Theorem crctcshtrl 26715

Description: Cyclically shifting the indices of a circuit <. F , P >. results in a trail <. H , Q >.. (Contributed by AV, 14-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
crctcsh.v	|- V = (Vtx ` G )
crctcsh.i	|- I = (iEdg ` G )
crctcsh.d	|- ( ph -> F (Circuits ` G ) P )
crctcsh.n	|- N = ( # ` F )
crctcsh.s	|- ( ph -> S e. ( 0..^ N ) )
crctcsh.h	|- H = ( F cyclShift S )
crctcsh.q	|- Q = ( x e. ( 0 ... N ) |-> if ( x <_ ( N - S ) , ( P ` ( x + S ) ) , ( P ` ( ( x + S ) - N ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
crctcshtrl	|- ( ph -> H (Trails ` G ) Q )

Distinct variable groups:   x, N   x, P   x, S   ph, x   x, F   x, I   x, V

Allowed substitution hints:   Q( x)   G( x)   H( x)

Proof of Theorem crctcshtrl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crctcsh.v	. . 3 |- V = (Vtx ` G )
2		crctcsh.i	. . 3 |- I = (iEdg ` G )
3		crctcsh.d	. . 3 |- ( ph -> F (Circuits ` G ) P )
4		crctcsh.n	. . 3 |- N = ( # ` F )
5		crctcsh.s	. . 3 |- ( ph -> S e. ( 0..^ N ) )
6		crctcsh.h	. . 3 |- H = ( F cyclShift S )
7		crctcsh.q	. . 3 |- Q = ( x e. ( 0 ... N ) |-> if ( x <_ ( N - S ) , ( P ` ( x + S ) ) , ( P ` ( ( x + S ) - N ) ) ) )
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	crctcshwlk 26714	. 2 |- ( ph -> H (Walks ` G ) Q )
9		crctistrl 26690	. . . . 5 |- ( F (Circuits ` G ) P -> F (Trails ` G ) P )
10	2	trlf1 26595	. . . . . 6 |- ( F (Trails ` G ) P -> F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom I )
11		df-f1 5893	. . . . . . 7 |- ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom I <-> ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> dom I /\ Fun `' F ) )
12		iswrdi 13309	. . . . . . . 8 |- ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> dom I -> F e. Word dom I )
13	12	anim1i 592	. . . . . . 7 |- ( ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> dom I /\ Fun `' F ) -> ( F e. Word dom I /\ Fun `' F ) )
14	11, 13	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( F : ( 0..^ ( # ` F ) ) -1-1-> dom I -> ( F e. Word dom I /\ Fun `' F ) )
15	10, 14	syl 17	. . . . 5 |- ( F (Trails ` G ) P -> ( F e. Word dom I /\ Fun `' F ) )
16	3, 9, 15	3syl 18	. . . 4 |- ( ph -> ( F e. Word dom I /\ Fun `' F ) )
17		elfzoelz 12470	. . . . 5 |- ( S e. ( 0..^ N ) -> S e. ZZ )
18	5, 17	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> S e. ZZ )
19		df-3an 1039	. . . 4 |- ( ( F e. Word dom I /\ Fun `' F /\ S e. ZZ ) <-> ( ( F e. Word dom I /\ Fun `' F ) /\ S e. ZZ ) )
20	16, 18, 19	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ph -> ( F e. Word dom I /\ Fun `' F /\ S e. ZZ ) )
21		cshinj 13557	. . 3 |- ( ( F e. Word dom I /\ Fun `' F /\ S e. ZZ ) -> ( H = ( F cyclShift S ) -> Fun `' H ) )
22	20, 6, 21	mpisyl 21	. 2 |- ( ph -> Fun `' H )
23		istrl 26593	. 2 |- ( H (Trails ` G ) Q <-> ( H (Walks ` G ) Q /\ Fun `' H ) )
24	8, 22, 23	sylanbrc 698	1 |- ( ph -> H (Trails ` G ) Q )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   Fun wfun 5882   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   + caddc 9939   <_ cle 10075   - cmin 10266   ZZcz 11377   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Word cword 13291   cyclShift ccsh 13534  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875  Walkscwlks 26492  Trailsctrls 26587  Circuitsccrcts 26679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1013  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-substr 13303  df-csh 13535  df-wlks 26495  df-trls 26589  df-crcts 26681

This theorem is referenced by:  crctcsh  26716  eucrctshift  27103