Theorem eirrlem 14932

Description: Lemma for eirr 14933. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
eirr.1	|- F = ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ! ` n ) ) )
eirr.2	|- ( ph -> P e. ZZ )
eirr.3	|- ( ph -> Q e. NN )
eirr.4	|- ( ph -> _e = ( P / Q ) )

Assertion

Ref	Expression
eirrlem	|- -. ph

Distinct variable group:   Q, n

Allowed substitution hints:   ph( n)   P( n)   F( n)

Proof of Theorem eirrlem

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esum 14811	. . . . . . . . . 10 |- _e = sum_ k e. NN0 ( 1 / ( ! ` k ) )
2		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( ! ` n ) = ( ! ` k ) )
3	2	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> ( 1 / ( ! ` n ) ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
4		eirr.1	. . . . . . . . . . . 12 |- F = ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ! ` n ) ) )
5		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 / ( ! ` k ) ) e. _V
6	3, 4, 5	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> ( F ` k ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
7	6	sumeq2i 14429	. . . . . . . . . 10 |- sum_ k e. NN0 ( F ` k ) = sum_ k e. NN0 ( 1 / ( ! ` k ) )
8	1, 7	eqtr4i 2647	. . . . . . . . 9 |- _e = sum_ k e. NN0 ( F ` k )
9		nn0uz 11722	. . . . . . . . . 10 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
10		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) )
11		eirr.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Q e. NN )
12	11	peano2nnd 11037	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Q + 1 ) e. NN )
13	12	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q + 1 ) e. NN0 )
14		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
15		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. NN0 -> n e. ZZ )
16		1exp 12889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ZZ -> ( 1 ^ n ) = 1 )
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 -> ( 1 ^ n ) = 1 )
18	17	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN0 -> ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) = ( 1 / ( ! ` n ) ) )
19	18	mpteq2ia 4740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN0 |-> ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( 1 / ( ! ` n ) ) )
20	4, 19	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . 13 |- F = ( n e. NN0 |-> ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
21	20	eftval 14807	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( F ` k ) = ( ( 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
22	21	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( ( 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) )
23		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. CC )
25		eftcl 14804	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
26	24, 25	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( 1 ^ k ) / ( ! ` k ) ) e. CC )
27	22, 26	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. CC )
28	20	efcllem 14808	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 e. CC -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )
29	24, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> seq 0 ( + , F ) e. dom ~~> )
30	9, 10, 13, 14, 27, 29	isumsplit 14572	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ k e. NN0 ( F ` k ) = ( sum_ k e. ( 0 ... ( ( Q + 1 ) - 1 ) ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
31	8, 30	syl5eq 2668	. . . . . . . 8 |- ( ph -> _e = ( sum_ k e. ( 0 ... ( ( Q + 1 ) - 1 ) ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
32	11	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Q e. CC )
33		pncan 10287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Q e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( Q + 1 ) - 1 ) = Q )
34	32, 23, 33	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) - 1 ) = Q )
35	34	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 ... ( ( Q + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... Q ) )
36	35	sumeq1d 14431	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... ( ( Q + 1 ) - 1 ) ) ( F ` k ) = sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) )
37	36	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( ( Q + 1 ) - 1 ) ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
38	31, 37	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ph -> _e = ( sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
39	38	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( _e - sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) = ( ( sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) - sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) )
40		fzfid 12772	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 0 ... Q ) e. Fin )
41		elfznn0 12433	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... Q ) -> k e. NN0 )
42	41, 27	sylan2 491	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
43	40, 42	fsumcl 14464	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) e. CC )
44	6	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
45		faccl 13070	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN )
