Proof of Theorem chfacfpmmulgsum
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | eqid 2622 |
. . 3
|
2 | | cayhamlem1.0 |
. . 3
|
3 | | chfacfpmmulgsum.p |
. . 3
|
4 | | crngring 18558 |
. . . . . . . 8
|
5 | 4 | anim2i 593 |
. . . . . . 7
|
6 | 5 | 3adant3 1081 |
. . . . . 6
|
7 | | cayhamlem1.p |
. . . . . . 7
Poly1 |
8 | | cayhamlem1.y |
. . . . . . 7
Mat |
9 | 7, 8 | pmatring 20498 |
. . . . . 6
|
10 | 6, 9 | syl 17 |
. . . . 5
|
11 | | ringcmn 18581 |
. . . . 5
CMnd |
12 | 10, 11 | syl 17 |
. . . 4
CMnd |
13 | 12 | adantr 481 |
. . 3
CMnd |
14 | | nn0ex 11298 |
. . . 4
|
15 | 14 | a1i 11 |
. . 3
|
16 | | simpll 790 |
. . . . 5
|
17 | | simplr 792 |
. . . . 5
|
18 | | simpr 477 |
. . . . 5
|
19 | 16, 17, 18 | 3jca 1242 |
. . . 4
|
20 | | cayhamlem1.a |
. . . . 5
Mat |
21 | | cayhamlem1.b |
. . . . 5
|
22 | | cayhamlem1.r |
. . . . 5
|
23 | | cayhamlem1.s |
. . . . 5
|
24 | | cayhamlem1.t |
. . . . 5
matToPolyMat |
25 | | cayhamlem1.g |
. . . . 5
|
26 | | cayhamlem1.e |
. . . . 5
.gmulGrp |
27 | 20, 21, 7, 8, 22, 23, 2, 24, 25, 26 | chfacfpmmulcl 20666 |
. . . 4
|
28 | 19, 27 | syl 17 |
. . 3
|
29 | 20, 21, 7, 8, 22, 23, 2, 24, 25, 26 | chfacfpmmulfsupp 20668 |
. . 3
finSupp |
30 | | nn0disj 12455 |
. . . 4
|
31 | 30 | a1i 11 |
. . 3
|
32 | | nnnn0 11299 |
. . . . . 6
|
33 | | peano2nn0 11333 |
. . . . . 6
|
34 | 32, 33 | syl 17 |
. . . . 5
|
35 | | nn0split 12454 |
. . . . 5
|
36 | 34, 35 | syl 17 |
. . . 4
|
37 | 36 | ad2antrl 764 |
. . 3
|
38 | 1, 2, 3, 13, 15, 28, 29, 31, 37 | gsumsplit2 18329 |
. 2
g
g
g
|
39 | | simpll 790 |
. . . . . . . 8
|
40 | | simplr 792 |
. . . . . . . 8
|
41 | | nncn 11028 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
42 | | add1p1 11283 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
43 | 41, 42 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
|
44 | 43 | ad2antrl 764 |
. . . . . . . . . . 11
|
45 | 44 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . 10
|
46 | 45 | eleq2d 2687 |
. . . . . . . . 9
|
47 | 46 | biimpa 501 |
. . . . . . . 8
|
48 | 20, 21, 7, 8, 22, 23, 2, 24, 25, 26 | chfacfpmmul0 20667 |
. . . . . . . 8
|
49 | 39, 40, 47, 48 | syl3anc 1326 |
. . . . . . 7
|
50 | 49 | mpteq2dva 4744 |
. . . . . 6
|
51 | 50 | oveq2d 6666 |
. . . . 5
g g |
52 | 4, 9 | sylan2 491 |
. . . . . . . . . 10
|
53 | | ringmnd 18556 |
. . . . . . . . . 10
|
54 | 52, 53 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
|
55 | 54 | 3adant3 1081 |
. . . . . . . 8
|
56 | | fvex 6201 |
. . . . . . . 8
|
57 | 55, 56 | jctir 561 |
. . . . . . 7
|
58 | 57 | adantr 481 |
. . . . . 6
|
59 | 2 | gsumz 17374 |
. . . . . 6
g |
60 | 58, 59 | syl 17 |
. . . . 5
g
|
61 | 51, 60 | eqtrd 2656 |
. . . 4
g |
62 | 61 | oveq2d 6666 |
. . 3
g
g
g
|
63 | 55 | adantr 481 |
. . . 4
|
64 | | fzfid 12772 |
. . . . 5
|
65 | | elfznn0 12433 |
. . . . . . . 8
|
66 | 65, 19 | sylan2 491 |
. . . . . . 7
|
67 | 66, 27 | syl 17 |
. . . . . 6
|
68 | 67 | ralrimiva 2966 |
. . . . 5
|
69 | 1, 13, 64, 68 | gsummptcl 18366 |
. . . 4
g
|
70 | 1, 3, 2 | mndrid 17312 |
. . . 4
g
g
g
|
71 | 63, 69, 70 | syl2anc 693 |
. . 3
g
g
|
72 | 62, 71 | eqtrd 2656 |
. 2
g
g
g
|
73 | 32 | ad2antrl 764 |
. . . 4
|
74 | 1, 3, 13, 73, 67 | gsummptfzsplit 18332 |
. . 3
g
g
g
|
75 | | elfznn0 12433 |
. . . . . . 7
|
76 | 75, 28 | sylan2 491 |
. . . . . 6
|
77 | 1, 3, 13, 73, 76 | gsummptfzsplitl 18333 |
. . . . 5
g
g
g
|
78 | | 0nn0 11307 |
. . . . . . . 8
|
79 | 78 | a1i 11 |
. . . . . . 7
|
80 | 20, 21, 7, 8, 22, 23, 2, 24, 25, 26 | chfacfpmmulcl 20666 |
. . . . . . . 8
|
81 | 79, 80 | mpd3an3 1425 |
. . . . . . 7
|
82 | | oveq1 6657 |
. . . . . . . . 9
|
