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Theorem coprmprod 15375
Description: The product of the elements of a sequence of pairwise coprime positive integers is coprime to a positive integer which is coprime to all integers of the sequence. (Contributed by AV, 18-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
coprmprod |- ( ( ( M e. Fin /\ M C_ NN /\ N e. NN ) /\ F : NN --> NN /\ A. m e. M ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 ) -> ( A. m e. M A. n e. ( M \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 -> ( prod_ m e. M ( F ` m ) gcd N ) = 1 ) )
Distinct variable groups:   m, F   m, M, n   m, N, n
Allowed substitution hint:   F( n)
Proof of Theorem coprmprod
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3626 . . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( x C_ NN <-> (/) C_ NN ) )
213anbi1d 1403 . . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( ( x C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) <-> ( (/) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) ) )
3 raleq 3138 . . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( A. m e. x ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 <-> A. m e. (/) ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 ) )
4 difeq1 3721 . . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( x \ { m } ) = ( (/) \ { m } ) )
54raleqdv 3144 . . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( A. n e. ( x \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 <-> A. n e. ( (/) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) )
65raleqbi1dv 3146 . . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( A. m e. x A. n e. ( x \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 <-> A. m e. (/) A. n e. ( (/) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) )
72, 3, 63anbi123d 1399 . . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( ( ( x C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. x ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. x A. n e. ( x \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) <-> ( ( (/) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. (/) ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. (/) A. n e. ( (/) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) ) )
8 prodeq1 14639 . . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> prod_ m e. x ( F ` m ) = prod_ m e. (/) ( F ` m ) )
98oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( prod_ m e. x ( F ` m ) gcd N ) = ( prod_ m e. (/) ( F ` m ) gcd N ) )
109eqeq1d 2624 . . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( ( prod_ m e. x ( F ` m ) gcd N ) = 1 <-> ( prod_ m e. (/) ( F ` m ) gcd N ) = 1 ) )
117, 10imbi12d 334 . . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( ( ( ( x C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. x ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. x A. n e. ( x \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> ( prod_ m e. x ( F ` m ) gcd N ) = 1 ) <-> ( ( ( (/) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. (/) ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. (/) A. n e. ( (/) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> ( prod_ m e. (/) ( F ` m ) gcd N ) = 1 ) ) )
12 sseq1 3626 . . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( x C_ NN <-> y C_ NN ) )
13123anbi1d 1403 . . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( x C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) <-> ( y C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) ) )
14 raleq 3138 . . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( A. m e. x ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 <-> A. m e. y ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 ) )
15 difeq1 3721 . . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( x \ { m } ) = ( y \ { m } ) )
1615raleqdv 3144 . . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( A. n e. ( x \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 <-> A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) )
1716raleqbi1dv 3146 . . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( A. m e. x A. n e. ( x \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 <-> A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) )
1813, 14, 173anbi123d 1399 . . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( ( x C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. x ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. x A. n e. ( x \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) <-> ( ( y C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. y ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) ) )
19 prodeq1 14639 . . . . . . . . 9 |- ( x = y -> prod_ m e. x ( F ` m ) = prod_ m e. y ( F ` m ) )
2019oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( prod_ m e. x ( F ` m ) gcd N ) = ( prod_ m e. y ( F ` m ) gcd N ) )
2120eqeq1d 2624 . . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( prod_ m e. x ( F ` m ) gcd N ) = 1 <-> ( prod_ m e. y ( F ` m ) gcd N ) = 1 ) )
2218, 21imbi12d 334 . . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( ( ( x C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. x ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. x A. n e. ( x \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> ( prod_ m e. x ( F ` m ) gcd N ) = 1 ) <-> ( ( ( y C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. y ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> ( prod_ m e. y ( F ` m ) gcd N ) = 1 ) ) )
23 sseq1 3626 . . . . . . . . 9 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( x C_ NN <-> ( y u. { z } ) C_ NN ) )
