Theorem chpmat1dlem 20640

Description: Lemma for chpmat1d 20641. (Contributed by AV, 7-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chpmat1d.c	|- C = ( N CharPlyMat R )
chpmat1d.p	|- P = (Poly1 ` R )
chpmat1d.a	|- A = ( N Mat R )
chpmat1d.b	|- B = ( Base ` A )
chpmat1d.x	|- X = (var1 ` R )
chpmat1d.z	|- .- = ( -g ` P )
chpmat1d.s	|- S = (algSc ` P )
chpmat1dlem.g	|- G = ( N Mat P )
chpmat1dlem.x	|- T = ( N matToPolyMat R )

Assertion

Ref	Expression
chpmat1dlem	|- ( ( R e. Ring /\ ( N = { I } /\ I e. V ) /\ M e. B ) -> ( I ( ( X ( .s ` G ) ( 1r ` G ) ) ( -g ` G ) ( T ` M ) ) I ) = ( X .- ( S ` ( I M I ) ) ) )

Proof of Theorem chpmat1dlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chpmat1d.p	. . . . 5 |- P = (Poly1 ` R )
2	1	ply1ring 19618	. . . 4 |- ( R e. Ring -> P e. Ring )
3	2	3ad2ant1 1082	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( N = { I } /\ I e. V ) /\ M e. B ) -> P e. Ring )
4		snfi 8038	. . . . . . . . . . 11 |- { I } e. Fin
5		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( N = { I } -> ( N e. Fin <-> { I } e. Fin ) )
6	4, 5	mpbiri 248	. . . . . . . . . 10 |- ( N = { I } -> N e. Fin )
7	6	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( N = { I } /\ I e. V ) -> N e. Fin )
8	2, 7	anim12i 590	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( N = { I } /\ I e. V ) ) -> ( P e. Ring /\ N e. Fin ) )
9	8	3adant3 1081	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( N = { I } /\ I e. V ) /\ M e. B ) -> ( P e. Ring /\ N e. Fin ) )
10	9	ancomd 467	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( N = { I } /\ I e. V ) /\ M e. B ) -> ( N e. Fin /\ P e. Ring ) )
11		chpmat1dlem.g	. . . . . . 7 |- G = ( N Mat P )
12	11	matlmod 20235	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ P e. Ring ) -> G e. LMod )
13	10, 12	syl 17	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( N = { I } /\ I e. V ) /\ M e. B ) -> G e. LMod )
14		chpmat1d.x	. . . . . . . 8 |- X = (var1 ` R )
15		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- (Poly1 ` R ) = (Poly1 ` R )
16		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( Base ` (Poly1 ` R ) ) = ( Base ` (Poly1 ` R ) )
17	14, 15, 16	vr1cl 19587	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> X e. ( Base ` (Poly1 ` R ) ) )
18	17	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( N = { I } /\ I e. V ) /\ M e. B ) -> X e. ( Base ` (Poly1 ` R ) ) )
19	7	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ ( N = { I } /\ I e. V ) /\ M e. B ) -> N e. Fin )
20		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- (Poly1 ` R ) e. _V
21	1	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11 |- ( N Mat P ) = ( N Mat (Poly1 ` R ) )
22	11, 21	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 |- G = ( N Mat (Poly1 ` R ) )
23	22	matsca2 20226	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ (Poly1 ` R ) e. _V ) -> (Poly1 ` R ) = (Scalar ` G ) )
24	19, 20, 23	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( N = { I } /\ I e. V ) /\ M e. B ) -> (Poly1 ` R ) = (Scalar ` G ) )
25	24	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( N = { I } /\ I e. V ) /\ M e. B ) -> (Scalar ` G ) = (Poly1 ` R ) )
26	25	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( N = { I } /\ I e. V ) /\ M e. B ) -> ( Base ` (Scalar ` G ) ) = ( Base ` (Poly1 ` R ) ) )
27	18, 26	eleqtrrd 2704	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( N = { I } /\ I e. V ) /\ M e. B ) -> X e. ( Base ` (Scalar ` G ) ) )
