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Theorem cshweqrep 13567

Description: If cyclically shifting a word by L position results in the word itself, the symbol at any position is repeated at multiples of L (modulo the length of the word) positions in the word. (Contributed by AV, 13-May-2018.) (Revised by AV, 7-Jun-2018.) (Revised by AV, 1-Nov-2018.)

**Assertion**
Ref	Expression
cshweqrep	Word $/\$ cyclShift $/\$ ..^

Distinct variable groups:

Proof of Theorem cshweqrep Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10
2	1	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9
3	2	oveq1d 6665	. . . . . . . 8
4	3	fveq2d 6195	. . . . . . 7
5	4	eqeq2d 2632	. . . . . 6
6	5	imbi2d 330	. . . . 5 Word $/\$ $/\$ cyclShift $/\$ ..^ Word $/\$ $/\$ cyclShift $/\$ ..^
7		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10
8	7	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9
9	8	oveq1d 6665	. . . . . . . 8
10	9	fveq2d 6195	. . . . . . 7
11	10	eqeq2d 2632	. . . . . 6
12	11	imbi2d 330	. . . . 5 Word $/\$ $/\$ cyclShift $/\$ ..^ Word $/\$ $/\$ cyclShift $/\$ ..^
13		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10
14	13	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9
15	14	oveq1d 6665	. . . . . . . 8
16	15	fveq2d 6195	. . . . . . 7
17	16	eqeq2d 2632	. . . . . 6
18	17	imbi2d 330	. . . . 5 Word $/\$ $/\$ cyclShift $/\$ ..^ Word $/\$ $/\$ cyclShift $/\$ ..^
19		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10
20	19	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9
21	20	oveq1d 6665	. . . . . . . 8
22	21	fveq2d 6195	. . . . . . 7
23	22	eqeq2d 2632	. . . . . 6
24	23	imbi2d 330	. . . . 5 Word $/\$ $/\$ cyclShift $/\$ ..^ Word $/\$ $/\$ cyclShift $/\$ ..^
25		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . 13
26	25	mul02d 10234	. . . . . . . . . . . 12
27	26	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 Word $/\$
28	27	adantr 481	. . . . . . . . . 10 Word $/\$ $/\$ cyclShift $/\$ ..^
29	28	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 Word $/\$ $/\$ cyclShift $/\$ ..^
30		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . . 12 ..^
31	30	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11 ..^
32	31	addid1d 10236	. . . . . . . . . 10 ..^
33	32	ad2antll 765	. . . . . . . . 9 Word $/\$ $/\$ cyclShift $/\$ ..^
34	29, 33	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 Word $/\$ $/\$ cyclShift $/\$ ..^
35	34	oveq1d 6665	. . . . . . 7 Word $/\$ $/\$ cyclShift $/\$ ..^
36		zmodidfzoimp 12700	. . . . . . . 8 ..^
37	36	ad2antll 765	. . . . . . 7 Word $/\$ $/\$ cyclShift $/\$ ..^
38	35, 37	eqtr2d 2657	. . . . . 6 Word $/\$ $/\$ cyclShift $/\$ ..^
39	38	fveq2d 6195	. . . . 5 Word $/\$ $/\$ cyclShift $/\$ ..^
40		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . 13 cyclShift cyclShift
41	40	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . 12 cyclShift cyclShift
42	41	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . 11 Word $/\$ $/\$ cyclShift $/\$ ..^ cyclShift
43	42	adantl 482	. . . . . . . . . 10 $/\$ Word $/\$ $/\$ cyclShift $/\$ ..^ cyclShift
44		simprll 802	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Word $/\$ $/\$ cyclShift $/\$ ..^ Word
45		simprlr 803	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Word $/\$ $/\$ cyclShift $/\$ ..^
46		elfzo0 12508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ $/\$ $/\$
47		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
49		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
50		zmulcl 11426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
51	49, 50	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
52	51	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
53		zaddcl 11417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
54	48, 52, 53	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
55		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
56	54, 55	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	56	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
58	57	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	46, 58	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ $/\$ $/\$
60	59	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 cyclShift $/\$ ..^ $/\$ $/\$
61	60	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 cyclShift $/\$ ..^ $/\$
62	61	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 cyclShift $/\$ ..^ $/\$
63	62	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ cyclShift $/\$ ..^ $/\$
64	63	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 Word $/\$ $/\$ cyclShift $/\$ ..^ $/\$
65	64	impcom 446	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ Word $/\$ $/\$ cyclShift $/\$ ..^ $/\$
66		zmodfzo 12693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Word $/\$ $/\$ cyclShift $/\$ ..^ ..^
68		cshwidxmod 13549	. . . . . . . . . . 11 Word $/\$ $/\$ ..^ cyclShift
69	44, 45, 67, 68	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 $/\$ Word $/\$ $/\$ cyclShift $/\$ ..^ cyclShift
70		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
71		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
72		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
73		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
74		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$
75	74	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$
76		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$
77	75, 76	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
78	77	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
79	78	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
80		simprll 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
81		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
82		modaddmod 12709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
83	79, 80, 81, 82	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
84		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
85	84	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
86	74	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$
87	86	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$
88	87	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
89		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
90	89	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$
91	90	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
92	85, 88, 91	addassd 10062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
93		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
94	93	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$
95		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$
96	94, 95, 90	adddird 10065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$
97	89	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
98	97	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$
99	98	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$
100	96, 99	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$
101	100	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
102	101	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
103	92, 102	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
104	103	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
105	104	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
106	83, 105	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
107	106	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
108	73, 107	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
109	108	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
110	109	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
111	71, 72, 110	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
112	111	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
113	70, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
114	113	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
115	114	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
116	46, 115	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ $/\$
117	116	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
118	117	adantld 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^ Word $/\$
119	118	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 cyclShift $/\$ ..^ Word $/\$
120	119	impcom 446	. . . . . . . . . . . 12 Word $/\$ $/\$ cyclShift $/\$ ..^
121	120	impcom 446	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Word $/\$ $/\$ cyclShift $/\$ ..^
122	121	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 $/\$ Word $/\$ $/\$ cyclShift $/\$ ..^
123	43, 69, 122	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 $/\$ Word $/\$ $/\$ cyclShift $/\$ ..^
124	123	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 $/\$ Word $/\$ $/\$ cyclShift $/\$ ..^
125	124	biimpd 219	. . . . . . 7 $/\$ Word $/\$ $/\$ cyclShift $/\$ ..^
126	125	ex 450	. . . . . 6 Word $/\$ $/\$ cyclShift $/\$ ..^
127	126	a2d 29	. . . . 5 Word $/\$ $/\$ cyclShift $/\$ ..^ Word $/\$ $/\$ cyclShift $/\$ ..^
128	6, 12, 18, 24, 39, 127	nn0ind 11472	. . . 4 Word $/\$ $/\$ cyclShift $/\$ ..^
129	128	com12 32	. . 3 Word $/\$ $/\$ cyclShift $/\$ ..^
130	129	ralrimiv 2965	. 2 Word $/\$ $/\$ cyclShift $/\$ ..^
131	130	ex 450	1 Word $/\$ cyclShift $/\$ ..^

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wral 2912 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cn 11020

cn0 11292

cz 11377

crp 11832 ..^cfzo 12465

cmo 12668

chash 13117 Word cword 13291 cyclShift ccsh 13534

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-hash 13118 df-word 13299 df-concat 13301 df-substr 13303 df-csh 13535

This theorem is referenced by: cshw1 13568 cshwsidrepsw 15800

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