83 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . . 9
|
84 | 82, 83 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . 8
|
85 | 1, 84 | gsumsn 18354 |
. . . . . . 7
g
|
86 | 63, 79, 81, 85 | syl3anc 1326 |
. . . . . 6
g
|
87 | 86 | oveq2d 6666 |
. . . . 5
g
g
g
|
88 | 77, 87 | eqtrd 2656 |
. . . 4
g
g
|
89 | | ovexd 6680 |
. . . . 5
|
90 | | 1nn0 11308 |
. . . . . . . 8
|
91 | 90 | a1i 11 |
. . . . . . 7
|
92 | 73, 91 | nn0addcld 11355 |
. . . . . 6
|
93 | 20, 21, 7, 8, 22, 23, 2, 24, 25, 26 | chfacfpmmulcl 20666 |
. . . . . 6
|
94 | 92, 93 | mpd3an3 1425 |
. . . . 5
|
95 | | oveq1 6657 |
. . . . . . 7
|
96 | | fveq2 6191 |
. . . . . . 7
|
97 | 95, 96 | oveq12d 6668 |
. . . . . 6
|
98 | 1, 97 | gsumsn 18354 |
. . . . 5
g
|
99 | 63, 89, 94, 98 | syl3anc 1326 |
. . . 4
g
|
100 | 88, 99 | oveq12d 6668 |
. . 3
g
g
g
|
101 | | fzfid 12772 |
. . . . . 6
|
102 | | simpll 790 |
. . . . . . . 8
|
103 | | simplr 792 |
. . . . . . . 8
|
104 | | elfznn 12370 |
. . . . . . . . . 10
|
105 | 104 | nnnn0d 11351 |
. . . . . . . . 9
|
106 | 105 | adantl 482 |
. . . . . . . 8
|
107 | 102, 103,
106, 27 | syl3anc 1326 |
. . . . . . 7
|
108 | 107 | ralrimiva 2966 |
. . . . . 6
|
109 | 1, 13, 101, 108 | gsummptcl 18366 |
. . . . 5
g
|
110 | 1, 3 | mndass 17302 |
. . . . 5
g
g
g
|
111 | 63, 109, 81, 94, 110 | syl13anc 1328 |
. . . 4
g
g
|
112 | 25 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
|
113 | 104 | nnne0d 11065 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
114 | 113 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
115 | | neeq1 2856 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
116 | 115 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
117 | 114, 116 | mpbird 247 |
. . . . . . . . . . . 12
|
118 | | eqneqall 2805 |
. . . . . . . . . . . 12
|
119 | 117, 118 | mpan9 486 |
. . . . . . . . . . 11
|
120 | | simplr 792 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
121 | | eqeq1 2626 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
122 | 121 | eqcoms 2630 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
123 | 122 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
124 | 120, 123 | mpbird 247 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
125 | 124 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
126 | 125 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . 12
|
127 | 126 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . 11
|
128 | 119, 127 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . . . 10
|
129 | | elfz2 12333 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
130 | | zleltp1 11428 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
131 | 130 | ancoms 469 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
132 | 131 | 3adant1 1079 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
133 | 132 | biimpcd 239 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
134 | 133 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
135 | 134 | impcom 446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
136 | 135 | orcd 407 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
137 | | zre 11381 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
138 | | 1red 10055 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
139 | 137, 138 | readdcld 10069 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
140 | | zre 11381 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
141 | 139, 140 | anim12ci 591 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
142 | 141 | 3adant1 1079 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
143 | | lttri2 10120 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
