Theorem coprmproddvdslem 15376

Description: Lemma for coprmproddvds 15377: Induction step. (Contributed by AV, 19-Aug-2020.)

Assertion

Ref

Expression

coprmproddvdslem

|- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ( ( y C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. y ( F ` m ) || K ) ) -> prod_ m e. y ( F ` m ) || K ) -> ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) || K ) ) -> prod_ m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) || K ) ) )

Distinct variable groups:   m, F, n   m, K, y, z   y, n, z

Allowed substitution hints:   F( y, z)   K( n)

Proof of Theorem coprmproddvdslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ m ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) )
2		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ m ( F ` z )
3		simpll 790	. . . . 5 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) ) -> y e. Fin )
4		unss 3787	. . . . . . . 8 |- ( ( y C_ NN /\ { z } C_ NN ) <-> ( y u. { z } ) C_ NN )
5		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
6	5	snss 4316	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. NN <-> { z } C_ NN )
7	6	biimpri 218	. . . . . . . . 9 |- ( { z } C_ NN -> z e. NN )
8	7	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( y C_ NN /\ { z } C_ NN ) -> z e. NN )
9	4, 8	sylbir 225	. . . . . . 7 |- ( ( y u. { z } ) C_ NN -> z e. NN )
10	9	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) -> z e. NN )
11	10	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) ) -> z e. NN )
12		simplr 792	. . . . 5 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) ) -> -. z e. y )
13		simprrr 805	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) ) -> F : NN --> NN )
14	13	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) ) /\ m e. y ) -> F : NN --> NN )
15		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y C_ NN /\ { z } C_ NN ) -> y C_ NN )
16	4, 15	sylbir 225	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y u. { z } ) C_ NN -> y C_ NN )
17	16	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) -> y C_ NN )
18	17	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) ) -> y C_ NN )
19	18	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) ) /\ m e. y ) -> m e. NN )
20	14, 19	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) ) /\ m e. y ) -> ( F ` m ) e. NN )
21	20	nncnd 11036	. . . . 5 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) ) /\ m e. y ) -> ( F ` m ) e. CC )
22		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( m = z -> ( F ` m ) = ( F ` z ) )
23	13, 11	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) ) -> ( F ` z ) e. NN )
24	23	nncnd 11036	. . . . 5 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) ) -> ( F ` z ) e. CC )
25	1, 2, 3, 11, 12, 21, 22, 24	fprodsplitsn 14720	. . . 4 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) ) -> prod_ m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) = ( prod_ m e. y ( F ` m ) x. ( F ` z ) ) )
26	25	ad2ant2r 783	. . 3 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( ( y C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. y ( F ` m ) || K ) ) -> prod_ m e. y ( F ` m ) || K ) ) /\ ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) || K ) ) ) -> prod_ m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) = ( prod_ m e. y ( F ` m ) x. ( F ` z ) ) )
27		simprl 794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> y e. Fin )
28		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) -> F : NN --> NN )
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> F : NN --> NN )
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ m e. y ) -> F : NN --> NN )
31	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> y C_ NN )
32	31	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ m e. y ) -> m e. NN )
33	30, 32	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ m e. y ) -> ( F ` m ) e. NN )
34	27, 33	fprodnncl 14685	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> prod_ m e. y ( F ` m ) e. NN )
35	34	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) -> ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> prod_ m e. y ( F ` m ) e. NN ) )
36	35	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) || K ) ) -> ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> prod_ m e. y ( F ` m ) e. NN ) )
37	36	com12 32	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) || K ) ) -> prod_ m e. y ( F ` m ) e. NN ) )
38	37	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( ( y C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. y ( F ` m ) || K ) ) -> prod_ m e. y ( F ` m ) || K ) ) -> ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) || K ) ) -> prod_ m e. y ( F ` m ) e. NN ) )
39	38	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( ( y C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. y ( F ` m ) || K ) ) -> prod_ m e. y ( F ` m ) || K ) ) /\ ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) || K ) ) ) -> prod_ m e. y ( F ` m ) e. NN )
40	39	nnzd 11481	. . . . 5 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( ( y C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. y ( F ` m ) || K ) ) -> prod_ m e. y ( F ` m ) || K ) ) /\ ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) || K ) ) ) -> prod_ m e. y ( F ` m ) e. ZZ )
41	28, 10	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) -> ( F ` z ) e. NN )
42	41	nnzd 11481	. . . . . . 7 |- ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) -> ( F ` z ) e. ZZ )
43	42	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) || K ) ) -> ( F ` z ) e. ZZ )
44	43	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( ( y C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. y ( F ` m ) || K ) ) -> prod_ m e. y ( F ` m ) || K ) ) /\ ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) || K ) ) ) -> ( F ` z ) e. ZZ )