46	45	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. NN )
47	46	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. RR+ )
48	47	rpreccld 11882	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( 1 / ( ! ` k ) ) e. RR+ )
49	44, 48	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( F ` k ) e. RR+ )
50	9, 10, 13, 14, 49, 29	isumrpcl 14575	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) e. RR+ )
51	50	rpred 11872	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) e. RR )
52	51	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) e. CC )
53	43, 52	pncan2d 10394	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) - sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) )
54	39, 53	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ph -> ( _e - sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) )
55	54	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. ( _e - sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) = ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
56	11	nnnn0d 11351	. . . . . . 7 |- ( ph -> Q e. NN0 )
57		faccl 13070	. . . . . . 7 |- ( Q e. NN0 -> ( ! ` Q ) e. NN )
58	56, 57	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ! ` Q ) e. NN )
59	58	nncnd 11036	. . . . 5 |- ( ph -> ( ! ` Q ) e. CC )
60		ere 14819	. . . . . . 7 |- _e e. RR
61	60	recni 10052	. . . . . 6 |- _e e. CC
62	61	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> _e e. CC )
63	59, 62, 43	subdid 10486	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. ( _e - sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) = ( ( ( ! ` Q ) x. _e ) - ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) )
64	55, 63	eqtr3d 2658	. . 3 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) = ( ( ( ! ` Q ) x. _e ) - ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) )
65		eirr.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> _e = ( P / Q ) )
66	65	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. _e ) = ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) )
67		eirr.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. ZZ )
68	67	zcnd 11483	. . . . . . 7 |- ( ph -> P e. CC )
69	11	nnne0d 11065	. . . . . . 7 |- ( ph -> Q =/= 0 )
70	59, 68, 32, 69	div12d 10837	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. ( P / Q ) ) = ( P x. ( ( ! ` Q ) / Q ) ) )
71	66, 70	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. _e ) = ( P x. ( ( ! ` Q ) / Q ) ) )
72	11	nnred 11035	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Q e. RR )
73	72	leidd 10594	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Q <_ Q )
74		facdiv 13074	. . . . . . . 8 |- ( ( Q e. NN0 /\ Q e. NN /\ Q <_ Q ) -> ( ( ! ` Q ) / Q ) e. NN )
75	56, 11, 73, 74	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) / Q ) e. NN )
76	75	nnzd 11481	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) / Q ) e. ZZ )
77	67, 76	zmulcld 11488	. . . . 5 |- ( ph -> ( P x. ( ( ! ` Q ) / Q ) ) e. ZZ )
78	71, 77	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. _e ) e. ZZ )
79	40, 59, 42	fsummulc2 14516	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( ( ! ` Q ) x. ( F ` k ) ) )
80	41	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> k e. NN0 )
81	80, 6	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( F ` k ) = ( 1 / ( ! ` k ) ) )
82	81	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ( ! ` Q ) x. ( F ` k ) ) = ( ( ! ` Q ) x. ( 1 / ( ! ` k ) ) ) )
83	59	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ! ` Q ) e. CC )
84	41, 46	sylan2 491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ! ` k ) e. NN )
85	84	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ! ` k ) e. CC )
86		facne0 13073	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) =/= 0 )
87	80, 86	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ! ` k ) =/= 0 )
88	83, 85, 87	divrecd 10804	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ( ! ` Q ) / ( ! ` k ) ) = ( ( ! ` Q ) x. ( 1 / ( ! ` k ) ) ) )
89	82, 88	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ( ! ` Q ) x. ( F ` k ) ) = ( ( ! ` Q ) / ( ! ` k ) ) )
90		permnn 13113	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... Q ) -> ( ( ! ` Q ) / ( ! ` k ) ) e. NN )
91	90	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ( ! ` Q ) / ( ! ` k ) ) e. NN )
92	89, 91	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ( ! ` Q ) x. ( F ` k ) ) e. NN )
93	92	nnzd 11481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... Q ) ) -> ( ( ! ` Q ) x. ( F ` k ) ) e. ZZ )
94	40, 93	fsumzcl 14466	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( ( ! ` Q ) x. ( F ` k ) ) e. ZZ )
95	79, 94	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) e. ZZ )
96	78, 95	zsubcld 11487	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ! ` Q ) x. _e ) - ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( 0 ... Q ) ( F ` k ) ) ) e. ZZ )
97	64, 96	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) e. ZZ )
98		0zd 11389	. . 3 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
