Theorem digit1 12998

Description: Two ways to express the K th digit in the decimal expansion of a number A (when base B = 1 0). K = 1 corresponds to the first digit after the decimal point. (Contributed by NM, 3-Jan-2009.)

Assertion

Ref	Expression
digit1	|- ( ( A e. RR /\ B e. NN /\ K e. NN ) -> ( ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) mod B ) = ( ( ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) mod ( B ^ K ) ) - ( ( B x. ( |_ ` ( ( B ^ ( K - 1 ) ) x. A ) ) ) mod ( B ^ K ) ) ) )

Proof of Theorem digit1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		digit2 12997	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. NN /\ K e. NN ) -> ( ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) mod B ) = ( ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) - ( B x. ( |_ ` ( ( B ^ ( K - 1 ) ) x. A ) ) ) ) )
2	1	3coml 1272	. . . . . 6 |- ( ( B e. NN /\ K e. NN /\ A e. RR ) -> ( ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) mod B ) = ( ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) - ( B x. ( |_ ` ( ( B ^ ( K - 1 ) ) x. A ) ) ) ) )
3	2	3expa 1265	. . . . 5 |- ( ( ( B e. NN /\ K e. NN ) /\ A e. RR ) -> ( ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) mod B ) = ( ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) - ( B x. ( |_ ` ( ( B ^ ( K - 1 ) ) x. A ) ) ) ) )
4	3	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ( B e. NN /\ K e. NN ) /\ A e. RR ) -> ( ( ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) mod B ) mod ( B ^ K ) ) = ( ( ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) - ( B x. ( |_ ` ( ( B ^ ( K - 1 ) ) x. A ) ) ) ) mod ( B ^ K ) ) )
5		nnre 11027	. . . . . . . . 9 |- ( B e. NN -> B e. RR )
6		nnnn0 11299	. . . . . . . . 9 |- ( K e. NN -> K e. NN0 )
7		reexpcl 12877	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR /\ K e. NN0 ) -> ( B ^ K ) e. RR )
8	5, 6, 7	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. NN /\ K e. NN ) -> ( B ^ K ) e. RR )
9		remulcl 10021	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B ^ K ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( B ^ K ) x. A ) e. RR )
10	8, 9	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. NN /\ K e. NN ) /\ A e. RR ) -> ( ( B ^ K ) x. A ) e. RR )
11		reflcl 12597	. . . . . . 7 |- ( ( ( B ^ K ) x. A ) e. RR -> ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) e. RR )
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. NN /\ K e. NN ) /\ A e. RR ) -> ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) e. RR )
13		nnrp 11842	. . . . . . 7 |- ( B e. NN -> B e. RR+ )
14	13	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. NN /\ K e. NN ) /\ A e. RR ) -> B e. RR+ )
15	12, 14	modcld 12674	. . . . 5 |- ( ( ( B e. NN /\ K e. NN ) /\ A e. RR ) -> ( ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) mod B ) e. RR )
16		nnexpcl 12873	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. NN /\ K e. NN0 ) -> ( B ^ K ) e. NN )
17	6, 16	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( B e. NN /\ K e. NN ) -> ( B ^ K ) e. NN )
18	17	nnrpd 11870	. . . . . 6 |- ( ( B e. NN /\ K e. NN ) -> ( B ^ K ) e. RR+ )
19	18	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( B e. NN /\ K e. NN ) /\ A e. RR ) -> ( B ^ K ) e. RR+ )
20		modge0 12678	. . . . . 6 |- ( ( ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) e. RR /\ B e. RR+ ) -> 0 <_ ( ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) mod B ) )
21	12, 14, 20	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( B e. NN /\ K e. NN ) /\ A e. RR ) -> 0 <_ ( ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) mod B ) )
22	5	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. NN /\ K e. NN ) /\ A e. RR ) -> B e. RR )
23	8	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. NN /\ K e. NN ) /\ A e. RR ) -> ( B ^ K ) e. RR )
24		modlt 12679	. . . . . . 7 |- ( ( ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) e. RR /\ B e. RR+ ) -> ( ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) mod B ) < B )
25	12, 14, 24	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. NN /\ K e. NN ) /\ A e. RR ) -> ( ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) mod B ) < B )
26		nncn 11028	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. NN -> B e. CC )
27		exp1 12866	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. CC -> ( B ^ 1 ) = B )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( B e. NN -> ( B ^ 1 ) = B )
29	28	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. NN /\ K e. NN ) -> ( B ^ 1 ) = B )
30	5	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. NN /\ K e. NN ) -> B e. RR )
31		nnge1 11046	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. NN -> 1 <_ B )
32	31	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. NN /\ K e. NN ) -> 1 <_ B )
