Theorem cpmadumatpolylem1 20686

Description: Lemma 1 for cpmadumatpoly 20688. (Contributed by AV, 20-Nov-2019.) (Revised by AV, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cpmadumatpoly.a	|- A = ( N Mat R )
cpmadumatpoly.b	|- B = ( Base ` A )
cpmadumatpoly.p	|- P = (Poly1 ` R )
cpmadumatpoly.y	|- Y = ( N Mat P )
cpmadumatpoly.t	|- T = ( N matToPolyMat R )
cpmadumatpoly.r	|- .X. = ( .r ` Y )
cpmadumatpoly.m0	|- .- = ( -g ` Y )
cpmadumatpoly.0	|- .0. = ( 0g ` Y )
cpmadumatpoly.g	|- G = ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) , if ( n = ( s + 1 ) , ( T ` ( b ` s ) ) , if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) ) ) )
cpmadumatpoly.s	|- S = ( N ConstPolyMat R )
cpmadumatpoly.m1	|- .x. = ( .s ` Y )
cpmadumatpoly.1	|- .1. = ( 1r ` Y )
cpmadumatpoly.z	|- Z = (var1 ` R )
cpmadumatpoly.d	|- D = ( ( Z .x. .1. ) .- ( T ` M ) )
cpmadumatpoly.j	|- J = ( N maAdju P )
cpmadumatpoly.w	|- W = ( Base ` Y )
cpmadumatpoly.q	|- Q = (Poly1 ` A )
cpmadumatpoly.x	|- X = (var1 ` A )
cpmadumatpoly.m2	|- .* = ( .s ` Q )
cpmadumatpoly.e	|- .^ = (.g ` (mulGrp ` Q ) )
cpmadumatpoly.u	|- U = ( N cPolyMatToMat R )

Assertion

Ref	Expression
cpmadumatpolylem1	|- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( U o. G ) e. ( B ^m NN0 ) )

Distinct variable groups:   B, n   n, M   n, N   R, n   S, n   n, Y   n, b   n, s

Allowed substitution hints:   A( n, s, b)   B( s, b)   D( n, s, b)   P( n, s, b)   Q( n, s, b)   R( s, b)   S( s, b)   T( n, s, b)   .x. ( n, s, b)   .X. ( n, s, b)   U( n, s, b)   .1. ( n, s, b)   .^ ( n, s, b)   G( n, s, b)   .* ( n, s, b)   J( n, s, b)   M( s, b)   .- ( n, s, b)   N( s, b)   W( n, s, b)   X( n, s, b)   Y( s, b)   .0. ( n, s, b)   Z( n, s, b)

Proof of Theorem cpmadumatpolylem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1061	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> N e. Fin )
2		crngring 18558	. . . . . . 7 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
3	2	3ad2ant2 1083	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> R e. Ring )
4	1, 3	jca 554	. . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring ) )
5	4	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( N e. Fin /\ R e. Ring ) )
6		cpmadumatpoly.a	. . . . 5 |- A = ( N Mat R )
7		cpmadumatpoly.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` A )
8		cpmadumatpoly.s	. . . . 5 |- S = ( N ConstPolyMat R )
9		cpmadumatpoly.u	. . . . 5 |- U = ( N cPolyMatToMat R )
10	6, 7, 8, 9	cpm2mf 20557	. . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> U : S --> B )
11	5, 10	syl 17	. . 3 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> U : S --> B )
12		cpmadumatpoly.p	. . . . . 6 |- P = (Poly1 ` R )
13		cpmadumatpoly.y	. . . . . 6 |- Y = ( N Mat P )
14		cpmadumatpoly.r	. . . . . 6 |- .X. = ( .r ` Y )
15		cpmadumatpoly.m0	. . . . . 6 |- .- = ( -g ` Y )
16		cpmadumatpoly.0	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` Y )
17		cpmadumatpoly.t	. . . . . 6 |- T = ( N matToPolyMat R )
18		cpmadumatpoly.g	. . . . . 6 |- G = ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) , if ( n = ( s + 1 ) , ( T ` ( b ` s ) ) , if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) ) ) )
19	6, 7, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 8	chfacfisfcpmat 20660	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> G : NN0 --> S )
20	2, 19	syl3anl2 1375	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> G : NN0 --> S )
21	20	anassrs 680	. . 3 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> G : NN0 --> S )
22		fco 6058	. . 3 |- ( ( U : S --> B /\ G : NN0 --> S ) -> ( U o. G ) : NN0 --> B )
23	11, 21, 22	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( U o. G ) : NN0 --> B )
24		fvex 6201	. . . . 5 |- ( Base ` A ) e. _V
25	7, 24	eqeltri 2697	. . . 4 |- B e. _V
26		nn0ex 11298	. . . 4 |- NN0 e. _V
27	25, 26	pm3.2i 471	. . 3 |- ( B e. _V /\ NN0 e. _V )
28		elmapg 7870	. . 3 |- ( ( B e. _V /\ NN0 e. _V ) -> ( ( U o. G ) e. ( B ^m NN0 ) <-> ( U o. G ) : NN0 --> B ) )
29	27, 28	mp1i 13	. 2 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( ( U o. G ) e. ( B ^m NN0 ) <-> ( U o. G ) : NN0 --> B ) )
30	23, 29	mpbird 247	1 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ s e. NN ) /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( U o. G ) e. ( B ^m NN0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ...cfz 12326   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   .scvsca 15945   0gc0g 16100   -gcsg 17424  ._gcmg 17540  mulGrpcmgp 18489   1rcur 18501   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548  var₁cv1 19546  Poly₁cpl1 19547   Mat cmat 20213   maAdju cmadu 20438   ConstPolyMat ccpmat 20508   matToPolyMat cmat2pmat 20509   cPolyMatToMat ccpmat2mat 20510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-srg 18506  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mamu 20190  df-mat 20214  df-cpmat 20511  df-mat2pmat 20512  df-cpmat2mat 20513

This theorem is referenced by:  cpmadumatpoly  20688  chcoeffeqlem  20690