99	58	nnrpd 11870	. . . . 5 |- ( ph -> ( ! ` Q ) e. RR+ )
100	99, 50	rpmulcld 11888	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) e. RR+ )
101	100	rpgt0d 11875	. . 3 |- ( ph -> 0 < ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
102	12	peano2nnd 11037	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + 1 ) e. NN )
103	102	nnred 11035	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + 1 ) e. RR )
104		faccl 13070	. . . . . . . . 9 |- ( ( Q + 1 ) e. NN0 -> ( ! ` ( Q + 1 ) ) e. NN )
105	13, 104	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ! ` ( Q + 1 ) ) e. NN )
106	105, 12	nnmulcld 11068	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) e. NN )
107	103, 106	nndivred 11069	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) e. RR )
108	58	nnrecred 11066	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 / ( ! ` Q ) ) e. RR )
109		abs1 14037	. . . . . . . . . . . 12 |- ( abs ` 1 ) = 1
110	109	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` 1 ) ^ n ) = ( 1 ^ n )
111	110	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` 1 ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) = ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) )
112	111	mpteq2i 4741	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` 1 ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( 1 ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
113	20, 112	eqtr4i 2647	. . . . . . . 8 |- F = ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` 1 ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
114		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) / ( ! ` ( Q + 1 ) ) ) x. ( ( 1 / ( ( Q + 1 ) + 1 ) ) ^ n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) / ( ! ` ( Q + 1 ) ) ) x. ( ( 1 / ( ( Q + 1 ) + 1 ) ) ^ n ) ) )
115		1le1 10655	. . . . . . . . . 10 |- 1 <_ 1
116	109, 115	eqbrtri 4674	. . . . . . . . 9 |- ( abs ` 1 ) <_ 1
117	116	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` 1 ) <_ 1 )
118	20, 113, 114, 12, 24, 117	eftlub 14839	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) <_ ( ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) x. ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) ) )
119	50	rprege0d 11879	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) e. RR /\ 0 <_ sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) )
120		absid 14036	. . . . . . . 8 |- ( ( sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) e. RR /\ 0 <_ sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) )
121	119, 120	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) )
122	109	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) = ( 1 ^ ( Q + 1 ) )
123	12	nnzd 11481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Q + 1 ) e. ZZ )
124		1exp 12889	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Q + 1 ) e. ZZ -> ( 1 ^ ( Q + 1 ) ) = 1 )
125	123, 124	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 ^ ( Q + 1 ) ) = 1 )
126	122, 125	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) = 1 )
127	126	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) x. ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) ) = ( 1 x. ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) ) )
128	107	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) e. CC )
129	128	mulid2d 10058	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 x. ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) ) = ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) )
130	127, 129	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( abs ` 1 ) ^ ( Q + 1 ) ) x. ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) ) = ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) )
131	118, 121, 130	3brtr3d 4684	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) <_ ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) )
132	12	nnred 11035	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q + 1 ) e. RR )
133	132, 132	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + ( Q + 1 ) ) e. RR )
134	132, 132	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) e. RR )
135		1red 10055	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. RR )
136	11	nnge1d 11063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 <_ Q )
137		1nn 11031	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. NN
138		nnleltp1 11432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. NN /\ Q e. NN ) -> ( 1 <_ Q <-> 1 < ( Q + 1 ) ) )
139	137, 11, 138	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 <_ Q <-> 1 < ( Q + 1 ) ) )
140	136, 139	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 < ( Q + 1 ) )
141	135, 132, 132, 140	ltadd2dd 10196	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + 1 ) < ( ( Q + 1 ) + ( Q + 1 ) ) )
142	12	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Q + 1 ) e. CC )
143	142	2timesd 11275	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. ( Q + 1 ) ) = ( ( Q + 1 ) + ( Q + 1 ) ) )
144		df-2 11079	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 = ( 1 + 1 )
145	135, 72, 135, 136	leadd1dd 10641	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 + 1 ) <_ ( Q + 1 ) )
