Theorem cncfcnvcn 22724

Description: Rewrite cmphaushmeo 21603 for functions on the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfcnvcn.j	|- J = ( TopOpen ` ℂfld )
cncfcnvcn.k	|- K = ( J ↾t X )

Assertion

Ref	Expression
cncfcnvcn	|- ( ( K e. Comp /\ F e. ( X -cn-> Y ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y <-> `' F e. ( Y -cn-> X ) ) )

Proof of Theorem cncfcnvcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . 4 |- ( ( K e. Comp /\ F e. ( X -cn-> Y ) ) -> F e. ( X -cn-> Y ) )
2		cncfrss 22694	. . . . . 6 |- ( F e. ( X -cn-> Y ) -> X C_ CC )
3	2	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( K e. Comp /\ F e. ( X -cn-> Y ) ) -> X C_ CC )
4		cncfrss2 22695	. . . . . 6 |- ( F e. ( X -cn-> Y ) -> Y C_ CC )
5	4	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( K e. Comp /\ F e. ( X -cn-> Y ) ) -> Y C_ CC )
6		cncfcnvcn.j	. . . . . 6 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
7		cncfcnvcn.k	. . . . . 6 |- K = ( J ↾t X )
8		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( J ↾t Y ) = ( J ↾t Y )
9	6, 7, 8	cncfcn 22712	. . . . 5 |- ( ( X C_ CC /\ Y C_ CC ) -> ( X -cn-> Y ) = ( K Cn ( J ↾t Y ) ) )
10	3, 5, 9	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( K e. Comp /\ F e. ( X -cn-> Y ) ) -> ( X -cn-> Y ) = ( K Cn ( J ↾t Y ) ) )
11	1, 10	eleqtrd 2703	. . 3 |- ( ( K e. Comp /\ F e. ( X -cn-> Y ) ) -> F e. ( K Cn ( J ↾t Y ) ) )
12		ishmeo 21562	. . . 4 |- ( F e. ( K Homeo ( J ↾t Y ) ) <-> ( F e. ( K Cn ( J ↾t Y ) ) /\ `' F e. ( ( J ↾t Y ) Cn K ) ) )
13	12	baib 944	. . 3 |- ( F e. ( K Cn ( J ↾t Y ) ) -> ( F e. ( K Homeo ( J ↾t Y ) ) <-> `' F e. ( ( J ↾t Y ) Cn K ) ) )
14	11, 13	syl 17	. 2 |- ( ( K e. Comp /\ F e. ( X -cn-> Y ) ) -> ( F e. ( K Homeo ( J ↾t Y ) ) <-> `' F e. ( ( J ↾t Y ) Cn K ) ) )
15	6	cnfldtop 22587	. . . . . 6 |- J e. Top
16	6	cnfldtopon 22586	. . . . . . . 8 |- J e. (TopOn ` CC )
17	16	toponunii 20721	. . . . . . 7 |- CC = U. J
18	17	restuni 20966	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ X C_ CC ) -> X = U. ( J ↾t X ) )
19	15, 3, 18	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ( K e. Comp /\ F e. ( X -cn-> Y ) ) -> X = U. ( J ↾t X ) )
20	7	unieqi 4445	. . . . 5 |- U. K = U. ( J ↾t X )
21	19, 20	syl6eqr 2674	. . . 4 |- ( ( K e. Comp /\ F e. ( X -cn-> Y ) ) -> X = U. K )
22		f1oeq2 6128	. . . 4 |- ( X = U. K -> ( F : X -1-1-onto-> U. ( J ↾t Y ) <-> F : U. K -1-1-onto-> U. ( J ↾t Y ) ) )
23	21, 22	syl 17	. . 3 |- ( ( K e. Comp /\ F e. ( X -cn-> Y ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> U. ( J ↾t Y ) <-> F : U. K -1-1-onto-> U. ( J ↾t Y ) ) )
24	17	restuni 20966	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ CC ) -> Y = U. ( J ↾t Y ) )
25	15, 5, 24	sylancr 695	. . . 4 |- ( ( K e. Comp /\ F e. ( X -cn-> Y ) ) -> Y = U. ( J ↾t Y ) )
26		f1oeq3 6129	. . . 4 |- ( Y = U. ( J ↾t Y ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y <-> F : X -1-1-onto-> U. ( J ↾t Y ) ) )
27	25, 26	syl 17	. . 3 |- ( ( K e. Comp /\ F e. ( X -cn-> Y ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y <-> F : X -1-1-onto-> U. ( J ↾t Y ) ) )
28		simpl 473	. . . 4 |- ( ( K e. Comp /\ F e. ( X -cn-> Y ) ) -> K e. Comp )
29	6	cnfldhaus 22588	. . . . 5 |- J e. Haus
30		cnex 10017	. . . . . . 7 |- CC e. _V
31	30	ssex 4802	. . . . . 6 |- ( Y C_ CC -> Y e. _V )
32	5, 31	syl 17	. . . . 5 |- ( ( K e. Comp /\ F e. ( X -cn-> Y ) ) -> Y e. _V )
33		resthaus 21172	. . . . 5 |- ( ( J e. Haus /\ Y e. _V ) -> ( J ↾t Y ) e. Haus )
34	29, 32, 33	sylancr 695	. . . 4 |- ( ( K e. Comp /\ F e. ( X -cn-> Y ) ) -> ( J ↾t Y ) e. Haus )
35		eqid 2622	. . . . 5 |- U. K = U. K
36		eqid 2622	. . . . 5 |- U. ( J ↾t Y ) = U. ( J ↾t Y )
37	35, 36	cmphaushmeo 21603	. . . 4 |- ( ( K e. Comp /\ ( J ↾t Y ) e. Haus /\ F e. ( K Cn ( J ↾t Y ) ) ) -> ( F e. ( K Homeo ( J ↾t Y ) ) <-> F : U. K -1-1-onto-> U. ( J ↾t Y ) ) )
38	28, 34, 11, 37	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( K e. Comp /\ F e. ( X -cn-> Y ) ) -> ( F e. ( K Homeo ( J ↾t Y ) ) <-> F : U. K -1-1-onto-> U. ( J ↾t Y ) ) )
39	23, 27, 38	3bitr4d 300	. 2 |- ( ( K e. Comp /\ F e. ( X -cn-> Y ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y <-> F e. ( K Homeo ( J ↾t Y ) ) ) )
40	6, 8, 7	cncfcn 22712	. . . 4 |- ( ( Y C_ CC /\ X C_ CC ) -> ( Y -cn-> X ) = ( ( J ↾t Y ) Cn K ) )
41	5, 3, 40	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( K e. Comp /\ F e. ( X -cn-> Y ) ) -> ( Y -cn-> X ) = ( ( J ↾t Y ) Cn K ) )
42	41	eleq2d 2687	. 2 |- ( ( K e. Comp /\ F e. ( X -cn-> Y ) ) -> ( `' F e. ( Y -cn-> X ) <-> `' F e. ( ( J ↾t Y ) Cn K ) ) )
43	14, 39, 42	3bitr4d 300	1 |- ( ( K e. Comp /\ F e. ( X -cn-> Y ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y <-> `' F e. ( Y -cn-> X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   U.cuni 4436   `'ccnv 5113   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746   Topctop 20698   Cn ccn 21028   Hauscha 21112   Compccmp 21189   Homeochmeo 21556   -cn->ccncf 22679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-cls 20825  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-cncf 22681

This theorem is referenced by:  dvcnvrelem2  23781