24233anbi1d 1403 . . . . . . . 8 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( x C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) <-> ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) ) )
25 raleq 3138 . . . . . . . 8 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( A. m e. x ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 <-> A. m e. ( y u. { z } ) ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 ) )
26 difeq1 3721 . . . . . . . . . 10 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( x \ { m } ) = ( ( y u. { z } ) \ { m } ) )
2726raleqdv 3144 . . . . . . . . 9 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( A. n e. ( x \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 <-> A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) )
2827raleqbi1dv 3146 . . . . . . . 8 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( A. m e. x A. n e. ( x \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 <-> A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) )
2924, 25, 283anbi123d 1399 . . . . . . 7 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( ( x C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. x ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. x A. n e. ( x \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) <-> ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) ) )
30 prodeq1 14639 . . . . . . . . 9 |- ( x = ( y u. { z } ) -> prod_ m e. x ( F ` m ) = prod_ m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) )
3130oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( prod_ m e. x ( F ` m ) gcd N ) = ( prod_ m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) gcd N ) )
3231eqeq1d 2624 . . . . . . 7 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( prod_ m e. x ( F ` m ) gcd N ) = 1 <-> ( prod_ m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) gcd N ) = 1 ) )
3329, 32imbi12d 334 . . . . . 6 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( ( ( x C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. x ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. x A. n e. ( x \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> ( prod_ m e. x ( F ` m ) gcd N ) = 1 ) <-> ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> ( prod_ m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) gcd N ) = 1 ) ) )
34 sseq1 3626 . . . . . . . . 9 |- ( x = M -> ( x C_ NN <-> M C_ NN ) )
35343anbi1d 1403 . . . . . . . 8 |- ( x = M -> ( ( x C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) <-> ( M C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) ) )
36 raleq 3138 . . . . . . . 8 |- ( x = M -> ( A. m e. x ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 <-> A. m e. M ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 ) )
37 difeq1 3721 . . . . . . . . . 10 |- ( x = M -> ( x \ { m } ) = ( M \ { m } ) )
3837raleqdv 3144 . . . . . . . . 9 |- ( x = M -> ( A. n e. ( x \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 <-> A. n e. ( M \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) )
3938raleqbi1dv 3146 . . . . . . . 8 |- ( x = M -> ( A. m e. x A. n e. ( x \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 <-> A. m e. M A. n e. ( M \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) )
4035, 36, 393anbi123d 1399 . . . . . . 7 |- ( x = M -> ( ( ( x C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. x ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. x A. n e. ( x \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) <-> ( ( M C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. M ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. M A. n e. ( M \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) ) )
41 prodeq1 14639 . . . . . . . . 9 |- ( x = M -> prod_ m e. x ( F ` m ) = prod_ m e. M ( F ` m ) )
4241oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( x = M -> ( prod_ m e. x ( F ` m ) gcd N ) = ( prod_ m e. M ( F ` m ) gcd N ) )
4342eqeq1d 2624 . . . . . . 7 |- ( x = M -> ( ( prod_ m e. x ( F ` m ) gcd N ) = 1 <-> ( prod_ m e. M ( F ` m ) gcd N ) = 1 ) )
4440, 43imbi12d 334 . . . . . 6 |- ( x = M -> ( ( ( ( x C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. x ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. x A. n e. ( x \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> ( prod_ m e. x ( F ` m ) gcd N ) = 1 ) <-> ( ( ( M C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. M ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. M A. n e. ( M \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> ( prod_ m e. M ( F ` m ) gcd N ) = 1 ) ) )
45 prod0 14673 . . . . . . . . . . 11 |- prod_ m e. (/) ( F ` m ) = 1
4645a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> prod_ m e. (/) ( F ` m ) = 1 )
4746oveq1d 6665 . . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( prod_ m e. (/) ( F ` m ) gcd N ) = ( 1 gcd N ) )
48 nnz 11399 . . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
49 1gcd 15254 . . . . . . . . . 10 |- ( N e. ZZ -> ( 1 gcd N ) = 1 )
5048, 49syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( 1 gcd N ) = 1 )
5147, 50eqtrd 2656 . . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( prod_ m e. (/) ( F ` m ) gcd N ) = 1 )
52513ad2ant2 1083 . . . . . . 7 |- ( ( (/) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) -> ( prod_ m e. (/) ( F ` m ) gcd N ) = 1 )
53523ad2ant1 1082 . . . . . 6 |- ( ( ( (/) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. (/) ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. (/) A. n e. ( (/) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> ( prod_ m e. (/) ( F ` m ) gcd N ) = 1 )
54 nfv 1843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ m ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) )
55 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ m ( F ` z )
