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Theorem chfacfpmmulgsum2 20670
Description: Breaking up a sum of values of the "characteristic factor function" multiplied with a constant polynomial matrix. (Contributed by AV, 23-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cayhamlem1.a |- A = ( N Mat R )
cayhamlem1.b |- B = ( Base ` A )
cayhamlem1.p |- P = (Poly1 ` R )
cayhamlem1.y |- Y = ( N Mat P )
cayhamlem1.r |- .X. = ( .r ` Y )
cayhamlem1.s |- .- = ( -g ` Y )
cayhamlem1.0 |- .0. = ( 0g ` Y )
cayhamlem1.t |- T = ( N matToPolyMat R )
cayhamlem1.g |- G = ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) , if ( n = ( s + 1 ) , ( T ` ( b ` s ) ) , if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) ) ) )
cayhamlem1.e |- .^ = (.g ` (mulGrp ` Y ) )
chfacfpmmulgsum.p |- .+ = ( +g ` Y )
Assertion
Ref Expression
chfacfpmmulgsum2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( Y gsumg ( i e. NN0 |-> ( ( i .^ ( T ` M ) ) .X. ( G ` i ) ) ) ) = ( ( Y gsumg ( i e. ( 1 ... s ) |-> ( ( ( i .^ ( T ` M ) ) .X. ( T ` ( b ` ( i - 1 ) ) ) ) .- ( ( ( i + 1 ) .^ ( T ` M ) ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) ) ) .+ ( ( ( ( s + 1 ) .^ ( T ` M ) ) .X. ( T ` ( b ` s ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   B, n   n, M   n, N   R, n   n, Y   n, b   n, s   .0. , n   B, i   i, G   i, M   i, N   R, i   T, i   .X. , i   .^ , i   i, s   i, b   T, n, i   i, Y   .X. , n   .- , n
Allowed substitution hints:   A( i, n, s, b)   B( s, b)   P( i, n, s, b)   .+ ( i, n, s, b)   R( s, b)   T( s, b)   .X. ( s, b)   .^ ( n, s, b)   G( n, s, b)   M( s, b)   .- ( i, s, b)   N( s, b)   Y( s, b)   .0. ( i, s, b)
Proof of Theorem chfacfpmmulgsum2
StepHypRef Expression
1 cayhamlem1.a . . 3 |- A = ( N Mat R )
2 cayhamlem1.b . . 3 |- B = ( Base ` A )
3 cayhamlem1.p . . 3 |- P = (Poly1 ` R )
4 cayhamlem1.y . . 3 |- Y = ( N Mat P )
5 cayhamlem1.r . . 3 |- .X. = ( .r ` Y )
6 cayhamlem1.s . . 3 |- .- = ( -g ` Y )
7 cayhamlem1.0 . . 3 |- .0. = ( 0g ` Y )
8 cayhamlem1.t . . 3 |- T = ( N matToPolyMat R )
9 cayhamlem1.g . . 3 |- G = ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) , if ( n = ( s + 1 ) , ( T ` ( b ` s ) ) , if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) ) ) )
10 cayhamlem1.e . . 3 |- .^ = (.g ` (mulGrp ` Y ) )
11 chfacfpmmulgsum.p . . 3 |- .+ = ( +g ` Y )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11chfacfpmmulgsum 20669 . 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( Y gsumg ( i e. NN0 |-> ( ( i .^ ( T ` M ) ) .X. ( G ` i ) ) ) ) = ( ( Y gsumg ( i e. ( 1 ... s ) |-> ( ( i .^ ( T ` M ) ) .X. ( ( T ` ( b ` ( i - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) ) ) ) .+ ( ( ( ( s + 1 ) .^ ( T ` M ) ) .X. ( T ` ( b ` s ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) ) )
13 eqid 2622 . . . . . . 7 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
14 crngring 18558 . . . . . . . . . . 11 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
1514anim2i 593 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring ) )
163, 4pmatring 20498 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> Y e. Ring )
1715, 16syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> Y e. Ring )
18173adant3 1081 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> Y e. Ring )
1918ad2antrr 762 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) -> Y e. Ring )
20 eqid 2622 . . . . . . . . . . . 12 |- (mulGrp ` Y ) = (mulGrp ` Y )
2120ringmgp 18553 . . . . . . . . . . 11 |- ( Y e. Ring -> (mulGrp ` Y ) e. Mnd )
22 mndmgm 17300 . . . . . . . . . . 11 |- ( (mulGrp ` Y ) e. Mnd -> (mulGrp ` Y ) e. Mgm )
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( Y e. Ring -> (mulGrp ` Y ) e. Mgm )
2418, 23syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> (mulGrp ` Y ) e. Mgm )
2524ad2antrr 762 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) -> (mulGrp ` Y ) e. Mgm )
26 elfznn 12370 . . . . . . . . 9 |- ( i e. ( 1 ... s ) -> i e. NN )