144 | 142, 143 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
145 | 144 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
146 | 136, 145 | mpbird 247 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
147 | 129, 146 | sylbi 207 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
148 | 147 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
149 | | neeq1 2856 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
150 | 149 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
151 | 148, 150 | mpbird 247 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
152 | 151 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
153 | 152 | neneqd 2799 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
154 | 153 | pm2.21d 118 |
. . . . . . . . . . . 12
|
155 | 154 | imp 445 |
. . . . . . . . . . 11
|
156 | 104 | nnred 11035 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
157 | | eleq1 2689 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
158 | 156, 157 | syl5ibrcom 237 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
159 | 158 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
160 | 159 | imp 445 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
161 | 73 | nn0red 11352 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
162 | 161 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
163 | | 1red 10055 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
164 | 162, 163 | readdcld 10069 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
165 | 129, 135 | sylbi 207 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
166 | 165 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
167 | | breq1 4656 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
168 | 167 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
169 | 166, 168 | mpbird 247 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
170 | 160, 164,
169 | ltnsymd 10186 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
171 | 170 | pm2.21d 118 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
172 | 171 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
173 | 172 | imp 445 |
. . . . . . . . . . . 12
|
174 | | simp-4r 807 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
175 | 174 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
176 | 175 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
177 | 176 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
178 | 174 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
179 | 178 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
180 | 179 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
181 | 177, 180 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . . . . . 12
|
182 | 173, 181 | ifeqda 4121 |
. . . . . . . . . . 11
|
183 | 155, 182 | ifeqda 4121 |
. . . . . . . . . 10
|
184 | 128, 183 | ifeqda 4121 |
. . . . . . . . 9
|
185 | | ovexd 6680 |
. . . . . . . . 9
|
186 | 112, 184,
106, 185 | fvmptd 6288 |
. . . . . . . 8
|
187 | 186 | oveq2d 6666 |
. . . . . . 7
|
188 | 187 | mpteq2dva 4744 |
. . . . . 6
|
189 | 188 | oveq2d 6666 |
. . . . 5
g
g
|
190 | 25 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
|
191 | | nn0p1gt0 11322 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
192 | | 0red 10041 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
193 | | ltne 10134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
194 | 192, 193 | sylan 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
195 | | neeq1 2856 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
196 | 194, 195 | syl5ibrcom 237 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
197 | 191, 196 | mpdan 702 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
