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Theorem cofucl 16548

Description: The composition of two functors is a functor. Proposition 3.23 of [Adamek] p. 33. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cofucl.f
cofucl.g

**Assertion**
Ref	Expression
cofucl	_func

Proof of Theorem cofucl Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . 4
2		cofucl.f	. . . 4
3		cofucl.g	. . . 4
4	1, 2, 3	cofuval 16542	. . 3 _func
5	1, 2, 3	cofu1st 16543	. . . 4 _func
6	4	fveq2d 6195	. . . . 5 _func
7		fvex 6201	. . . . . . 7
8		fvex 6201	. . . . . . 7
9	7, 8	coex 7118	. . . . . 6
10		fvex 6201	. . . . . . 7
11	10, 10	mpt2ex 7247	. . . . . 6
12	9, 11	op2nd 7177	. . . . 5
13	6, 12	syl6eq 2672	. . . 4 _func
14	5, 13	opeq12d 4410	. . 3 _func _func
15	4, 14	eqtr4d 2659	. 2 _func _func _func
16		eqid 2622	. . . . . . 7
17		eqid 2622	. . . . . . 7
18		relfunc 16522	. . . . . . . 8
19		1st2ndbr 7217	. . . . . . . 8 $/\$
20	18, 3, 19	sylancr 695	. . . . . . 7
21	16, 17, 20	funcf1 16526	. . . . . 6
22		relfunc 16522	. . . . . . . 8
23		1st2ndbr 7217	. . . . . . . 8 $/\$
24	22, 2, 23	sylancr 695	. . . . . . 7
25	1, 16, 24	funcf1 16526	. . . . . 6
26		fco 6058	. . . . . 6 $/\$
27	21, 25, 26	syl2anc 693	. . . . 5
28	5	feq1d 6030	. . . . 5 _func
29	27, 28	mpbird 247	. . . 4 _func
30		eqid 2622	. . . . . . 7
31		ovex 6678	. . . . . . . 8
32		ovex 6678	. . . . . . . 8
33	31, 32	coex 7118	. . . . . . 7
34	30, 33	fnmpt2i 7239	. . . . . 6
35	13	fneq1d 5981	. . . . . 6 _func
36	34, 35	mpbiri 248	. . . . 5 _func
37		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11
38		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11
39	20	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
40	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
41		simprl 794	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
42	40, 41	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
43		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
44	40, 43	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
45	16, 37, 38, 39, 42, 44	funcf2 16528	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
46		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11
47	24	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
48	1, 46, 37, 47, 41, 43	funcf2 16528	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
49		fco 6058	. . . . . . . . . 10 $/\$
50	45, 48, 49	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
51		ovex 6678	. . . . . . . . . 10
52		ovex 6678	. . . . . . . . . 10
53	51, 52	elmap 7886	. . . . . . . . 9
54	50, 53	sylibr 224	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
55	2	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
56	3	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
57	1, 55, 56, 41, 43	cofu2nd 16545	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ _func
58	1, 55, 56, 41	cofu1 16544	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ _func
59	1, 55, 56, 43	cofu1 16544	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ _func
60	58, 59	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ _func _func
61	60	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ _func _func
62	54, 57, 61	3eltr4d 2716	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ _func _func _func
63	62	ralrimivva 2971	. . . . . 6 _func _func _func
64		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 _func _func
65		df-ov 6653	. . . . . . . . 9 _func _func
66	64, 65	syl6eqr 2674	. . . . . . . 8 _func _func
67		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12
68		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12
69	67, 68	op1std 7178	. . . . . . . . . . 11
70	69	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 _func _func
71	67, 68	op2ndd 7179	. . . . . . . . . . 11
72	71	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 _func _func
73	70, 72	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 _func _func _func _func
74		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10
75		df-ov 6653	. . . . . . . . . 10
76	74, 75	syl6eqr 2674	. . . . . . . . 9
77	73, 76	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 _func _func _func _func
78	66, 77	eleq12d 2695	. . . . . . 7 _func _func _func _func _func _func
79	78	ralxp 5263	. . . . . 6 _func _func _func _func _func _func
80	63, 79	sylibr 224	. . . . 5 _func _func _func
81		fvex 6201	. . . . . 6 _func
82	81	elixp 7915	. . . . 5 _func _func _func _func $/\$ _func _func _func
83	36, 80, 82	sylanbrc 698	. . . 4 _func _func _func
84		eqid 2622	. . . . . . . . . 10
85		eqid 2622	. . . . . . . . . 10
86	24	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$
87		simpr 477	. . . . . . . . . 10 $/\$
88	1, 84, 85, 86, 87	funcid 16530	. . . . . . . . 9 $/\$
89	88	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 $/\$
90		eqid 2622	. . . . . . . . 9
91	20	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
92	25	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 $/\$
93	16, 85, 90, 91, 92	funcid 16530	. . . . . . . 8 $/\$
94	89, 93	eqtrd 2656	. . . . . . 7 $/\$
95	2	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$