28	11	matring 20249	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ P e. Ring ) -> G e. Ring )
29	10, 28	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( N = { I } /\ I e. V ) /\ M e. B ) -> G e. Ring )
30		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
31		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( 1r ` G ) = ( 1r ` G )
32	30, 31	ringidcl 18568	. . . . . 6 |- ( G e. Ring -> ( 1r ` G ) e. ( Base ` G ) )
33	29, 32	syl 17	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( N = { I } /\ I e. V ) /\ M e. B ) -> ( 1r ` G ) e. ( Base ` G ) )
34	13, 27, 33	3jca 1242	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( N = { I } /\ I e. V ) /\ M e. B ) -> ( G e. LMod /\ X e. ( Base ` (Scalar ` G ) ) /\ ( 1r ` G ) e. ( Base ` G ) ) )
35		eqid 2622	. . . . 5 |- (Scalar ` G ) = (Scalar ` G )
36		eqid 2622	. . . . 5 |- ( .s ` G ) = ( .s ` G )
37		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` (Scalar ` G ) ) = ( Base ` (Scalar ` G ) )
38	30, 35, 36, 37	lmodvscl 18880	. . . 4 |- ( ( G e. LMod /\ X e. ( Base ` (Scalar ` G ) ) /\ ( 1r ` G ) e. ( Base ` G ) ) -> ( X ( .s ` G ) ( 1r ` G ) ) e. ( Base ` G ) )
39	34, 38	syl 17	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( N = { I } /\ I e. V ) /\ M e. B ) -> ( X ( .s ` G ) ( 1r ` G ) ) e. ( Base ` G ) )
40		simp1 1061	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( N = { I } /\ I e. V ) /\ M e. B ) -> R e. Ring )
41		simp3 1063	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( N = { I } /\ I e. V ) /\ M e. B ) -> M e. B )
42	19, 40, 41	3jca 1242	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( N = { I } /\ I e. V ) /\ M e. B ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) )
43		chpmat1dlem.x	. . . . 5 |- T = ( N matToPolyMat R )
44		chpmat1d.a	. . . . 5 |- A = ( N Mat R )
45		chpmat1d.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` A )
46	43, 44, 45, 1, 11	mat2pmatbas 20531	. . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> ( T ` M ) e. ( Base ` G ) )
47	42, 46	syl 17	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( N = { I } /\ I e. V ) /\ M e. B ) -> ( T ` M ) e. ( Base ` G ) )
48		snidg 4206	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> I e. { I } )
49	48	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( N = { I } /\ I e. V ) -> I e. { I } )
50		eleq2 2690	. . . . . . 7 |- ( N = { I } -> ( I e. N <-> I e. { I } ) )
51	50	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( N = { I } /\ I e. V ) -> ( I e. N <-> I e. { I } ) )
52	49, 51	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( N = { I } /\ I e. V ) -> I e. N )
53		id 22	. . . . 5 |- ( I e. N -> I e. N )
54	52, 53	jccir 562	. . . 4 |- ( ( N = { I } /\ I e. V ) -> ( I e. N /\ I e. N ) )
55	54	3ad2ant2 1083	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( N = { I } /\ I e. V ) /\ M e. B ) -> ( I e. N /\ I e. N ) )
56		eqid 2622	. . . 4 |- ( -g ` G ) = ( -g ` G )
57		chpmat1d.z	. . . 4 |- .- = ( -g ` P )
58	11, 30, 56, 57	matsubgcell 20240	. . 3 |- ( ( P e. Ring /\ ( ( X ( .s ` G ) ( 1r ` G ) ) e. ( Base ` G ) /\ ( T ` M ) e. ( Base ` G ) ) /\ ( I e. N /\ I e. N ) ) -> ( I ( ( X ( .s ` G ) ( 1r ` G ) ) ( -g ` G ) ( T ` M ) ) I ) = ( ( I ( X ( .s ` G ) ( 1r ` G ) ) I ) .- ( I ( T ` M ) I ) ) )
59	3, 39, 47, 55, 58	syl121anc 1331	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ ( N = { I } /\ I e. V ) /\ M e. B ) -> ( I ( ( X ( .s ` G ) ( 1r ` G ) ) ( -g ` G ) ( T ` M ) ) I ) = ( ( I ( X ( .s ` G ) ( 1r ` G ) ) I ) .- ( I ( T ` M ) I ) ) )