2726adantl 482 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) -> i e. NN )
288, 1, 2, 3, 4mat2pmatbas 20531 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> ( T ` M ) e. ( Base ` Y ) )
2914, 28syl3an2 1360 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> ( T ` M ) e. ( Base ` Y ) )
3029ad2antrr 762 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) -> ( T ` M ) e. ( Base ` Y ) )
3120, 13mgpbas 18495 . . . . . . . . 9 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` (mulGrp ` Y ) )
3231, 10mulgnncl 17556 . . . . . . . 8 |- ( ( (mulGrp ` Y ) e. Mgm /\ i e. NN /\ ( T ` M ) e. ( Base ` Y ) ) -> ( i .^ ( T ` M ) ) e. ( Base ` Y ) )
3325, 27, 30, 32syl3anc 1326 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) -> ( i .^ ( T ` M ) ) e. ( Base ` Y ) )
34153adant3 1081 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring ) )
3534ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring ) )
36 elmapi 7879 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) -> b : ( 0 ... s ) --> B )
3736adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> b : ( 0 ... s ) --> B )
3837adantl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> b : ( 0 ... s ) --> B )
3938adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) -> b : ( 0 ... s ) --> B )
40 1nn0 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. NN0
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( s e. NN /\ i e. ( 1 ... s ) ) -> 1 e. NN0 )
42 nnnn0 11299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s e. NN -> s e. NN0 )
4342adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( s e. NN /\ i e. ( 1 ... s ) ) -> s e. NN0 )
44 nnge1 11046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s e. NN -> 1 <_ s )
4544adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( s e. NN /\ i e. ( 1 ... s ) ) -> 1 <_ s )
46 elfz2nn0 12431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 e. ( 0 ... s ) <-> ( 1 e. NN0 /\ s e. NN0 /\ 1 <_ s ) )
4741, 43, 45, 46syl3anbrc 1246 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( s e. NN /\ i e. ( 1 ... s ) ) -> 1 e. ( 0 ... s ) )
48 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( s e. NN /\ i e. ( 1 ... s ) ) -> i e. ( 1 ... s ) )
49 fz0fzdiffz0 12448 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. ( 0 ... s ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) -> ( i - 1 ) e. ( 0 ... s ) )
5047, 48, 49syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( s e. NN /\ i e. ( 1 ... s ) ) -> ( i - 1 ) e. ( 0 ... s ) )
5150ex 450 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. NN -> ( i e. ( 1 ... s ) -> ( i - 1 ) e. ( 0 ... s ) ) )
5251adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( i e. ( 1 ... s ) -> ( i - 1 ) e. ( 0 ... s ) ) )
5352adantl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( i e. ( 1 ... s ) -> ( i - 1 ) e. ( 0 ... s ) ) )
5453imp 445 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) -> ( i - 1 ) e. ( 0 ... s ) )
5539, 54ffvelrnd 6360 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) -> ( b ` ( i - 1 ) ) e. B )
56 df-3an 1039 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ ( b ` ( i - 1 ) ) e. B ) <-> ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) /\ ( b ` ( i - 1 ) ) e. B ) )
5735, 55, 56sylanbrc 698 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ ( b ` ( i - 1 ) ) e. B ) )
588, 1, 2, 3, 4mat2pmatbas 20531 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ ( b ` ( i - 1 ) ) e. B ) -> ( T ` ( b ` ( i - 1 ) ) ) e. ( Base ` Y ) )
5957, 58syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) -> ( T ` ( b ` ( i - 1 ) ) ) e. ( Base ` Y ) )
6034, 16syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> Y e. Ring )
6160ad2antrr 762 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) -> Y e. Ring )
62 simpl1 1064 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> N e. Fin )
63143ad2ant2 1083 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> R e. Ring )