96	3	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$
97		funcrcl 16523	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
98	2, 97	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $/\$
99	98	simpld 475	. . . . . . . . . 10
100	99	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
101	1, 46, 84, 100, 87	catidcl 16343	. . . . . . . 8 $/\$
102	1, 95, 96, 87, 87, 46, 101	cofu2 16546	. . . . . . 7 $/\$ _func
103	1, 95, 96, 87	cofu1 16544	. . . . . . . 8 $/\$ _func
104	103	fveq2d 6195	. . . . . . 7 $/\$ _func
105	94, 102, 104	3eqtr4d 2666	. . . . . 6 $/\$ _func _func
106	86	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	1, 46, 37, 106, 107, 108	funcf2 16528	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 comp comp
111	100	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112		simprll 802	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	1, 46, 110, 111, 107, 112, 108, 113, 114	catcocl 16346	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp
116		fvco3 6275	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ comp comp comp
117	109, 115, 116	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp comp
118		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 comp comp
119	1, 46, 110, 118, 106, 107, 112, 108, 113, 114	funcco 16531	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp comp
120	119	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp comp
121		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 comp comp
122	91	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	92	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
125	124	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126	125, 112	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127	125, 108	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	1, 46, 37, 106, 107, 112	funcf2 16528	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	128, 113	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	1, 46, 37, 106, 112, 108	funcf2 16528	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	130, 114	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132	16, 37, 118, 121, 122, 123, 126, 127, 129, 131	funcco 16531	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp comp
133	117, 120, 132	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ comp comp
134	95	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	96	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136	1, 134, 135, 107, 108	cofu2nd 16545	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
137	136	fveq1d 6193	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func comp comp
138	103	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
139	1, 134, 135, 112	cofu1 16544	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
140	138, 139	opeq12d 4410	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func _func
141	1, 134, 135, 108	cofu1 16544	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
142	140, 141	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func _func comp _func comp
143	1, 134, 135, 112, 108, 46, 114	cofu2 16546	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
144	1, 134, 135, 107, 112, 46, 113	cofu2 16546	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func
145	142, 143, 144	oveq123d 6671	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func _func _func comp _func _func comp
146	133, 137, 145	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
147	146	anassrs 680	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
148	147	ralrimivva 2971	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
149	148	ralrimivva 2971	. . . . . 6 $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
150	105, 149	jca 554	. . . . 5 $/\$ _func _func $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
151	150	ralrimiva 2966	. . . 4 _func _func $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
152		funcrcl 16523	. . . . . . 7 $/\$
153	3, 152	syl 17	. . . . . 6 $/\$
154	153	simprd 479	. . . . 5
155	1, 17, 46, 38, 84, 90, 110, 121, 99, 154	isfunc 16524	. . . 4 _func _func _func $/\$ _func _func _func $/\$ _func _func $/\$ _func comp _func _func _func comp _func _func
156	29, 83, 151, 155	mpbir3and 1245	. . 3 _func _func
157		df-br 4654	. . 3 _func _func _func _func
158	156, 157	sylib 208	. 2 _func _func
159	15, 158	eqeltrd 2701	1 _func

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wral 2912

cop 4183 class class class wbr 4653

cxp 5112

ccom 5118

wrel 5119

wfn 5883

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cmpt2 6652

c1st 7166

c2nd 7167

cmap 7857

cixp 7908

cbs 15857

chom 15952 compcco 15953

ccat 16325

ccid 16326

cfunc 16514

_func ccofu 16516

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-id 5024 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-map 7859 df-ixp 7909 df-cat 16329 df-cid 16330 df-func 16518 df-cofu 16520

This theorem is referenced by: cofuass 16549 cofull 16594 cofth 16595 catccatid 16752 1st2ndprf 16846 uncfcl 16875 uncf1 16876 uncf2 16877 yonedalem1 16912 yonedalem21 16913 yonedalem22 16918 funcrngcsetcALT 41999

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