Theorem 2cshw 13559

Description: Cyclically shifting a word two times. (Contributed by AV, 7-Apr-2018.) (Revised by AV, 4-Jun-2018.) (Revised by AV, 31-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
2cshw	|- ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( W cyclShift M ) cyclShift N ) = ( W cyclShift ( M + N ) ) )

Proof of Theorem 2cshw

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cshwlen 13545	. . . . 5 |- ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ ) -> ( # ` ( W cyclShift M ) ) = ( # ` W ) )
2	1	3adant3 1081	. . . 4 |- ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( # ` ( W cyclShift M ) ) = ( # ` W ) )
3		cshwcl 13544	. . . . . . 7 |- ( W e. Word V -> ( W cyclShift M ) e. Word V )
4	3	anim1i 592	. . . . . 6 |- ( ( W e. Word V /\ N e. ZZ ) -> ( ( W cyclShift M ) e. Word V /\ N e. ZZ ) )
5	4	3adant2 1080	. . . . 5 |- ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( W cyclShift M ) e. Word V /\ N e. ZZ ) )
6		cshwlen 13545	. . . . 5 |- ( ( ( W cyclShift M ) e. Word V /\ N e. ZZ ) -> ( # ` ( ( W cyclShift M ) cyclShift N ) ) = ( # ` ( W cyclShift M ) ) )
7	5, 6	syl 17	. . . 4 |- ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( # ` ( ( W cyclShift M ) cyclShift N ) ) = ( # ` ( W cyclShift M ) ) )
8		simp1 1061	. . . . . 6 |- ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> W e. Word V )
9		zaddcl 11417	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + N ) e. ZZ )
10	9	3adant1 1079	. . . . . 6 |- ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + N ) e. ZZ )
11	8, 10	jca 554	. . . . 5 |- ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( W e. Word V /\ ( M + N ) e. ZZ ) )
12		cshwlen 13545	. . . . 5 |- ( ( W e. Word V /\ ( M + N ) e. ZZ ) -> ( # ` ( W cyclShift ( M + N ) ) ) = ( # ` W ) )
13	11, 12	syl 17	. . . 4 |- ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( # ` ( W cyclShift ( M + N ) ) ) = ( # ` W ) )
14	2, 7, 13	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( # ` ( ( W cyclShift M ) cyclShift N ) ) = ( # ` ( W cyclShift ( M + N ) ) ) )
15	7, 2	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( # ` ( ( W cyclShift M ) cyclShift N ) ) = ( # ` W ) )
16	15	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0..^ ( # ` ( ( W cyclShift M ) cyclShift N ) ) ) = ( 0..^ ( # ` W ) ) )
17	16	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( i e. ( 0..^ ( # ` ( ( W cyclShift M ) cyclShift N ) ) ) <-> i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ) )
18	3	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( W cyclShift M ) e. Word V )
19	18	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ) -> ( W cyclShift M ) e. Word V )
20		simp3 1063	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
21	20	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ) -> N e. ZZ )
22	2	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( # ` W ) = ( # ` ( W cyclShift M ) ) )
23	22	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0..^ ( # ` W ) ) = ( 0..^ ( # ` ( W cyclShift M ) ) ) )
24	23	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) <-> i e. ( 0..^ ( # ` ( W cyclShift M ) ) ) ) )
25	24	biimpa 501	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ) -> i e. ( 0..^ ( # ` ( W cyclShift M ) ) ) )
26		cshwidxmod 13549	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W cyclShift M ) e. Word V /\ N e. ZZ /\ i e. ( 0..^ ( # ` ( W cyclShift M ) ) ) ) -> ( ( ( W cyclShift M ) cyclShift N ) ` i ) = ( ( W cyclShift M ) ` ( ( i + N ) mod ( # ` ( W cyclShift M ) ) ) ) )
27	19, 21, 25, 26	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ) -> ( ( ( W cyclShift M ) cyclShift N ) ` i ) = ( ( W cyclShift M ) ` ( ( i + N ) mod ( # ` ( W cyclShift M ) ) ) ) )
28	8	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ) -> W e. Word V )
29		simpl2 1065	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ) -> M e. ZZ )
30		elfzo0 12508	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) <-> ( i e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN /\ i < ( # ` W ) ) )
31		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. NN0 -> i e. ZZ )
