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Theorem brbtwn2 25785

Description: Alternate characterization of betweenness, with no existential quantifiers. (Contributed by Scott Fenton, 24-Jun-2013.)

**Assertion**
Ref	Expression
brbtwn2	$/\$ $/\$ $/\$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem brbtwn2 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brbtwn 25779	. 2 $/\$ $/\$
2		fveere 25781	. . . . . . . . . 10 $/\$
3	2	3ad2antl2 1224	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
4		fveere 25781	. . . . . . . . . 10 $/\$
5	4	3ad2antl3 1225	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
6	3, 5	jca 554	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
8	7	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
9	8	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
10	9	sqvald 13005	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
11	10	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
12		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . 16
13		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . 16
14	12, 13	elicc2i 12239	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
15	14	simp1bi 1076	. . . . . . . . . . . . . 14
16	15	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13
17	16	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
18		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
19	13, 15, 18	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15
20	19	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
21	20	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
22	21	negcld 10379	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
23	17, 9, 22, 9	mul4d 10248	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
24		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . . 15
25	24	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
26		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . . 15
27	26	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
28	17, 25, 27	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
29		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
30		subdir 10464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
31	29, 30	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
32	21, 25, 31	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
33		nncan 10310	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
34	29, 17, 33	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
35	34	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
36	25	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
37	36	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
38	32, 35, 37	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
39	38	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
40		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
41	20, 40	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
42	41	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
43	15	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
44		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
45	43, 44	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
46	45	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
47	25, 42, 46	subsub4d 10423	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
48	28, 39, 47	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
49	21, 9	mulneg1d 10483	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
50	21, 25, 27	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
51		subdir 10464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
52	29, 51	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
53	17, 27, 52	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
54	27	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
55	54	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
56	53, 55	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
57	56	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
58	42, 27, 46	subsub3d 10422	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
59	50, 57, 58	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
60	59	negeqd 10275	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
61	41, 45	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
62	61	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
63	62, 27	negsubdi2d 10408	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
64	49, 60, 63	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
65	48, 64	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
66	11, 23, 65	3eqtr2rd 2663	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
67	17, 21	mulneg2d 10484	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
68	67	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
69	43, 20	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
70	69	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
71	8	resqcld 13035	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
72	71	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
73	70, 72	mulneg1d 10483	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
74	68, 73	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
75	14	simp2bi 1077	. . . . . . . . . . . . . . 15
76	14	simp3bi 1078	. . . . . . . . . . . . . . . 16
77		subge0 10541	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
78	13, 15, 77	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	76, 78	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15
80	15, 19, 75, 79	mulge0d 10604	. . . . . . . . . . . . . 14
81	80	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
82	8	sqge0d 13036	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
83	69, 71, 81, 82	mulge0d 10604	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
84	69, 71	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
85	84	le0neg2d 10600	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
86	83, 85	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
87	74, 86	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
88	66, 87	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
89	88	3expa 1265	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
90	6, 89	sylan 488	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91	90	an32s 846	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	91	ralrimiva 2966	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
93		fveecn 25782	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
94		fveecn 25782	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
95	93, 94	anim12i 590	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	95	anandirs 874	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
97		fveecn 25782	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
98		fveecn 25782	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
99	97, 98	anim12i 590	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	99	anandirs 874	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
101	96, 100	anim12dan 882	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	101	3adantl1 1217	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
104	103	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
106	105	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
107	106	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	104, 107	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109		simp2r 1088	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110		simp2l 1087	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111		simp1l 1085	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112		simp1r 1086	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113		mulsub2 10474	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
114	109, 110, 111, 112, 113	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	108, 114	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	115	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117		simp3 1063	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
119	29, 118	mpan 706	. . . . . . . . . . . . 13
120	119	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	117, 120, 104, 107	mul4d 10248	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122	117, 111, 112	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	120, 111, 31	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124	29, 33	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
125	124	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126	125	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127	111	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	127	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	123, 126, 128	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	129	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	120, 111	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132	117, 112	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
133	111, 131, 132	subsub4d 10423	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
134	122, 130, 133	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	120, 109, 110	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136		subdir 10464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
137	29, 136	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
138	117, 109, 137	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	109	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	139	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	138, 140	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142	141	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143	135, 142	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144	117, 109	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
145	120, 110	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146	109, 144, 145	sub32d 10424	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
147	109, 145, 144	subsub4d 10423	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
148	143, 146, 147	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
149	134, 148	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
150	121, 149	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
151		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
152	151	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
153		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
154	153	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
155	154	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
156	117, 120, 152, 155	mul4d 10248	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
157	117, 110, 109	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