56 simprl 794 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> y e. Fin )
57 unss 3787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y C_ NN /\ { z } C_ NN ) <-> ( y u. { z } ) C_ NN )
58 vex 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- z e. _V
5958snss 4316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z e. NN <-> { z } C_ NN )
6059biimpri 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( { z } C_ NN -> z e. NN )
6160adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y C_ NN /\ { z } C_ NN ) -> z e. NN )
6257, 61sylbir 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y u. { z } ) C_ NN -> z e. NN )
63623ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) -> z e. NN )
6463adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> z e. NN )
65 simprr 796 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> -. z e. y )
66 simpll3 1102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ m e. y ) -> F : NN --> NN )
67 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y C_ NN /\ { z } C_ NN ) -> y C_ NN )
6857, 67sylbir 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( y u. { z } ) C_ NN -> y C_ NN )
69683ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) -> y C_ NN )
7069adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> y C_ NN )
7170sselda 3603 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ m e. y ) -> m e. NN )
7266, 71ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ m e. y ) -> ( F ` m ) e. NN )
7372nncnd 11036 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ m e. y ) -> ( F ` m ) e. CC )
74 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = z -> ( F ` m ) = ( F ` z ) )
75 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ F : NN --> NN ) -> F : NN --> NN )
7662adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ F : NN --> NN ) -> z e. NN )
7775, 76ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ F : NN --> NN ) -> ( F ` z ) e. NN )
78773adant2 1080 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) -> ( F ` z ) e. NN )
7978adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( F ` z ) e. NN )
8079nncnd 11036 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( F ` z ) e. CC )
8154, 55, 56, 64, 65, 73, 74, 80fprodsplitsn 14720 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> prod_ m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) = ( prod_ m e. y ( F ` m ) x. ( F ` z ) ) )
8281oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( prod_ m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) gcd N ) = ( ( prod_ m e. y ( F ` m ) x. ( F ` z ) ) gcd N ) )
8356, 72fprodnncl 14685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> prod_ m e. y ( F ` m ) e. NN )
8483nnzd 11481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> prod_ m e. y ( F ` m ) e. ZZ )
8579nnzd 11481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( F ` z ) e. ZZ )
8684, 85zmulcld 11488 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( prod_ m e. y ( F ` m ) x. ( F ` z ) ) e. ZZ )
87483ad2ant2 1083 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) -> N e. ZZ )
8887adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> N e. ZZ )
89 gcdcom 15235 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( prod_ m e. y ( F ` m ) x. ( F ` z ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( prod_ m e. y ( F ` m ) x. ( F ` z ) ) gcd N ) = ( N gcd ( prod_ m e. y ( F ` m ) x. ( F ` z ) ) ) )
9086, 88, 89syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( ( prod_ m e. y ( F ` m ) x. ( F ` z ) ) gcd N ) = ( N gcd ( prod_ m e. y ( F ` m ) x. ( F ` z ) ) ) )
9182, 90eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( prod_ m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) gcd N ) = ( N gcd ( prod_ m e. y ( F ` m ) x. ( F ` z ) ) ) )
9291ex 450 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) -> ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( prod_ m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) gcd N ) = ( N gcd ( prod_ m e. y ( F ` m ) x. ( F ` z ) ) ) ) )
93923ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( prod_ m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) gcd N ) = ( N gcd ( prod_ m e. y ( F ` m ) x. ( F ` z ) ) ) ) )
9493com12 32 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> ( prod_ m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) gcd N ) = ( N gcd ( prod_ m e. y ( F ` m ) x. ( F ` z ) ) ) ) )
9594adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( ( y C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. y ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> ( prod_ m e. y ( F ` m ) gcd N ) = 1 ) ) -> ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> ( prod_ m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) gcd N ) = ( N gcd ( prod_ m e. y ( F ` m ) x. ( F ` z ) ) ) ) )
9695imp 445 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( ( y C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. y ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> ( prod_ m e. y ( F ` m ) gcd N ) = 1 ) ) /\ ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) ) -> ( prod_ m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) gcd N ) = ( N gcd ( prod_ m e. y ( F ` m ) x. ( F ` z ) ) ) )
97 simpl2 1065 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> N e. NN )
9897, 83, 793jca 1242 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( N e. NN /\ prod_ m e. y ( F ` m ) e. NN /\ ( F ` z ) e. NN ) )
9998ex 450 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) -> ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( N e. NN /\ prod_ m e. y ( F ` m ) e. NN /\ ( F ` z ) e. NN ) ) )
