hashfun - Metamath Proof Explorer

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Theorem hashfun 13224

Description: A finite set is a function iff it is equinumerous to its domain. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
hashfun

Proof of Theorem hashfun Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 5918	. . 3
2		hashfn 13164	. . 3
3	1, 2	sylbi 207	. 2
4		dmfi 8244	. . . . . . . . . . 11
5		hashcl 13147	. . . . . . . . . . 11
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10
7	6	nn0red 11352	. . . . . . . . 9
8	7	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$
9		df-rel 5121	. . . . . . . . . . . . 13
10		dfss3 3592	. . . . . . . . . . . . 13
11	9, 10	bitri 264	. . . . . . . . . . . 12
12	11	notbii 310	. . . . . . . . . . 11
13		rexnal 2995	. . . . . . . . . . 11
14	12, 13	bitr4i 267	. . . . . . . . . 10
15		dmun 5331	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $\$
16	15	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $\$
17		dmsnn0 5600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
18	17	biimpri 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
19	18	necon1bi 2822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
20	19	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
21	20	uneq2d 3767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\$ $\$
22		un0 3967	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $\$
23	21, 22	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\$ $\$
24	23	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $\$ $\$
25	16, 24	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\$ $\$
26		diffi 8192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$
27		dmfi 8244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\$ $\$
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$
29		hashcl 13147	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ $\$
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$
31	30	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$
32		hashcl 13147	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ $\$
33	26, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$
34	33	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$
35		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $\$
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$
37		fidomdm 8243	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ $\$ $\$
38	26, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $\$
39		hashdom 13168	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
40	28, 26, 39	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $\$ $\$ $\$
41	38, 40	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $\$
42	34	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $\$
43	31, 34, 36, 41, 42	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $\$
44	43	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\$ $\$
45	25, 44	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\$ $\$
46		snfi 8038	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
47		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ $\$
48		disjdif 4040	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$
49	47, 48	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$
50		hashun 13171	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
51	46, 49, 50	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $\$ $\$
52	26, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $\$
53		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
54		hashsng 13159	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
55	53, 54	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16
56	55	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $\$
57	52, 56	syl6req 2673	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $\$
58	57	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\$ $\$
59	45, 58	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\$ $\$
60		difsnid 4341	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$
61	60	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$
62	61	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 $\$
63	62	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\$
64	60	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 $\$
65	64	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\$
66	59, 63, 65	3brtr3d 4684	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
67	66	rexlimdv3a 3033	. . . . . . . . . 10
68	14, 67	syl5bi 232	. . . . . . . . 9
69	68	imp 445	. . . . . . . 8 $/\$
70	8, 69	gtned 10172	. . . . . . 7 $/\$
71	70	ex 450	. . . . . 6
72	71	necon4bd 2814	. . . . 5
73	72	imp 445	. . . 4 $/\$
74		2nalexn 1755	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
75		df-ne 2795	. . . . . . . . . . . . 13
76	75	anbi2i 730	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77		annim 441	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
78	76, 77	bitri 264	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
79	78	exbii 1774	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
80		exnal 1754	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
81	79, 80	bitr2i 265	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
82	81	2exbii 1775	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
83	74, 82	bitri 264	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
84	7	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
85		2re 11090	. . . . . . . . . . . . 13
86		diffi 8192	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$
87		dmfi 8244	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $\$
88	86, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$
89		hashcl 13147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $\$
90	88, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$
91	90	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$
92	91	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
93		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$ $\$
94	85, 92, 93	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
95		hashcl 13147	. . . . . . . . . . . . . 14
96	95	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . 13
97	96	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
98		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . 15
99		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\$ $\$
100	98, 91, 99	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$
101	100	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
102	85, 91, 93	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$
103	102	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
104		dmun 5331	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ $\$
105		opex 4932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
106		opex 4932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
107	105, 106	prss 4351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
108		undif 4049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\$
109	107, 108	sylbb 209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $\$
110	109	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $\$
111	104, 110	syl5reqr 2671	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $\$
112		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
113		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
114	112, 113	dmprop 5610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
115		dfsn2 4190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
116	114, 115	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
117	116	uneq1i 3763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $\$
118	111, 117	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $\$
119	118	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\$
120	119	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
121		hashun2 13172	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $\$ $\$ $\$
122	46, 88, 121	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $\$
123	55	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $\$
124	122, 123	syl6breq 4694	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $\$
125	124	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
126	120, 125	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
127		1lt2 11194	. . . . . . . . . . . . . . 15
128		ltadd1 10495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
129	98, 85, 91, 128	mp3an12i 1428	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $\$
130	127, 129	mpbii 223	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $\$
131	130	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
132	84, 101, 103, 126, 131	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
133		fidomdm 8243	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $\$ $\$
134	86, 133	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $\$
135		hashdom 13168	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
136	88, 86, 135	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $\$ $\$ $\$
137	134, 136	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $\$
138		hashcl 13147	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$ $\$
139	86, 138	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$
140	139	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$
141		leadd2 10497	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$
142	85, 141	mp3an3 1413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$
143	91, 140, 142	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $\$ $\$ $\$
144	137, 143	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$ $\$
145	144	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
146		prfi 8235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
147		disjdif 4040	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$
148		hashun 13171	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $\$ $/\$ $\$ $\$ $\$
149	146, 147, 148	mp3an13 1415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $\$ $\$
150	86, 149	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $\$
151	150	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
152	109	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\$
153	152	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
154	53, 112	opth 4945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
155	154	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
156	155	necon3i 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
157		hashprg 13182	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
158	105, 106, 157	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
159	156, 158	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . 16
160	159	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $\$
161	160	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
162	151, 153, 161	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
163	145, 162	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
164	84, 94, 97, 132, 163	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
165	84, 164	gtned 10172	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
166	165	ex 450	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
167	166	exlimdv 1861	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
168	167	exlimdvv 1862	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
169	83, 168	syl5bi 232	. . . . . 6 $/\$
170	169	necon4bd 2814	. . . . 5 $/\$
171	170	imp 445	. . . 4 $/\$ $/\$
172		dffun4 5900	. . . 4 $/\$ $/\$
173	73, 171, 172	sylanbrc 698	. . 3 $/\$
174	173	ex 450	. 2
175	3, 174	impbid2 216	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wal 1481

wceq 1483

wex 1704

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913

cvv 3200 $\$ cdif 3571

cun 3572

cin 3573

wss 3574

c0 3915

csn 4177

cpr 4179

cop 4183 class class class wbr 4653

cxp 5112

cdm 5114

wrel 5119

wfun 5882

wfn 5883

cfv 5888 (class class class)co 6650

cdom 7953

cfn 7955

cr 9935

c1 9937

caddc 9939

clt 10074

cle 10075

c2 11070

cn0 11292

chash 13117

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-2 11079 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-hash 13118

This theorem is referenced by: hashres 13225 hashreshashfun 13226 ccatalpha 13375

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