45		nnz 11399	. . . . . . . . 9 |- ( K e. NN -> K e. ZZ )
46	45	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) -> K e. ZZ )
47	46	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) -> K e. ZZ )
48	47	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) || K ) ) -> K e. ZZ )
49	48	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( ( y C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. y ( F ` m ) || K ) ) -> prod_ m e. y ( F ` m ) || K ) ) /\ ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) || K ) ) ) -> K e. ZZ )
50	40, 44, 49	3jca 1242	. . . 4 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( ( y C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. y ( F ` m ) || K ) ) -> prod_ m e. y ( F ` m ) || K ) ) /\ ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) || K ) ) ) -> ( prod_ m e. y ( F ` m ) e. ZZ /\ ( F ` z ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) )
51		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F : NN --> NN /\ ( y u. { z } ) C_ NN ) -> F : NN --> NN )
52	9	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F : NN --> NN /\ ( y u. { z } ) C_ NN ) -> z e. NN )
53	51, 52	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : NN --> NN /\ ( y u. { z } ) C_ NN ) -> ( F ` z ) e. NN )
54	53	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F : NN --> NN -> ( ( y u. { z } ) C_ NN -> ( F ` z ) e. NN ) )
55	54	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) -> ( ( y u. { z } ) C_ NN -> ( F ` z ) e. NN ) )
56	55	impcom 446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) -> ( F ` z ) e. NN )
57	56	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) ) -> ( F ` z ) e. NN )
58	3, 18, 57	3jca 1242	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) ) -> ( y e. Fin /\ y C_ NN /\ ( F ` z ) e. NN ) )
59	58	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) ) /\ A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> ( y e. Fin /\ y C_ NN /\ ( F ` z ) e. NN ) )
60	13	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) ) /\ A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> F : NN --> NN )
61		ralunb 3794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 <-> ( A. m e. y A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. { z } A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) )
62	61	simplbi 476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 -> A. m e. y A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 )
63		vsnid 4209	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- z e. { z }
64	63	olci 406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. y \/ z e. { z } )
65		elun 3753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. ( y u. { z } ) <-> ( z e. y \/ z e. { z } ) )
66	64, 65	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- z e. ( y u. { z } )
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) ) /\ m e. y ) -> z e. ( y u. { z } ) )
68		snssi 4339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. y -> { m } C_ y )
69	68	ssneld 3605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m e. y -> ( -. z e. y -> -. z e. { m } ) )
70	69	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. z e. y -> ( m e. y -> -. z e. { m } ) )
71	70	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( m e. y -> -. z e. { m } ) )
72	71	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) ) -> ( m e. y -> -. z e. { m } ) )
73	72	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) ) /\ m e. y ) -> -. z e. { m } )
74	67, 73	eldifd 3585	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) ) /\ m e. y ) -> z e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) )
75		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = z -> ( F ` n ) = ( F ` z ) )
76	75	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = z -> ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = ( ( F ` m ) gcd ( F ` z ) ) )
77	76	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = z -> ( ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 <-> ( ( F ` m ) gcd ( F ` z ) ) = 1 ) )
78	77	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) -> ( A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 -> ( ( F ` m ) gcd ( F ` z ) ) = 1 ) )
79	74, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) ) /\ m e. y ) -> ( A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 -> ( ( F ` m ) gcd ( F ` z ) ) = 1 ) )
80	79	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) ) -> ( A. m e. y A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 -> A. m e. y ( ( F ` m ) gcd ( F ` z ) ) = 1 ) )
81	62, 80	syl5 34	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) ) -> ( A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 -> A. m e. y ( ( F ` m ) gcd ( F ` z ) ) = 1 ) )
82	81	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) ) /\ A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> A. m e. y ( ( F ` m ) gcd ( F ` z ) ) = 1 )
83		raldifb 3750	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. n e. ( y u. { z } ) ( n e/ { m } -> ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) <-> A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 )
84		ralunb 3794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. n e. ( y u. { z } ) ( n e/ { m } -> ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) <-> ( A. n e. y ( n e/ { m } -> ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) /\ A. n e. { z } ( n e/ { m } -> ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) ) )
85		raldifb 3750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. n e. y ( n e/ { m } -> ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) <-> A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 )
86	85	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. n e. y ( n e/ { m } -> ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 )
