Theorem coprmproddvds 15377

Description: If a positive integer is divisible by each element of a set of pairwise coprime positive integers, then it is divisible by their product. (Contributed by AV, 19-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
coprmproddvds	|- ( ( ( M C_ NN /\ M e. Fin ) /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ ( A. m e. M A. n e. ( M \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. M ( F ` m ) || K ) ) -> prod_ m e. M ( F ` m ) || K )

Distinct variable groups:   m, F, n   m, K   m, M, n

Allowed substitution hint:   K( n)

Proof of Theorem coprmproddvds

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cleq1lem 13721	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( ( x C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) <-> ( (/) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) ) )
2		difeq1 3721	. . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( x \ { m } ) = ( (/) \ { m } ) )
3	2	raleqdv 3144	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( A. n e. ( x \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 <-> A. n e. ( (/) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) )
4	3	raleqbi1dv 3146	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( A. m e. x A. n e. ( x \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 <-> A. m e. (/) A. n e. ( (/) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) )
5		raleq 3138	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( A. m e. x ( F ` m ) || K <-> A. m e. (/) ( F ` m ) || K ) )
6	4, 5	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( ( A. m e. x A. n e. ( x \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. x ( F ` m ) || K ) <-> ( A. m e. (/) A. n e. ( (/) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. (/) ( F ` m ) || K ) ) )
7	1, 6	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( ( ( x C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. x A. n e. ( x \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. x ( F ` m ) || K ) ) <-> ( ( (/) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. (/) A. n e. ( (/) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. (/) ( F ` m ) || K ) ) ) )
8		prodeq1 14639	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> prod_ m e. x ( F ` m ) = prod_ m e. (/) ( F ` m ) )
9	8	breq1d 4663	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( prod_ m e. x ( F ` m ) || K <-> prod_ m e. (/) ( F ` m ) || K ) )
10	7, 9	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( ( ( x C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. x A. n e. ( x \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. x ( F ` m ) || K ) ) -> prod_ m e. x ( F ` m ) || K ) <-> ( ( ( (/) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. (/) A. n e. ( (/) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. (/) ( F ` m ) || K ) ) -> prod_ m e. (/) ( F ` m ) || K ) ) )
11		cleq1lem 13721	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( x C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) <-> ( y C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) ) )
12		difeq1 3721	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( x \ { m } ) = ( y \ { m } ) )
13	12	raleqdv 3144	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( A. n e. ( x \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 <-> A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) )
14	13	raleqbi1dv 3146	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( A. m e. x A. n e. ( x \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 <-> A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) )
15		raleq 3138	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( A. m e. x ( F ` m ) || K <-> A. m e. y ( F ` m ) || K ) )
16	14, 15	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( A. m e. x A. n e. ( x \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. x ( F ` m ) || K ) <-> ( A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. y ( F ` m ) || K ) ) )
17	11, 16	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( ( x C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. x A. n e. ( x \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. x ( F ` m ) || K ) ) <-> ( ( y C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. y ( F ` m ) || K ) ) ) )
18		prodeq1 14639	. . . . . . 7 |- ( x = y -> prod_ m e. x ( F ` m ) = prod_ m e. y ( F ` m ) )
19	18	breq1d 4663	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( prod_ m e. x ( F ` m ) || K <-> prod_ m e. y ( F ` m ) || K ) )
20	17, 19	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( ( ( x C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. x A. n e. ( x \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. x ( F ` m ) || K ) ) -> prod_ m e. x ( F ` m ) || K ) <-> ( ( ( y C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. y ( F ` m ) || K ) ) -> prod_ m e. y ( F ` m ) || K ) ) )
21		cleq1lem 13721	. . . . . . 7 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( x C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) <-> ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) ) )
22		difeq1 3721	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( x \ { m } ) = ( ( y u. { z } ) \ { m } ) )
23	22	raleqdv 3144	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( A. n e. ( x \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 <-> A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) )
24	23	raleqbi1dv 3146	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( A. m e. x A. n e. ( x \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 <-> A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) )
25		raleq 3138	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( A. m e. x ( F ` m ) || K <-> A. m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) || K ) )