6463adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> R e. Ring )
6542adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> s e. NN0 )
6665adantl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> s e. NN0 )
6762, 64, 663jca 1242 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ s e. NN0 ) )
6867adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ s e. NN0 ) )
69 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) )
7069adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) )
71 1eluzge0 11732 . . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
72 fzss1 12380 . . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 1 ... s ) C_ ( 0 ... s ) )
7371, 72ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- ( 1 ... s ) C_ ( 0 ... s )
7473sseli 3599 . . . . . . . . . 10 |- ( i e. ( 1 ... s ) -> i e. ( 0 ... s ) )
7570, 74anim12i 590 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) -> ( b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) /\ i e. ( 0 ... s ) ) )
761, 2, 3, 4, 8m2pmfzmap 20552 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ s e. NN0 ) /\ ( b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) /\ i e. ( 0 ... s ) ) ) -> ( T ` ( b ` i ) ) e. ( Base ` Y ) )
7768, 75, 76syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) -> ( T ` ( b ` i ) ) e. ( Base ` Y ) )
7813, 5ringcl 18561 . . . . . . . 8 |- ( ( Y e. Ring /\ ( T ` M ) e. ( Base ` Y ) /\ ( T ` ( b ` i ) ) e. ( Base ` Y ) ) -> ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) e. ( Base ` Y ) )
7961, 30, 77, 78syl3anc 1326 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) -> ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) e. ( Base ` Y ) )
8013, 5, 6, 19, 33, 59, 79ringsubdi 18599 . . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) -> ( ( i .^ ( T ` M ) ) .X. ( ( T ` ( b ` ( i - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) ) = ( ( ( i .^ ( T ` M ) ) .X. ( T ` ( b ` ( i - 1 ) ) ) ) .- ( ( i .^ ( T ` M ) ) .X. ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) ) )
8113, 5ringass 18564 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Y e. Ring /\ ( ( i .^ ( T ` M ) ) e. ( Base ` Y ) /\ ( T ` M ) e. ( Base ` Y ) /\ ( T ` ( b ` i ) ) e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( ( ( i .^ ( T ` M ) ) .X. ( T ` M ) ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) = ( ( i .^ ( T ` M ) ) .X. ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) )
8261, 33, 30, 77, 81syl13anc 1328 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) -> ( ( ( i .^ ( T ` M ) ) .X. ( T ` M ) ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) = ( ( i .^ ( T ` M ) ) .X. ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) )
8382eqcomd 2628 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) -> ( ( i .^ ( T ` M ) ) .X. ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) = ( ( ( i .^ ( T ` M ) ) .X. ( T ` M ) ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) )
8429, 31syl6eleq 2711 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> ( T ` M ) e. ( Base ` (mulGrp ` Y ) ) )
8584adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( T ` M ) e. ( Base ` (mulGrp ` Y ) ) )
86 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( Base ` (mulGrp ` Y ) ) = ( Base ` (mulGrp ` Y ) )
87 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` (mulGrp ` Y ) ) = ( +g ` (mulGrp ` Y ) )
8886, 10, 87mulgnnp1 17549 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. NN /\ ( T ` M ) e. ( Base ` (mulGrp ` Y ) ) ) -> ( ( i + 1 ) .^ ( T ` M ) ) = ( ( i .^ ( T ` M ) ) ( +g ` (mulGrp ` Y ) ) ( T ` M ) ) )
8926, 85, 88syl2anr 495 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) -> ( ( i + 1 ) .^ ( T ` M ) ) = ( ( i .^ ( T ` M ) ) ( +g ` (mulGrp ` Y ) ) ( T ` M ) ) )
9020, 5mgpplusg 18493 . . . . . . . . . . . . . 14 |- .X. = ( +g ` (mulGrp ` Y ) )
9190eqcomi 2631 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g ` (mulGrp ` Y ) ) = .X.