87	86	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A. n e. y ( n e/ { m } -> ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) /\ A. n e. { z } ( n e/ { m } -> ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) ) -> A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 )
88	84, 87	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. n e. ( y u. { z } ) ( n e/ { m } -> ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 )
89	83, 88	sylbir 225	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 -> A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 )
90	89	ralimi 2952	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. m e. y A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 -> A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 )
91	90	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. m e. y A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. { z } A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 )
92	61, 91	sylbi 207	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 -> A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 )
93	92	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) ) /\ A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 )
94		coprmprod 15375	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ y C_ NN /\ ( F ` z ) e. NN ) /\ F : NN --> NN /\ A. m e. y ( ( F ` m ) gcd ( F ` z ) ) = 1 ) -> ( A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 -> ( prod_ m e. y ( F ` m ) gcd ( F ` z ) ) = 1 ) )
95	94	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ y C_ NN /\ ( F ` z ) e. NN ) /\ F : NN --> NN /\ A. m e. y ( ( F ` m ) gcd ( F ` z ) ) = 1 ) /\ A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> ( prod_ m e. y ( F ` m ) gcd ( F ` z ) ) = 1 )
96	59, 60, 82, 93, 95	syl31anc 1329	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) ) /\ A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> ( prod_ m e. y ( F ` m ) gcd ( F ` z ) ) = 1 )
97	96	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) ) -> ( A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 -> ( prod_ m e. y ( F ` m ) gcd ( F ` z ) ) = 1 ) )
98	97	adantrd 484	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) ) -> ( ( A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) || K ) -> ( prod_ m e. y ( F ` m ) gcd ( F ` z ) ) = 1 ) )
99	98	expimpd 629	. . . . . 6 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) || K ) ) -> ( prod_ m e. y ( F ` m ) gcd ( F ` z ) ) = 1 ) )
100	99	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( ( y C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. y ( F ` m ) || K ) ) -> prod_ m e. y ( F ` m ) || K ) ) -> ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) || K ) ) -> ( prod_ m e. y ( F ` m ) gcd ( F ` z ) ) = 1 ) )
101	100	imp 445	. . . 4 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( ( y C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. y ( F ` m ) || K ) ) -> prod_ m e. y ( F ` m ) || K ) ) /\ ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) || K ) ) ) -> ( prod_ m e. y ( F ` m ) gcd ( F ` z ) ) = 1 )
102	84	simplbi 476	. . . . . . . . . 10 |- ( A. n e. ( y u. { z } ) ( n e/ { m } -> ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> A. n e. y ( n e/ { m } -> ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) )
103	83, 102	sylbir 225	. . . . . . . . 9 |- ( A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 -> A. n e. y ( n e/ { m } -> ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) )
104	103	ralimi 2952	. . . . . . . 8 |- ( A. m e. y A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 -> A. m e. y A. n e. y ( n e/ { m } -> ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) )
105	104	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( A. m e. y A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. { z } A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> A. m e. y A. n e. y ( n e/ { m } -> ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) )
106	61, 105	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 -> A. m e. y A. n e. y ( n e/ { m } -> ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) )
107		ralunb 3794	. . . . . . 7 |- ( A. m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) || K <-> ( A. m e. y ( F ` m ) || K /\ A. m e. { z } ( F ` m ) || K ) )
108	107	simplbi 476	. . . . . 6 |- ( A. m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) || K -> A. m e. y ( F ` m ) || K )
109	85	ralbii 2980	. . . . . . . 8 |- ( A. m e. y A. n e. y ( n e/ { m } -> ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) <-> A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 )
110	109	anbi1i 731	. . . . . . 7 |- ( ( A. m e. y A. n e. y ( n e/ { m } -> ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) /\ A. m e. y ( F ` m ) || K ) <-> ( A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. y ( F ` m ) || K ) )
111	17	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. y ( F ` m ) || K ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) ) -> y C_ NN )
112		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. y ( F ` m ) || K ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) ) -> K e. NN )
113		simprrr 805	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. y ( F ` m ) || K ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) ) -> F : NN --> NN )
114	111, 112, 113	jca32 558	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. y ( F ` m ) || K ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) ) -> ( y C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) )
115		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. y ( F ` m ) || K ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) ) -> ( A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. y ( F ` m ) || K ) )