158		subdir 10464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
159	29, 158	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
160	120, 110, 159	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
161	125	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
162	110	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
163	162	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
164	160, 161, 163	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
165	164	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
166	110, 145, 144	subsub4d 10423	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
167	157, 165, 166	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
168	120, 112, 111	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
169	117, 112, 52	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
170	112	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
171	170	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
172	169, 171	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
173	172	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
174	112, 132, 131	sub32d 10424	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
175	112, 131, 132	subsub4d 10423	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
176	174, 175	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
177	168, 173, 176	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
178	167, 177	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
179	156, 178	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
180	116, 150, 179	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
181	180	3expa 1265	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
182	102, 16, 181	syl2an 494	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
183	182	an32s 846	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
184	183	ralrimivva 2971	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
185		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11
186		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13
187	186	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12
188		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13
189	188	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12
190	187, 189	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11
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381		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
382		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
383	381, 382	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
384	383	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16
385		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
386	385, 382	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
387	386	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16
388	384, 387	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . 15
389	380, 388	rspc2v 3322	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
390	374, 375, 389	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
391		simp11 1091	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
392	391, 375, 248	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
393		simp12 1092	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
394	393, 375, 250	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
395		simp13 1093	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
396	395, 375, 252	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
397	338	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
398	339	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
399	340	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
400		simp2r 1088	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
401	400	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
402		simpl23 1141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
403		simpl21 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
404	402, 403	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
405		simpl12 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
406	404, 405	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
407		simpl22 1140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
408	403, 407	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
409		simpl13 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
410	408, 409	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
411	402, 407	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
412		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
413	402, 407, 412	subne0d 10401	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
414	406, 410, 411, 413	divdird 10839	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
415		npncan2 10308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
416	407, 403, 415	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
417	416	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
418	407, 403	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
419	418, 408, 409	adddird 10065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
420	409	mul02d 10234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
421	417, 419, 420	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
422	421	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
423	418, 409	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
424		simpl11 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
425	411, 424	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
426	423, 410, 425	add32d 10263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
427	425	addid2d 10237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
428	422, 426, 427	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
429	404, 424	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
430	418, 424	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
431	423, 429, 430	addsubd 10413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
432	402, 407, 403	nnncan2d 10427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
433	432	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
434	404, 418, 424	subdird 10487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
435	433, 434	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
436	435	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
437	423, 429, 430	addsubassd 10412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
438	436, 437	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
439	418, 409, 424	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
440	439	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
441	431, 438, 440	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
442	441	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
443	428, 442	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
444		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
445	444	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
446	445	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
447	405, 424	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
448	447, 404	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
449	448	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
450	404, 447, 424	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
451	405, 424	npcand 10396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
452	451	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
453	449, 450, 452	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
454	453	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
455	443, 446, 454	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
456	406, 410	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
457	456, 411, 424, 413	divmuld 10823	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
458	455, 457	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
459	404, 405, 411, 413	div23d 10838	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
460	411, 408, 411, 413	divsubdird 10840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
461	402, 403, 407	nnncan2d 10427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
462	461	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
463	411, 413	dividd 10799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
464	463	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
465	460, 462, 464	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
466	465	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
467	459, 466	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
468	408, 409, 411, 413	div23d 10838	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
469	467, 468	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
470	414, 458, 469	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
471	470	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
472	392, 394, 396, 397, 398, 399, 401, 471	syl331anc 1351	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
473	390, 472	syld 47	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
474	473	3expia 1267	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
475	474	com23 86	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
476	475	ralrimdv 2968	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
477	373, 476	anim12d 586	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
478		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13
479	478	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12
480		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12
481	479, 480	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11
482	481	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . 10
483	482	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9
484	483	rspcev 3309	. . . . . . . 8 $/\$
485	477, 484	syl6 35	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
486	485	rexlimdvaa 3032	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
487	288, 486	sylbid 230	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
488	280, 487	pm2.61dne 2880	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$ $/\$
489	224, 488	sylbid 230	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
490	218, 489	impbid 202	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
491	1, 490	bitrd 268	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913

cop 4183 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cneg 10267

cdiv 10684

c2 11070

cicc 12178

cfz 12326

cexp 12860

cee 25768

cbtwn 25769

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-icc 12182 df-fz 12327 df-seq 12802 df-exp 12861 df-ee 25771 df-btwn 25772

This theorem is referenced by: colinearalg 25790

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