32	31	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( i e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN ) /\ ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> i e. ZZ )
33	20	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( i e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN ) /\ ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> N e. ZZ )
34	32, 33	zaddcld 11486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( i e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN ) /\ ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( i + N ) e. ZZ )
35		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN ) -> ( # ` W ) e. NN )
36	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( i e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN ) /\ ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( # ` W ) e. NN )
37	34, 36	jca 554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( i e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN ) /\ ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( i + N ) e. ZZ /\ ( # ` W ) e. NN ) )
38	37	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( i e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN ) -> ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( i + N ) e. ZZ /\ ( # ` W ) e. NN ) ) )
39	38	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN /\ i < ( # ` W ) ) -> ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( i + N ) e. ZZ /\ ( # ` W ) e. NN ) ) )
40	30, 39	sylbi 207	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) -> ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( i + N ) e. ZZ /\ ( # ` W ) e. NN ) ) )
41	40	impcom 446	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ) -> ( ( i + N ) e. ZZ /\ ( # ` W ) e. NN ) )
42		zmodfzo 12693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( i + N ) e. ZZ /\ ( # ` W ) e. NN ) -> ( ( i + N ) mod ( # ` W ) ) e. ( 0..^ ( # ` W ) ) )
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ) -> ( ( i + N ) mod ( # ` W ) ) e. ( 0..^ ( # ` W ) ) )
44	2	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( i + N ) mod ( # ` ( W cyclShift M ) ) ) = ( ( i + N ) mod ( # ` W ) ) )
45	44	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( i + N ) mod ( # ` ( W cyclShift M ) ) ) e. ( 0..^ ( # ` W ) ) <-> ( ( i + N ) mod ( # ` W ) ) e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ) )
46	45	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ) -> ( ( ( i + N ) mod ( # ` ( W cyclShift M ) ) ) e. ( 0..^ ( # ` W ) ) <-> ( ( i + N ) mod ( # ` W ) ) e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ) )
47	43, 46	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ) -> ( ( i + N ) mod ( # ` ( W cyclShift M ) ) ) e. ( 0..^ ( # ` W ) ) )
48		cshwidxmod 13549	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ ( ( i + N ) mod ( # ` ( W cyclShift M ) ) ) e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ) -> ( ( W cyclShift M ) ` ( ( i + N ) mod ( # ` ( W cyclShift M ) ) ) ) = ( W ` ( ( ( ( i + N ) mod ( # ` ( W cyclShift M ) ) ) + M ) mod ( # ` W ) ) ) )
49	28, 29, 47, 48	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ) -> ( ( W cyclShift M ) ` ( ( i + N ) mod ( # ` ( W cyclShift M ) ) ) ) = ( W ` ( ( ( ( i + N ) mod ( # ` ( W cyclShift M ) ) ) + M ) mod ( # ` W ) ) ) )
50		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. NN0 -> i e. RR )
51	50	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( i e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> i e. RR )
52		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
53	52	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( i e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> N e. RR )
54	51, 53	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( i e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( i + N ) e. RR )
55		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
56	55	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( i e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> M e. RR )
57		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( # ` W ) e. NN -> ( # ` W ) e. RR+ )