198 | 32, 197 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
199 | 198 | ad2antrl 764 |
. . . . . . . . . . . 12
|
200 | 199 | imp 445 |
. . . . . . . . . . 11
|
201 | | eqneqall 2805 |
. . . . . . . . . . 11
|
202 | 200, 201 | mpan9 486 |
. . . . . . . . . 10
|
203 | | iftrue 4092 |
. . . . . . . . . . 11
|
204 | 203 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . 10
|
205 | 202, 204 | ifeqda 4121 |
. . . . . . . . 9
|
206 | 73, 33 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
|
207 | | fvexd 6203 |
. . . . . . . . 9
|
208 | 190, 205,
206, 207 | fvmptd 6288 |
. . . . . . . 8
|
209 | 208 | oveq2d 6666 |
. . . . . . 7
|
210 | 24, 20, 21, 7, 8 | mat2pmatbas 20531 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
211 | 4, 210 | syl3an2 1360 |
. . . . . . . . . . . 12
|
212 | | eqid 2622 |
. . . . . . . . . . . . . 14
mulGrp mulGrp |
213 | 212, 1 | mgpbas 18495 |
. . . . . . . . . . . . 13
mulGrp |
214 | | eqid 2622 |
. . . . . . . . . . . . 13
mulGrp mulGrp |
215 | 213, 214,
26 | mulg0 17546 |
. . . . . . . . . . . 12
mulGrp |
216 | 211, 215 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
mulGrp |
217 | | eqid 2622 |
. . . . . . . . . . . 12
|
218 | 212, 217 | ringidval 18503 |
. . . . . . . . . . 11
mulGrp |
219 | 216, 218 | syl6eqr 2674 |
. . . . . . . . . 10
|
220 | 219 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
|
221 | 220 | oveq1d 6665 |
. . . . . . . 8
|
222 | 52 | 3adant3 1081 |
. . . . . . . . . 10
|
223 | 222 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
|
224 | 20, 21, 7, 8, 22, 23, 2, 24, 25 | chfacfisf 20659 |
. . . . . . . . . . 11
|
225 | 4, 224 | syl3anl2 1375 |
. . . . . . . . . 10
|
226 | 225, 79 | ffvelrnd 6360 |
. . . . . . . . 9
|
227 | 1, 22, 217 | ringlidm 18571 |
. . . . . . . . 9
|
228 | 223, 226,
227 | syl2anc 693 |
. . . . . . . 8
|
229 | | iftrue 4092 |
. . . . . . . . . 10
|
230 | 229 | adantl 482 |
. . . . . . . . 9
|
231 | | ovexd 6680 |
. . . . . . . . 9
|
232 | 190, 230,
79, 231 | fvmptd 6288 |
. . . . . . . 8
|
233 | 221, 228,
232 | 3eqtrd 2660 |
. . . . . . 7
|
234 | 209, 233 | oveq12d 6668 |
. . . . . 6
|
235 | 1, 3 | cmncom 18209 |
. . . . . . 7
CMnd
|
236 | 13, 81, 94, 235 | syl3anc 1326 |
. . . . . 6
|
237 | | ringgrp 18552 |
. . . . . . . . 9
|
238 | 10, 237 | syl 17 |
. . . . . . . 8
|
239 | 238 | adantr 481 |
. . . . . . 7
|
240 | 209, 94 | eqeltrrd 2702 |
. . . . . . 7
|
241 | 10 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
|
242 | 211 | adantr 481 |
. . . . . . . 8
|
243 | | simpl1 1064 |
. . . . . . . . 9
|
244 | 4 | 3ad2ant2 1083 |
. . . . . . . . . 10
|
245 | 244 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
|
246 | | elmapi 7879 |
. . . . . . . . . . . 12
|
247 | 246 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . 11
|
248 | 247 | adantl 482 |
. . . . . . . . . 10
|
249 | | 0elfz 12436 |
. . . . . . . . . . . 12
|
250 | 32, 249 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
|
251 | 250 | ad2antrl 764 |
. . . . . . . . . 10
|
252 | 248, 251 | ffvelrnd 6360 |
. . . . . . . . 9
|
253 | 24, 20, 21, 7, 8 | mat2pmatbas 20531 |
. . . . . . . . 9
|
254 | 243, 245,
252, 253 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . 8
|
255 | 1, 22 | ringcl 18561 |
. . . . . . . 8
|
256 | 241, 242,
254, 255 | syl3anc 1326 |
. . . . . . 7
|
257 | 1, 2, 23, 3 | grpsubadd0sub 17502 |
. . . . . . 7
|
258 | 239, 240,
256, 257 | syl3anc 1326 |
. . . . . 6
|
259 | 234, 236,
258 | 3eqtr4d 2666 |
. . . . 5
|
260 | 189, 259 | oveq12d 6668 |
. . . 4
g
g
|
261 | 111, 260 | eqtrd 2656 |
. . 3
g
g
|
262 | 74, 100, 261 | 3eqtrd 2660 |
. 2
g
g
|
263 | 38, 72, 262 | 3eqtrd 2660 |
1
g
g
|