26	24, 25	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( A. m e. x A. n e. ( x \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. x ( F ` m ) || K ) <-> ( A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) || K ) ) )
27	21, 26	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( ( x C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. x A. n e. ( x \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. x ( F ` m ) || K ) ) <-> ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) || K ) ) ) )
28		prodeq1 14639	. . . . . . 7 |- ( x = ( y u. { z } ) -> prod_ m e. x ( F ` m ) = prod_ m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) )
29	28	breq1d 4663	. . . . . 6 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( prod_ m e. x ( F ` m ) || K <-> prod_ m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) || K ) )
30	27, 29	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( ( ( x C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. x A. n e. ( x \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. x ( F ` m ) || K ) ) -> prod_ m e. x ( F ` m ) || K ) <-> ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) || K ) ) -> prod_ m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) || K ) ) )
31		cleq1lem 13721	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( ( x C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) <-> ( M C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) ) )
32		difeq1 3721	. . . . . . . . . 10 |- ( x = M -> ( x \ { m } ) = ( M \ { m } ) )
33	32	raleqdv 3144	. . . . . . . . 9 |- ( x = M -> ( A. n e. ( x \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 <-> A. n e. ( M \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) )
34	33	raleqbi1dv 3146	. . . . . . . 8 |- ( x = M -> ( A. m e. x A. n e. ( x \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 <-> A. m e. M A. n e. ( M \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) )
35		raleq 3138	. . . . . . . 8 |- ( x = M -> ( A. m e. x ( F ` m ) || K <-> A. m e. M ( F ` m ) || K ) )
36	34, 35	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( ( A. m e. x A. n e. ( x \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. x ( F ` m ) || K ) <-> ( A. m e. M A. n e. ( M \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. M ( F ` m ) || K ) ) )
37	31, 36	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( ( ( x C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. x A. n e. ( x \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. x ( F ` m ) || K ) ) <-> ( ( M C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. M A. n e. ( M \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. M ( F ` m ) || K ) ) ) )
38		prodeq1 14639	. . . . . . 7 |- ( x = M -> prod_ m e. x ( F ` m ) = prod_ m e. M ( F ` m ) )
39	38	breq1d 4663	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( prod_ m e. x ( F ` m ) || K <-> prod_ m e. M ( F ` m ) || K ) )
40	37, 39	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = M -> ( ( ( ( x C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. x A. n e. ( x \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. x ( F ` m ) || K ) ) -> prod_ m e. x ( F ` m ) || K ) <-> ( ( ( M C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. M A. n e. ( M \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. M ( F ` m ) || K ) ) -> prod_ m e. M ( F ` m ) || K ) ) )
41		prod0 14673	. . . . . . . 8 |- prod_ m e. (/) ( F ` m ) = 1
42		nnz 11399	. . . . . . . . 9 |- ( K e. NN -> K e. ZZ )
43		1dvds 14996	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ZZ -> 1 || K )
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( K e. NN -> 1 || K )
45	41, 44	syl5eqbr 4688	. . . . . . 7 |- ( K e. NN -> prod_ m e. (/) ( F ` m ) || K )
46	45	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) -> prod_ m e. (/) ( F ` m ) || K )
47	46	ad2antlr 763	. . . . 5 |- ( ( ( (/) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. (/) A. n e. ( (/) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. (/) ( F ` m ) || K ) ) -> prod_ m e. (/) ( F ` m ) || K )
48		coprmproddvdslem 15376	. . . . 5 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ( ( y C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. y ( F ` m ) || K ) ) -> prod_ m e. y ( F ` m ) || K ) -> ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) || K ) ) -> prod_ m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) || K ) ) )
49	10, 20, 30, 40, 47, 48	findcard2s 8201	. . . 4 |- ( M e. Fin -> ( ( ( M C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. M A. n e. ( M \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. M ( F ` m ) || K ) ) -> prod_ m e. M ( F ` m ) || K ) )
50	49	exp4c 636	. . 3 |- ( M e. Fin -> ( M C_ NN -> ( ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) -> ( ( A. m e. M A. n e. ( M \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. M ( F ` m ) || K ) -> prod_ m e. M ( F ` m ) || K ) ) ) )
51	50	impcom 446	. 2 |- ( ( M C_ NN /\ M e. Fin ) -> ( ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) -> ( ( A. m e. M A. n e. ( M \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. M ( F ` m ) || K ) -> prod_ m e. M ( F ` m ) || K ) ) )
52	51	3imp 1256	1 |- ( ( ( M C_ NN /\ M e. Fin ) /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ ( A. m e. M A. n e. ( M \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. M ( F ` m ) || K ) ) -> prod_ m e. M ( F ` m ) || K )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   1c1 9937   NNcn 11020   ZZcz 11377   prod_cprod 14635   || cdvds 14983   gcd cgcd 15216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636  df-dvds 14984  df-gcd 15217

This theorem is referenced by:  prmodvdslcmf  15751