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) -> ( +g ` (mulGrp ` Y ) ) = .X. )
9392oveqd 6667 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) -> ( ( i .^ ( T ` M ) ) ( +g ` (mulGrp ` Y ) ) ( T ` M ) ) = ( ( i .^ ( T ` M ) ) .X. ( T ` M ) ) )
9489, 93eqtrd 2656 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) -> ( ( i + 1 ) .^ ( T ` M ) ) = ( ( i .^ ( T ` M ) ) .X. ( T ` M ) ) )
9594eqcomd 2628 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) -> ( ( i .^ ( T ` M ) ) .X. ( T ` M ) ) = ( ( i + 1 ) .^ ( T ` M ) ) )
9695oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) -> ( ( ( i .^ ( T ` M ) ) .X. ( T ` M ) ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) = ( ( ( i + 1 ) .^ ( T ` M ) ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) )
9783, 96eqtrd 2656 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) -> ( ( i .^ ( T ` M ) ) .X. ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) = ( ( ( i + 1 ) .^ ( T ` M ) ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) )
9897oveq2d 6666 . . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) -> ( ( ( i .^ ( T ` M ) ) .X. ( T ` ( b ` ( i - 1 ) ) ) ) .- ( ( i .^ ( T ` M ) ) .X. ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) ) = ( ( ( i .^ ( T ` M ) ) .X. ( T ` ( b ` ( i - 1 ) ) ) ) .- ( ( ( i + 1 ) .^ ( T ` M ) ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) )
9980, 98eqtrd 2656 . . . . 5 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ i e. ( 1 ... s ) ) -> ( ( i .^ ( T ` M ) ) .X. ( ( T ` ( b ` ( i - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) ) = ( ( ( i .^ ( T ` M ) ) .X. ( T ` ( b ` ( i - 1 ) ) ) ) .- ( ( ( i + 1 ) .^ ( T ` M ) ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) )
10099mpteq2dva 4744 . . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( i e. ( 1 ... s ) |-> ( ( i .^ ( T ` M ) ) .X. ( ( T ` ( b ` ( i - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) ) ) = ( i e. ( 1 ... s ) |-> ( ( ( i .^ ( T ` M ) ) .X. ( T ` ( b ` ( i - 1 ) ) ) ) .- ( ( ( i + 1 ) .^ ( T ` M ) ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) ) )
101100oveq2d 6666 . . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( Y gsumg ( i e. ( 1 ... s ) |-> ( ( i .^ ( T ` M ) ) .X. ( ( T ` ( b ` ( i - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) ) ) ) = ( Y gsumg ( i e. ( 1 ... s ) |-> ( ( ( i .^ ( T ` M ) ) .X. ( T ` ( b ` ( i - 1 ) ) ) ) .- ( ( ( i + 1 ) .^ ( T ` M ) ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) ) ) )
102101oveq1d 6665 . 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( ( Y gsumg ( i e. ( 1 ... s ) |-> ( ( i .^ ( T ` M ) ) .X. ( ( T ` ( b ` ( i - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) ) ) ) .+ ( ( ( ( s + 1 ) .^ ( T ` M ) ) .X. ( T ` ( b ` s ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) ) = ( ( Y gsumg ( i e. ( 1 ... s ) |-> ( ( ( i .^ ( T ` M ) ) .X. ( T ` ( b ` ( i - 1 ) ) ) ) .- ( ( ( i + 1 ) .^ ( T ` M ) ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) ) ) .+ ( ( ( ( s + 1 ) .^ ( T ` M ) ) .X. ( T ` ( b ` s ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) ) )
10312, 102eqtrd 2656 1 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( Y gsumg ( i e. NN0 |-> ( ( i .^ ( T ` M ) ) .X. ( G ` i ) ) ) ) = ( ( Y gsumg ( i e. ( 1 ... s ) |-> ( ( ( i .^ ( T ` M ) ) .X. ( T ` ( b ` ( i - 1 ) ) ) ) .- ( ( ( i + 1 ) .^ ( T ` M ) ) .X. ( T ` ( b ` i ) ) ) ) ) ) .+ ( ( ( ( s + 1 ) .^ ( T ` M ) ) .X. ( T ` ( b ` s ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   gsumg cgsu 16101  Mgmcmgm 17240   Mndcmnd 17294   -gcsg 17424  .gcmg 17540  mulGrpcmgp 18489   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548  Poly1cpl1 19547   Mat cmat 20213   matToPolyMat cmat2pmat 20509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-ply1 19552  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mamu 20190  df-mat 20214  df-mat2pmat 20512
This theorem is referenced by:  cayhamlem1  20671
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