Theorem trclfvdecomr 38020

Description: The transitive closure of a relation may be decomposed into a union of the relation and the composition of the relation with its transitive closure. (Contributed by RP, 18-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
trclfvdecomr	|- ( R e. V -> ( t+ ` R ) = ( R u. ( ( t+ ` R ) o. R ) ) )

Proof of Theorem trclfvdecomr

Dummy variables m n r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3212	. . 3 |- ( R e. V -> R e. _V )
2		oveq1 6657	. . . . 5 |- ( r = R -> ( r ^r n ) = ( R ^r n ) )
3	2	iuneq2d 4547	. . . 4 |- ( r = R -> U_ n e. NN ( r ^r n ) = U_ n e. NN ( R ^r n ) )
4		dftrcl3 38012	. . . 4 |- t+ = ( r e. _V |-> U_ n e. NN ( r ^r n ) )
5		nnex 11026	. . . . 5 |- NN e. _V
6		ovex 6678	. . . . 5 |- ( R ^r n ) e. _V
7	5, 6	iunex 7147	. . . 4 |- U_ n e. NN ( R ^r n ) e. _V
8	3, 4, 7	fvmpt 6282	. . 3 |- ( R e. _V -> ( t+ ` R ) = U_ n e. NN ( R ^r n ) )
9	1, 8	syl 17	. 2 |- ( R e. V -> ( t+ ` R ) = U_ n e. NN ( R ^r n ) )
10		nnuz 11723	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
11		2eluzge1 11734	. . . . . . 7 |- 2 e. ( ZZ>= ` 1 )
12		uzsplit 12412	. . . . . . 7 |- ( 2 e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ZZ>= ` 1 ) = ( ( 1 ... ( 2 - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` 1 ) = ( ( 1 ... ( 2 - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` 2 ) )
14		2m1e1 11135	. . . . . . . . 9 |- ( 2 - 1 ) = 1
15	14	oveq2i 6661	. . . . . . . 8 |- ( 1 ... ( 2 - 1 ) ) = ( 1 ... 1 )
16		1z 11407	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ZZ
17		fzsn 12383	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. ZZ -> ( 1 ... 1 ) = { 1 } )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 1 ... 1 ) = { 1 }
19	15, 18	eqtri 2644	. . . . . . 7 |- ( 1 ... ( 2 - 1 ) ) = { 1 }
20	19	uneq1i 3763	. . . . . 6 |- ( ( 1 ... ( 2 - 1 ) ) u. ( ZZ>= ` 2 ) ) = ( { 1 } u. ( ZZ>= ` 2 ) )
21	10, 13, 20	3eqtri 2648	. . . . 5 |- NN = ( { 1 } u. ( ZZ>= ` 2 ) )
22		iuneq1 4534	. . . . 5 |- ( NN = ( { 1 } u. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> U_ n e. NN ( R ^r n ) = U_ n e. ( { 1 } u. ( ZZ>= ` 2 ) ) ( R ^r n ) )
23	21, 22	ax-mp 5	. . . 4 |- U_ n e. NN ( R ^r n ) = U_ n e. ( { 1 } u. ( ZZ>= ` 2 ) ) ( R ^r n )
24		iunxun 4605	. . . 4 |- U_ n e. ( { 1 } u. ( ZZ>= ` 2 ) ) ( R ^r n ) = ( U_ n e. { 1 } ( R ^r n ) u. U_ n e. ( ZZ>= ` 2 ) ( R ^r n ) )
25		1ex 10035	. . . . . 6 |- 1 e. _V
26		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( n = 1 -> ( R ^r n ) = ( R ^r 1 ) )
27	25, 26	iunxsn 4603	. . . . 5 |- U_ n e. { 1 } ( R ^r n ) = ( R ^r 1 )
28	27	uneq1i 3763	. . . 4 |- ( U_ n e. { 1 } ( R ^r n ) u. U_ n e. ( ZZ>= ` 2 ) ( R ^r n ) ) = ( ( R ^r 1 ) u. U_ n e. ( ZZ>= ` 2 ) ( R ^r n ) )
29	23, 24, 28	3eqtri 2648	. . 3 |- U_ n e. NN ( R ^r n ) = ( ( R ^r 1 ) u. U_ n e. ( ZZ>= ` 2 ) ( R ^r n ) )
30		relexp1g 13766	. . . 4 |- ( R e. V -> ( R ^r 1 ) = R )
31		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( r = R -> ( r ^r m ) = ( R ^r m ) )
32	31	iuneq2d 4547	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> U_ m e. NN ( r ^r m ) = U_ m e. NN ( R ^r m ) )
33		dftrcl3 38012	. . . . . . . . 9 |- t+ = ( r e. _V |-> U_ m e. NN ( r ^r m ) )
34		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( R ^r m ) e. _V
35	5, 34	iunex 7147	. . . . . . . . 9 |- U_ m e. NN ( R ^r m ) e. _V
36	32, 33, 35	fvmpt 6282	. . . . . . . 8 |- ( R e. _V -> ( t+ ` R ) = U_ m e. NN ( R ^r m ) )
37	1, 36	syl 17	. . . . . . 7 |- ( R e. V -> ( t+ ` R ) = U_ m e. NN ( R ^r m ) )
38	37	coeq1d 5283	. . . . . 6 |- ( R e. V -> ( ( t+ ` R ) o. R ) = ( U_ m e. NN ( R ^r m ) o. R ) )
39		coiun1 37944	. . . . . . 7 |- ( U_ m e. NN ( R ^r m ) o. R ) = U_ m e. NN ( ( R ^r m ) o. R )
40		uz2m1nn 11763	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( n - 1 ) e. NN )
41	40	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. V /\ n e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( n - 1 ) e. NN )
42		eluzp1p1 11713	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