116		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. y ( F ` m ) || K ) ) -> ( ( ( ( y C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. y ( F ` m ) || K ) ) -> prod_ m e. y ( F ` m ) || K ) -> prod_ m e. y ( F ` m ) || K ) )
117	114, 115, 116	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. y ( F ` m ) || K ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) ) -> ( ( ( ( y C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. y ( F ` m ) || K ) ) -> prod_ m e. y ( F ` m ) || K ) -> prod_ m e. y ( F ` m ) || K ) )
118	117	exp31 630	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. y ( F ` m ) || K ) -> ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) -> ( ( ( ( y C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. y ( F ` m ) || K ) ) -> prod_ m e. y ( F ` m ) || K ) -> prod_ m e. y ( F ` m ) || K ) ) ) )
119	118	com24 95	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ( ( y C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. y ( F ` m ) || K ) ) -> prod_ m e. y ( F ` m ) || K ) -> ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) -> ( ( A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. y ( F ` m ) || K ) -> prod_ m e. y ( F ` m ) || K ) ) ) )
120	119	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( ( y C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. y ( F ` m ) || K ) ) -> prod_ m e. y ( F ` m ) || K ) ) -> ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) -> ( ( A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. y ( F ` m ) || K ) -> prod_ m e. y ( F ` m ) || K ) ) )
121	120	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( ( y C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. y ( F ` m ) || K ) ) -> prod_ m e. y ( F ` m ) || K ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) ) -> ( ( A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. y ( F ` m ) || K ) -> prod_ m e. y ( F ` m ) || K ) )
122	110, 121	syl5bi 232	. . . . . 6 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( ( y C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. y ( F ` m ) || K ) ) -> prod_ m e. y ( F ` m ) || K ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) ) -> ( ( A. m e. y A. n e. y ( n e/ { m } -> ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) /\ A. m e. y ( F ` m ) || K ) -> prod_ m e. y ( F ` m ) || K ) )
123	106, 108, 122	syl2ani 688	. . . . 5 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( ( y C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. y ( F ` m ) || K ) ) -> prod_ m e. y ( F ` m ) || K ) ) /\ ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) ) -> ( ( A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) || K ) -> prod_ m e. y ( F ` m ) || K ) )
124	123	impr 649	. . . 4 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( ( y C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. y ( F ` m ) || K ) ) -> prod_ m e. y ( F ` m ) || K ) ) /\ ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) || K ) ) ) -> prod_ m e. y ( F ` m ) || K )
125	22	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( m = z -> ( ( F ` m ) || K <-> ( F ` z ) || K ) )
126	125	rspcv 3305	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( y u. { z } ) -> ( A. m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) || K -> ( F ` z ) || K ) )
127	66, 126	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( A. m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) || K -> ( F ` z ) || K )
128	127	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) || K ) -> ( F ` z ) || K )
129	128	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) || K ) ) -> ( F ` z ) || K )
130	129	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( ( y C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. y ( F ` m ) || K ) ) -> prod_ m e. y ( F ` m ) || K ) ) /\ ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) || K ) ) ) -> ( F ` z ) || K )
131		coprmdvds2 15368	. . . . 5 |- ( ( ( prod_ m e. y ( F ` m ) e. ZZ /\ ( F ` z ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( prod_ m e. y ( F ` m ) gcd ( F ` z ) ) = 1 ) -> ( ( prod_ m e. y ( F ` m ) || K /\ ( F ` z ) || K ) -> ( prod_ m e. y ( F ` m ) x. ( F ` z ) ) || K ) )
132	131	imp 445	. . . 4 |- ( ( ( ( prod_ m e. y ( F ` m ) e. ZZ /\ ( F ` z ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( prod_ m e. y ( F ` m ) gcd ( F ` z ) ) = 1 ) /\ ( prod_ m e. y ( F ` m ) || K /\ ( F ` z ) || K ) ) -> ( prod_ m e. y ( F ` m ) x. ( F ` z ) ) || K )
133	50, 101, 124, 130, 132	syl22anc 1327	. . 3 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( ( y C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. y ( F ` m ) || K ) ) -> prod_ m e. y ( F ` m ) || K ) ) /\ ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) || K ) ) ) -> ( prod_ m e. y ( F ` m ) x. ( F ` z ) ) || K )
134	26, 133	eqbrtrd 4675	. 2 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( ( y C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. y ( F ` m ) || K ) ) -> prod_ m e. y ( F ` m ) || K ) ) /\ ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) || K ) ) ) -> prod_ m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) || K )
135	134	exp31 630	1 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ( ( y C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. y ( F ` m ) || K ) ) -> prod_ m e. y ( F ` m ) || K ) -> ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ ( K e. NN /\ F : NN --> NN ) ) /\ ( A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) || K ) ) -> prod_ m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) || K ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   e/ wnel 2897   A.wral 2912   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   1c1 9937   x. cmul 9941   NNcn 11020   ZZcz 11377   prod_cprod 14635   || cdvds 14983   gcd cgcd 15216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636  df-dvds 14984  df-gcd 15217

This theorem is referenced by:  coprmproddvds  15377