )
128	124, 127	breqtrrd 4681	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( j e. NN0 |-> ( ( CC𝑐 j ) x. ( ( A ^c ( C - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) ) ` k ) ) <_ ( 0 x. ( ( NN0 X. { 0 } ) ` k ) ) )
129	39, 64, 71, 72, 83, 68, 128	cvgcmpce 14550	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> seq 0 ( + , ( j e. NN0 |-> ( ( CC𝑐 j ) x. ( ( A ^c ( C - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) ) ) e. dom ~~> )
130	39, 40, 43, 62, 61, 129	isumsplit 14572	. . 3 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> sum_ k e. NN0 ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... ( ( C + 1 ) - 1 ) ) ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) ) )
131		1cnd 10056	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> 1 e. CC )
132	35, 131	pncand 10393	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> ( ( C + 1 ) - 1 ) = C )
133	132	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> ( 0 ... ( ( C + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... C ) )
134	133	sumeq1d 14431	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( ( C + 1 ) - 1 ) ) ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... C ) ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
135	134	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( ( C + 1 ) - 1 ) ) ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... C ) ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) ) )
136	118	sumeq2dv 14433	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) 0 )
137		ssid 3624	. . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` ( C + 1 ) )
138	137	orci 405	. . . . . 6 |- ( ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) \/ ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) e. Fin )
139		sumz 14453	. . . . . 6 |- ( ( ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) \/ ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) e. Fin ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) 0 = 0 )
140	138, 139	ax-mp 5	. . . . 5 |- sum_ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) 0 = 0
141	136, 140	syl6eq 2672	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = 0 )
142	141	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... C ) ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... C ) ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) + 0 ) )
143	130, 135, 142	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> sum_ k e. NN0 ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... C ) ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) + 0 ) )
144	38, 143, 33	3eqtr4rd 2667	1 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> ( ( A + B ) ^c C ) = sum_ k e. NN0 ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   Rel wrel 5119   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   seqcseq 12801   ^cexp 12860   _C cbc 13089   abscabs 13974   ~~> cli 14215   sum_csu 14416   ^c ccxp 24302  C_𝑐cbcc 38535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-prod 14636  df-fallfac 14738  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-bcc 38536

This theorem is referenced by:  binomcxp  38556