58	57	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN ) -> ( # ` W ) e. RR+ )
59	58	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( i e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( # ` W ) e. RR+ )
60		modaddmod 12709	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( i + N ) e. RR /\ M e. RR /\ ( # ` W ) e. RR+ ) -> ( ( ( ( i + N ) mod ( # ` W ) ) + M ) mod ( # ` W ) ) = ( ( ( i + N ) + M ) mod ( # ` W ) ) )
61	54, 56, 59, 60	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( i e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( ( ( i + N ) mod ( # ` W ) ) + M ) mod ( # ` W ) ) = ( ( ( i + N ) + M ) mod ( # ` W ) ) )
62		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i e. NN0 -> i e. CC )
63	62	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( i e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> i e. CC )
64		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
65	64	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( i e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> M e. CC )
66		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
67	66	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( i e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> N e. CC )
68		add32r 10255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( i e. CC /\ M e. CC /\ N e. CC ) -> ( i + ( M + N ) ) = ( ( i + N ) + M ) )
69	63, 65, 67, 68	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( i e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( i + ( M + N ) ) = ( ( i + N ) + M ) )
70	69	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( i e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( i + N ) + M ) = ( i + ( M + N ) ) )
71	70	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( i e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( ( i + N ) + M ) mod ( # ` W ) ) = ( ( i + ( M + N ) ) mod ( # ` W ) ) )
72	61, 71	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( i e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( ( ( ( i + N ) mod ( # ` W ) ) + M ) mod ( # ` W ) ) = ( ( i + ( M + N ) ) mod ( # ` W ) ) )
73	72	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( ( i + N ) mod ( # ` W ) ) + M ) mod ( # ` W ) ) = ( ( i + ( M + N ) ) mod ( # ` W ) ) ) )
74	73	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( i e. NN0 /\ ( # ` W ) e. NN /\ i < ( # ` W ) ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( ( i + N ) mod ( # ` W ) ) + M ) mod ( # ` W ) ) = ( ( i + ( M + N ) ) mod ( # ` W ) ) ) )
75	30, 74	sylbi 207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) -> ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( ( i + N ) mod ( # ` W ) ) + M ) mod ( # ` W ) ) = ( ( i + ( M + N ) ) mod ( # ` W ) ) ) )
76	75	com12 32	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) -> ( ( ( ( i + N ) mod ( # ` W ) ) + M ) mod ( # ` W ) ) = ( ( i + ( M + N ) ) mod ( # ` W ) ) ) )
77	76	3adant1 1079	. . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) -> ( ( ( ( i + N ) mod ( # ` W ) ) + M ) mod ( # ` W ) ) = ( ( i + ( M + N ) ) mod ( # ` W ) ) ) )
78	77	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ) -> ( ( ( ( i + N ) mod ( # ` W ) ) + M ) mod ( # ` W ) ) = ( ( i + ( M + N ) ) mod ( # ` W ) ) )
79	78	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ) -> ( W ` ( ( ( ( i + N ) mod ( # ` W ) ) + M ) mod ( # ` W ) ) ) = ( W ` ( ( i + ( M + N ) ) mod ( # ` W ) ) ) )
80	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ) -> ( # ` ( W cyclShift M ) ) = ( # ` W ) )
81	80	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ) -> ( ( i + N ) mod ( # ` ( W cyclShift M ) ) ) = ( ( i + N ) mod ( # ` W ) ) )
82	81	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ) -> ( ( ( i + N ) mod ( # ` ( W cyclShift M ) ) ) + M ) = ( ( ( i + N ) mod ( # ` W ) ) + M ) )
83	82	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ) -> ( ( ( ( i + N ) mod ( # ` ( W cyclShift M ) ) ) + M ) mod ( # ` W ) ) = ( ( ( ( i + N ) mod ( # ` W ) ) + M ) mod ( # ` W ) ) )