100993ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( N e. NN /\ prod_ m e. y ( F ` m ) e. NN /\ ( F ` z ) e. NN ) ) )
101100com12 32 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> ( N e. NN /\ prod_ m e. y ( F ` m ) e. NN /\ ( F ` z ) e. NN ) ) )
102101adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( ( y C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. y ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> ( prod_ m e. y ( F ` m ) gcd N ) = 1 ) ) -> ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> ( N e. NN /\ prod_ m e. y ( F ` m ) e. NN /\ ( F ` z ) e. NN ) ) )
103102imp 445 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( ( y C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. y ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> ( prod_ m e. y ( F ` m ) gcd N ) = 1 ) ) /\ ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) ) -> ( N e. NN /\ prod_ m e. y ( F ` m ) e. NN /\ ( F ` z ) e. NN ) )
104 gcdcom 15235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ prod_ m e. y ( F ` m ) e. ZZ ) -> ( N gcd prod_ m e. y ( F ` m ) ) = ( prod_ m e. y ( F ` m ) gcd N ) )
10588, 84, 104syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( N gcd prod_ m e. y ( F ` m ) ) = ( prod_ m e. y ( F ` m ) gcd N ) )
106105ex 450 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) -> ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( N gcd prod_ m e. y ( F ` m ) ) = ( prod_ m e. y ( F ` m ) gcd N ) ) )
1071063ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( N gcd prod_ m e. y ( F ` m ) ) = ( prod_ m e. y ( F ` m ) gcd N ) ) )
108107com12 32 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> ( N gcd prod_ m e. y ( F ` m ) ) = ( prod_ m e. y ( F ` m ) gcd N ) ) )
109108adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( ( y C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. y ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> ( prod_ m e. y ( F ` m ) gcd N ) = 1 ) ) -> ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> ( N gcd prod_ m e. y ( F ` m ) ) = ( prod_ m e. y ( F ` m ) gcd N ) ) )
110109imp 445 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( ( y C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. y ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> ( prod_ m e. y ( F ` m ) gcd N ) = 1 ) ) /\ ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) ) -> ( N gcd prod_ m e. y ( F ` m ) ) = ( prod_ m e. y ( F ` m ) gcd N ) )
11168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( y u. { z } ) C_ NN -> y C_ NN ) )
112 idd 24 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( N e. NN -> N e. NN ) )
113 idd 24 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( F : NN --> NN -> F : NN --> NN ) )
114111, 112, 1133anim123d 1406 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) -> ( y C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) ) )
115 ssun1 3776 . . . . . . . . . . . . . 14 |- y C_ ( y u. { z } )
116 ssralv 3666 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y C_ ( y u. { z } ) -> ( A. m e. ( y u. { z } ) ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 -> A. m e. y ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 ) )
117115, 116mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( A. m e. ( y u. { z } ) ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 -> A. m e. y ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 ) )
118 ssralv 3666 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y C_ ( y u. { z } ) -> ( A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 -> A. m e. y A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) )
119115, 118mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 -> A. m e. y A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) )
120115a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ m e. y ) -> y C_ ( y u. { z } ) )
121120ssdifd 3746 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ m e. y ) -> ( y \ { m } ) C_ ( ( y u. { z } ) \ { m } ) )
122 ssralv 3666 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y \ { m } ) C_ ( ( y u. { z } ) \ { m } ) -> ( A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 -> A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) )
123121, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ m e. y ) -> ( A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 -> A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) )
124123ralimdva 2962 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( A. m e. y A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 -> A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) )
125119, 124syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 -> A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) )
126114, 117, 1253anim123d 1406 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> ( ( y C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. y ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) ) )
127126imim1d 82 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ( ( y C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. y ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> ( prod_ m e. y ( F ` m ) gcd N ) = 1 ) -> ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> ( prod_ m e. y ( F ` m ) gcd N ) = 1 ) ) )
128127imp31 448 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( ( y C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. y ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> ( prod_ m e. y ( F ` m ) gcd N ) = 1 ) ) /\ ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) ) -> ( prod_ m e. y ( F ` m ) gcd N ) = 1 )
129110, 128eqtrd 2656 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( ( y C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. y ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> ( prod_ m e. y ( F ` m ) gcd N ) = 1 ) ) /\ ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) ) -> ( N gcd prod_ m e. y ( F ` m ) ) = 1 )