146	144, 145	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 2 <_ ( Q + 1 ) )
147		2re 11090	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR
148	147	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 2 e. RR )
149	12	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < ( Q + 1 ) )
150		lemul1 10875	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. RR /\ ( Q + 1 ) e. RR /\ ( ( Q + 1 ) e. RR /\ 0 < ( Q + 1 ) ) ) -> ( 2 <_ ( Q + 1 ) <-> ( 2 x. ( Q + 1 ) ) <_ ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) ) )
151	148, 132, 132, 149, 150	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 2 <_ ( Q + 1 ) <-> ( 2 x. ( Q + 1 ) ) <_ ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) ) )
152	146, 151	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. ( Q + 1 ) ) <_ ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) )
153	143, 152	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + ( Q + 1 ) ) <_ ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) )
154	103, 133, 134, 141, 153	ltletrd 10197	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + 1 ) < ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) )
155		facp1 13065	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Q e. NN0 -> ( ! ` ( Q + 1 ) ) = ( ( ! ` Q ) x. ( Q + 1 ) ) )
156	56, 155	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ! ` ( Q + 1 ) ) = ( ( ! ` Q ) x. ( Q + 1 ) ) )
157	156	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) / ( ! ` Q ) ) = ( ( ( ! ` Q ) x. ( Q + 1 ) ) / ( ! ` Q ) ) )
158	105	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ! ` ( Q + 1 ) ) e. CC )
159	58	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ! ` Q ) =/= 0 )
160	158, 59, 159	divrecd 10804	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) / ( ! ` Q ) ) = ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) )
161	142, 59, 159	divcan3d 10806	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ! ` Q ) x. ( Q + 1 ) ) / ( ! ` Q ) ) = ( Q + 1 ) )
162	157, 160, 161	3eqtr3rd 2665	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Q + 1 ) = ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) )
163	162	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) = ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) x. ( Q + 1 ) ) )
164	108	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 / ( ! ` Q ) ) e. CC )
165	158, 164, 142	mul32d 10246	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) x. ( Q + 1 ) ) = ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) )
166	163, 165	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) x. ( Q + 1 ) ) = ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) )
167	154, 166	breqtrd 4679	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Q + 1 ) + 1 ) < ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) )
168	106	nnred 11035	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) e. RR )
169	106	nngt0d 11064	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) )
170		ltdivmul 10898	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) e. RR /\ ( 1 / ( ! ` Q ) ) e. RR /\ ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) e. RR /\ 0 < ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) ) -> ( ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) < ( 1 / ( ! ` Q ) ) <-> ( ( Q + 1 ) + 1 ) < ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) ) )
171	103, 108, 168, 169, 170	syl112anc 1330	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) < ( 1 / ( ! ` Q ) ) <-> ( ( Q + 1 ) + 1 ) < ( ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) x. ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) ) )
172	167, 171	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( Q + 1 ) + 1 ) / ( ( ! ` ( Q + 1 ) ) x. ( Q + 1 ) ) ) < ( 1 / ( ! ` Q ) ) )
173	51, 107, 108, 131, 172	lelttrd 10195	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) < ( 1 / ( ! ` Q ) ) )
174	51, 135, 99	ltmuldiv2d 11920	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) < 1 <-> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) < ( 1 / ( ! ` Q ) ) ) )
175	173, 174	mpbird 247	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) < 1 )
176		0p1e1 11132	. . . 4 |- ( 0 + 1 ) = 1
177	175, 176	syl6breqr 4695	. . 3 |- ( ph -> ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) < ( 0 + 1 ) )
178		btwnnz 11453	. . 3 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 0 < ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) /\ ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) < ( 0 + 1 ) ) -> -. ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) e. ZZ )
179	98, 101, 177, 178	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> -. ( ( ! ` Q ) x. sum_ k e. ( ZZ>= ` ( Q + 1 ) ) ( F ` k ) ) e. ZZ )
180	97, 179	pm2.65i 185	1 |- -. ph

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   seqcseq 12801   ^cexp 12860   !cfa 13060   abscabs 13974   ~~> cli 14215   sum_csu 14416   _eceu 14793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799

This theorem is referenced by:  eirr  14933