60		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Base ` P ) = ( Base ` P )
61	14, 1, 60	vr1cl 19587	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> X e. ( Base ` P ) )
62	61	3ad2ant1 1082	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( N = { I } /\ I e. V ) /\ M e. B ) -> X e. ( Base ` P ) )
63		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( .r ` P ) = ( .r ` P )
64	11, 30, 60, 36, 63	matvscacell 20242	. . . . 5 |- ( ( P e. Ring /\ ( X e. ( Base ` P ) /\ ( 1r ` G ) e. ( Base ` G ) ) /\ ( I e. N /\ I e. N ) ) -> ( I ( X ( .s ` G ) ( 1r ` G ) ) I ) = ( X ( .r ` P ) ( I ( 1r ` G ) I ) ) )
65	3, 62, 33, 55, 64	syl121anc 1331	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( N = { I } /\ I e. V ) /\ M e. B ) -> ( I ( X ( .s ` G ) ( 1r ` G ) ) I ) = ( X ( .r ` P ) ( I ( 1r ` G ) I ) ) )
66		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( 1r ` P ) = ( 1r ` P )
67		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( 0g ` P ) = ( 0g ` P )
68	52	3ad2ant2 1083	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( N = { I } /\ I e. V ) /\ M e. B ) -> I e. N )
69	11, 66, 67, 19, 3, 68, 68, 31	mat1ov 20254	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( N = { I } /\ I e. V ) /\ M e. B ) -> ( I ( 1r ` G ) I ) = if ( I = I , ( 1r ` P ) , ( 0g ` P ) ) )
70		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( N = { I } /\ I e. V ) /\ M e. B ) -> I = I )
71	70	iftrued 4094	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( N = { I } /\ I e. V ) /\ M e. B ) -> if ( I = I , ( 1r ` P ) , ( 0g ` P ) ) = ( 1r ` P ) )
72	69, 71	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( N = { I } /\ I e. V ) /\ M e. B ) -> ( I ( 1r ` G ) I ) = ( 1r ` P ) )
73	72	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( N = { I } /\ I e. V ) /\ M e. B ) -> ( X ( .r ` P ) ( I ( 1r ` G ) I ) ) = ( X ( .r ` P ) ( 1r ` P ) ) )
74	60, 63, 66	ringridm 18572	. . . . 5 |- ( ( P e. Ring /\ X e. ( Base ` P ) ) -> ( X ( .r ` P ) ( 1r ` P ) ) = X )
75	3, 62, 74	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( N = { I } /\ I e. V ) /\ M e. B ) -> ( X ( .r ` P ) ( 1r ` P ) ) = X )
76	65, 73, 75	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( N = { I } /\ I e. V ) /\ M e. B ) -> ( I ( X ( .s ` G ) ( 1r ` G ) ) I ) = X )
77		chpmat1d.s	. . . . 5 |- S = (algSc ` P )
78	43, 44, 45, 1, 77	mat2pmatvalel 20530	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( I e. N /\ I e. N ) ) -> ( I ( T ` M ) I ) = ( S ` ( I M I ) ) )
79	42, 55, 78	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( N = { I } /\ I e. V ) /\ M e. B ) -> ( I ( T ` M ) I ) = ( S ` ( I M I ) ) )
80	76, 79	oveq12d 6668	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ ( N = { I } /\ I e. V ) /\ M e. B ) -> ( ( I ( X ( .s ` G ) ( 1r ` G ) ) I ) .- ( I ( T ` M ) I ) ) = ( X .- ( S ` ( I M I ) ) ) )
81	59, 80	eqtrd 2656	1 |- ( ( R e. Ring /\ ( N = { I } /\ I e. V ) /\ M e. B ) -> ( I ( ( X ( .s ` G ) ( 1r ` G ) ) ( -g ` G ) ( T ` M ) ) I ) = ( X .- ( S ` ( I M I ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   ifcif 4086   {csn 4177   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   Basecbs 15857   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   -gcsg 17424   1rcur 18501   Ringcrg 18547   LModclmod 18863  algSccascl 19311  var₁cv1 19546  Poly₁cpl1 19547   Mat cmat 20213   matToPolyMat cmat2pmat 20509   CharPlyMat cchpmat 20631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mamu 20190  df-mat 20214  df-mat2pmat 20512

This theorem is referenced by:  chpmat1d  20641