130 rpmulgcd 15275 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ prod_ m e. y ( F ` m ) e. NN /\ ( F ` z ) e. NN ) /\ ( N gcd prod_ m e. y ( F ` m ) ) = 1 ) -> ( N gcd ( prod_ m e. y ( F ` m ) x. ( F ` z ) ) ) = ( N gcd ( F ` z ) ) )
131103, 129, 130syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( ( y C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. y ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> ( prod_ m e. y ( F ` m ) gcd N ) = 1 ) ) /\ ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) ) -> ( N gcd ( prod_ m e. y ( F ` m ) x. ( F ` z ) ) ) = ( N gcd ( F ` z ) ) )
132 vsnid 4209 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- z e. { z }
133132olci 406 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. y \/ z e. { z } )
134 elun 3753 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( y u. { z } ) <-> ( z e. y \/ z e. { z } ) )
135133, 134mpbir 221 . . . . . . . . . . . . 13 |- z e. ( y u. { z } )
13674oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = z -> ( ( F ` m ) gcd N ) = ( ( F ` z ) gcd N ) )
137136eqeq1d 2624 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = z -> ( ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 <-> ( ( F ` z ) gcd N ) = 1 ) )
138137rspcv 3305 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( y u. { z } ) -> ( A. m e. ( y u. { z } ) ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 -> ( ( F ` z ) gcd N ) = 1 ) )
139135, 138mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) -> ( A. m e. ( y u. { z } ) ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 -> ( ( F ` z ) gcd N ) = 1 ) )
140139imp 445 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 ) -> ( ( F ` z ) gcd N ) = 1 )
14178nnzd 11481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) -> ( F ` z ) e. ZZ )
142 gcdcom 15235 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ ( F ` z ) e. ZZ ) -> ( N gcd ( F ` z ) ) = ( ( F ` z ) gcd N ) )
14387, 141, 142syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) -> ( N gcd ( F ` z ) ) = ( ( F ` z ) gcd N ) )
144143eqeq1d 2624 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) -> ( ( N gcd ( F ` z ) ) = 1 <-> ( ( F ` z ) gcd N ) = 1 ) )
145144adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 ) -> ( ( N gcd ( F ` z ) ) = 1 <-> ( ( F ` z ) gcd N ) = 1 ) )
146140, 145mpbird 247 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 ) -> ( N gcd ( F ` z ) ) = 1 )
1471463adant3 1081 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> ( N gcd ( F ` z ) ) = 1 )
148147adantl 482 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( ( y C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. y ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> ( prod_ m e. y ( F ` m ) gcd N ) = 1 ) ) /\ ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) ) -> ( N gcd ( F ` z ) ) = 1 )
14996, 131, 1483eqtrd 2660 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) /\ ( ( ( y C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. y ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> ( prod_ m e. y ( F ` m ) gcd N ) = 1 ) ) /\ ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) ) -> ( prod_ m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) gcd N ) = 1 )
150149exp31 630 . . . . . 6 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ( ( y C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. y ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. y A. n e. ( y \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> ( prod_ m e. y ( F ` m ) gcd N ) = 1 ) -> ( ( ( ( y u. { z } ) C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. ( y u. { z } ) ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. ( y u. { z } ) A. n e. ( ( y u. { z } ) \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> ( prod_ m e. ( y u. { z } ) ( F ` m ) gcd N ) = 1 ) ) )
15111, 22, 33, 44, 53, 150findcard2s 8201 . . . . 5 |- ( M e. Fin -> ( ( ( M C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ A. m e. M ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 /\ A. m e. M A. n e. ( M \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 ) -> ( prod_ m e. M ( F ` m ) gcd N ) = 1 ) )
1521513expd 1284 . . . 4 |- ( M e. Fin -> ( ( M C_ NN /\ N e. NN /\ F : NN --> NN ) -> ( A. m e. M ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 -> ( A. m e. M A. n e. ( M \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 -> ( prod_ m e. M ( F ` m ) gcd N ) = 1 ) ) ) )
1531523expd 1284 . . 3 |- ( M e. Fin -> ( M C_ NN -> ( N e. NN -> ( F : NN --> NN -> ( A. m e. M ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 -> ( A. m e. M A. n e. ( M \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 -> ( prod_ m e. M ( F ` m ) gcd N ) = 1 ) ) ) ) ) )
1541533imp 1256 . 2 |- ( ( M e. Fin /\ M C_ NN /\ N e. NN ) -> ( F : NN --> NN -> ( A. m e. M ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 -> ( A. m e. M A. n e. ( M \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 -> ( prod_ m e. M ( F ` m ) gcd N ) = 1 ) ) ) )
1551543imp 1256 1 |- ( ( ( M e. Fin /\ M C_ NN /\ N e. NN ) /\ F : NN --> NN /\ A. m e. M ( ( F ` m ) gcd N ) = 1 ) -> ( A. m e. M A. n e. ( M \ { m } ) ( ( F ` m ) gcd ( F ` n ) ) = 1 -> ( prod_ m e. M ( F ` m ) gcd N ) = 1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   1c1 9937   x. cmul 9941   NNcn 11020   ZZcz 11377   prod_cprod 14635   gcd cgcd 15216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636  df-dvds 14984  df-gcd 15217
This theorem is referenced by:  coprmproddvdslem  15376
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