84	83	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ) -> ( W ` ( ( ( ( i + N ) mod ( # ` ( W cyclShift M ) ) ) + M ) mod ( # ` W ) ) ) = ( W ` ( ( ( ( i + N ) mod ( # ` W ) ) + M ) mod ( # ` W ) ) ) )
85	10	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ) -> ( M + N ) e. ZZ )
86		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ) -> i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) )
87		cshwidxmod 13549	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. Word V /\ ( M + N ) e. ZZ /\ i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ) -> ( ( W cyclShift ( M + N ) ) ` i ) = ( W ` ( ( i + ( M + N ) ) mod ( # ` W ) ) ) )
88	28, 85, 86, 87	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ) -> ( ( W cyclShift ( M + N ) ) ` i ) = ( W ` ( ( i + ( M + N ) ) mod ( # ` W ) ) ) )
89	79, 84, 88	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ) -> ( W ` ( ( ( ( i + N ) mod ( # ` ( W cyclShift M ) ) ) + M ) mod ( # ` W ) ) ) = ( ( W cyclShift ( M + N ) ) ` i ) )
90	27, 49, 89	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ) -> ( ( ( W cyclShift M ) cyclShift N ) ` i ) = ( ( W cyclShift ( M + N ) ) ` i ) )
91	90	ex 450	. . . . 5 |- ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) -> ( ( ( W cyclShift M ) cyclShift N ) ` i ) = ( ( W cyclShift ( M + N ) ) ` i ) ) )
92	17, 91	sylbid 230	. . . 4 |- ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( i e. ( 0..^ ( # ` ( ( W cyclShift M ) cyclShift N ) ) ) -> ( ( ( W cyclShift M ) cyclShift N ) ` i ) = ( ( W cyclShift ( M + N ) ) ` i ) ) )
93	92	ralrimiv 2965	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> A. i e. ( 0..^ ( # ` ( ( W cyclShift M ) cyclShift N ) ) ) ( ( ( W cyclShift M ) cyclShift N ) ` i ) = ( ( W cyclShift ( M + N ) ) ` i ) )
94	14, 93	jca 554	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( # ` ( ( W cyclShift M ) cyclShift N ) ) = ( # ` ( W cyclShift ( M + N ) ) ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` ( ( W cyclShift M ) cyclShift N ) ) ) ( ( ( W cyclShift M ) cyclShift N ) ` i ) = ( ( W cyclShift ( M + N ) ) ` i ) ) )
95		cshwcl 13544	. . . . . 6 |- ( ( W cyclShift M ) e. Word V -> ( ( W cyclShift M ) cyclShift N ) e. Word V )
96	3, 95	syl 17	. . . . 5 |- ( W e. Word V -> ( ( W cyclShift M ) cyclShift N ) e. Word V )
97		cshwcl 13544	. . . . 5 |- ( W e. Word V -> ( W cyclShift ( M + N ) ) e. Word V )
98	96, 97	jca 554	. . . 4 |- ( W e. Word V -> ( ( ( W cyclShift M ) cyclShift N ) e. Word V /\ ( W cyclShift ( M + N ) ) e. Word V ) )
99	98	3ad2ant1 1082	. . 3 |- ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( W cyclShift M ) cyclShift N ) e. Word V /\ ( W cyclShift ( M + N ) ) e. Word V ) )
100		eqwrd 13346	. . 3 |- ( ( ( ( W cyclShift M ) cyclShift N ) e. Word V /\ ( W cyclShift ( M + N ) ) e. Word V ) -> ( ( ( W cyclShift M ) cyclShift N ) = ( W cyclShift ( M + N ) ) <-> ( ( # ` ( ( W cyclShift M ) cyclShift N ) ) = ( # ` ( W cyclShift ( M + N ) ) ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` ( ( W cyclShift M ) cyclShift N ) ) ) ( ( ( W cyclShift M ) cyclShift N ) ` i ) = ( ( W cyclShift ( M + N ) ) ` i ) ) ) )
101	99, 100	syl 17	. 2 |- ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( W cyclShift M ) cyclShift N ) = ( W cyclShift ( M + N ) ) <-> ( ( # ` ( ( W cyclShift M ) cyclShift N ) ) = ( # ` ( W cyclShift ( M + N ) ) ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` ( ( W cyclShift M ) cyclShift N ) ) ) ( ( ( W cyclShift M ) cyclShift N ) ` i ) = ( ( W cyclShift ( M + N ) ) ` i ) ) ) )
102	94, 101	mpbird 247	1 |- ( ( W e. Word V /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( W cyclShift M ) cyclShift N ) = ( W cyclShift ( M + N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   < clt 10074   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   RR+crp 11832  ..^cfzo 12465   mod cmo 12668   #chash 13117  Word cword 13291   cyclShift ccsh 13534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-substr 13303  df-csh 13535

This theorem is referenced by:  2cshwid  13560  2cshwcom  13562  cshweqdif2  13565  2cshwcshw  13571  cshwcshid  13573  cshwcsh2id  13574  cshwshashlem2  15803