43	42, 10	eleq2s 2719	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN -> ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) )
44		1p1e2 11134	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 + 1 ) = 2
45	44	fveq2i 6194	. . . . . . . . . 10 |- ( ZZ>= ` ( 1 + 1 ) ) = ( ZZ>= ` 2 )
46	43, 45	syl6eleq 2711	. . . . . . . . 9 |- ( m e. NN -> ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
47	46	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. V /\ m e. NN ) -> ( m + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
48		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( n - 1 ) -> ( R ^r m ) = ( R ^r ( n - 1 ) ) )
49	48	coeq1d 5283	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( n - 1 ) -> ( ( R ^r m ) o. R ) = ( ( R ^r ( n - 1 ) ) o. R ) )
50	49	3ad2ant3 1084	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. V /\ n e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ m = ( n - 1 ) ) -> ( ( R ^r m ) o. R ) = ( ( R ^r ( n - 1 ) ) o. R ) )
51		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( R ^r n ) = ( R ^r ( m + 1 ) ) )
52	51	3ad2ant3 1084	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. V /\ m e. NN /\ n = ( m + 1 ) ) -> ( R ^r n ) = ( R ^r ( m + 1 ) ) )
53		relexpsucnnr 13765	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. V /\ m e. NN ) -> ( R ^r ( m + 1 ) ) = ( ( R ^r m ) o. R ) )
54	53	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. V /\ m e. NN ) -> ( ( R ^r m ) o. R ) = ( R ^r ( m + 1 ) ) )
55		relexpsucnnr 13765	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. V /\ ( n - 1 ) e. NN ) -> ( R ^r ( ( n - 1 ) + 1 ) ) = ( ( R ^r ( n - 1 ) ) o. R ) )
56	40, 55	sylan2 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. V /\ n e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( R ^r ( ( n - 1 ) + 1 ) ) = ( ( R ^r ( n - 1 ) ) o. R ) )
57		eluzelcn 11699	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( ZZ>= ` 2 ) -> n e. CC )
58		npcan1 10455	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. CC -> ( ( n - 1 ) + 1 ) = n )
59		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( n - 1 ) + 1 ) = n -> ( R ^r ( ( n - 1 ) + 1 ) ) = ( R ^r n ) )
60	57, 58, 59	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( R ^r ( ( n - 1 ) + 1 ) ) = ( R ^r n ) )
61	60	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( R ^r ( ( n - 1 ) + 1 ) ) = ( ( R ^r ( n - 1 ) ) o. R ) <-> ( R ^r n ) = ( ( R ^r ( n - 1 ) ) o. R ) ) )
62	61	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. V /\ n e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( R ^r ( ( n - 1 ) + 1 ) ) = ( ( R ^r ( n - 1 ) ) o. R ) <-> ( R ^r n ) = ( ( R ^r ( n - 1 ) ) o. R ) ) )
63	56, 62	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. V /\ n e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( R ^r n ) = ( ( R ^r ( n - 1 ) ) o. R ) )
64	41, 47, 50, 52, 54, 63	cbviuneq12dv 37954	. . . . . . 7 |- ( R e. V -> U_ m e. NN ( ( R ^r m ) o. R ) = U_ n e. ( ZZ>= ` 2 ) ( R ^r n ) )
65	39, 64	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( R e. V -> ( U_ m e. NN ( R ^r m ) o. R ) = U_ n e. ( ZZ>= ` 2 ) ( R ^r n ) )
66	38, 65	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( R e. V -> ( ( t+ ` R ) o. R ) = U_ n e. ( ZZ>= ` 2 ) ( R ^r n ) )
67	66	eqcomd 2628	. . . 4 |- ( R e. V -> U_ n e. ( ZZ>= ` 2 ) ( R ^r n ) = ( ( t+ ` R ) o. R ) )
68	30, 67	uneq12d 3768	. . 3 |- ( R e. V -> ( ( R ^r 1 ) u. U_ n e. ( ZZ>= ` 2 ) ( R ^r n ) ) = ( R u. ( ( t+ ` R ) o. R ) ) )
69	29, 68	syl5eq 2668	. 2 |- ( R e. V -> U_ n e. NN ( R ^r n ) = ( R u. ( ( t+ ` R ) o. R ) ) )
70	9, 69	eqtrd 2656	1 |- ( R e. V -> ( t+ ` R ) = ( R u. ( ( t+ ` R ) o. R ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   u. cun 3572   {csn 4177   U_ciun 4520   o. ccom 5118   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   1c1 9937   + caddc 9939   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   t+ctcl 13724   ^r crelexp 13760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-trcl 13726  df-relexp 13761

This theorem is referenced by:  trclfvdecoml  38021  dmtrclfvRP  38022  frege124d  38053  frege131d  38056