33		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. NN /\ K e. NN ) -> K e. NN )
34		nnuz 11723	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
35	33, 34	syl6eleq 2711	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. NN /\ K e. NN ) -> K e. ( ZZ>= ` 1 ) )
36		leexp2a 12916	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR /\ 1 <_ B /\ K e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( B ^ 1 ) <_ ( B ^ K ) )
37	30, 32, 35, 36	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. NN /\ K e. NN ) -> ( B ^ 1 ) <_ ( B ^ K ) )
38	29, 37	eqbrtrrd 4677	. . . . . . 7 |- ( ( B e. NN /\ K e. NN ) -> B <_ ( B ^ K ) )
39	38	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. NN /\ K e. NN ) /\ A e. RR ) -> B <_ ( B ^ K ) )
40	15, 22, 23, 25, 39	ltletrd 10197	. . . . 5 |- ( ( ( B e. NN /\ K e. NN ) /\ A e. RR ) -> ( ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) mod B ) < ( B ^ K ) )
41		modid 12695	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) mod B ) e. RR /\ ( B ^ K ) e. RR+ ) /\ ( 0 <_ ( ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) mod B ) /\ ( ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) mod B ) < ( B ^ K ) ) ) -> ( ( ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) mod B ) mod ( B ^ K ) ) = ( ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) mod B ) )
42	15, 19, 21, 40, 41	syl22anc 1327	. . . 4 |- ( ( ( B e. NN /\ K e. NN ) /\ A e. RR ) -> ( ( ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) mod B ) mod ( B ^ K ) ) = ( ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) mod B ) )
43		simpll 790	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. NN /\ K e. NN ) /\ A e. RR ) -> B e. NN )
44		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . 9 |- ( K e. NN -> ( K - 1 ) e. NN0 )
45		reexpcl 12877	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR /\ ( K - 1 ) e. NN0 ) -> ( B ^ ( K - 1 ) ) e. RR )
46	5, 44, 45	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. NN /\ K e. NN ) -> ( B ^ ( K - 1 ) ) e. RR )
47		remulcl 10021	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B ^ ( K - 1 ) ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( B ^ ( K - 1 ) ) x. A ) e. RR )
48	46, 47	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. NN /\ K e. NN ) /\ A e. RR ) -> ( ( B ^ ( K - 1 ) ) x. A ) e. RR )
49		nnexpcl 12873	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. NN /\ ( K - 1 ) e. NN0 ) -> ( B ^ ( K - 1 ) ) e. NN )
50	44, 49	sylan2 491	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. NN /\ K e. NN ) -> ( B ^ ( K - 1 ) ) e. NN )
51	50	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. NN /\ K e. NN ) /\ A e. RR ) -> ( B ^ ( K - 1 ) ) e. NN )
52		modmulnn 12688	. . . . . . 7 |- ( ( B e. NN /\ ( ( B ^ ( K - 1 ) ) x. A ) e. RR /\ ( B ^ ( K - 1 ) ) e. NN ) -> ( ( B x. ( |_ ` ( ( B ^ ( K - 1 ) ) x. A ) ) ) mod ( B x. ( B ^ ( K - 1 ) ) ) ) <_ ( ( |_ ` ( B x. ( ( B ^ ( K - 1 ) ) x. A ) ) ) mod ( B x. ( B ^ ( K - 1 ) ) ) ) )
53	43, 48, 51, 52	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. NN /\ K e. NN ) /\ A e. RR ) -> ( ( B x. ( |_ ` ( ( B ^ ( K - 1 ) ) x. A ) ) ) mod ( B x. ( B ^ ( K - 1 ) ) ) ) <_ ( ( |_ ` ( B x. ( ( B ^ ( K - 1 ) ) x. A ) ) ) mod ( B x. ( B ^ ( K - 1 ) ) ) ) )
54		expm1t 12888	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. CC /\ K e. NN ) -> ( B ^ K ) = ( ( B ^ ( K - 1 ) ) x. B ) )
55		expcl 12878	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. CC /\ ( K - 1 ) e. NN0 ) -> ( B ^ ( K - 1 ) ) e. CC )
56	44, 55	sylan2 491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. CC /\ K e. NN ) -> ( B ^ ( K - 1 ) ) e. CC )
57		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. CC /\ K e. NN ) -> B e. CC )
58	56, 57	mulcomd 10061	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. CC /\ K e. NN ) -> ( ( B ^ ( K - 1 ) ) x. B ) = ( B x. ( B ^ ( K - 1 ) ) ) )
59	54, 58	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. CC /\ K e. NN ) -> ( B ^ K ) = ( B x. ( B ^ ( K - 1 ) ) ) )
60	26, 59	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. NN /\ K e. NN ) -> ( B ^ K ) = ( B x. ( B ^ ( K - 1 ) ) ) )
61	60	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. NN /\ K e. NN ) /\ A e. RR ) -> ( B ^ K ) = ( B x. ( B ^ ( K - 1 ) ) ) )
62	61	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. NN /\ K e. NN ) /\ A e. RR ) -> ( ( B x. ( |_ ` ( ( B ^ ( K - 1 ) ) x. A ) ) ) mod ( B ^ K ) ) = ( ( B x. ( |_ ` ( ( B ^ ( K - 1 ) ) x. A ) ) ) mod ( B x. ( B ^ ( K - 1 ) ) ) ) )
63	61	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. NN /\ K e. NN ) /\ A e. RR ) -> ( ( B ^ K ) x. A ) = ( ( B x. ( B ^ ( K - 1 ) ) ) x. A ) )
64	26	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. NN /\ K e. NN ) /\ A e. RR ) -> B e. CC )
65	26, 44, 55	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. NN /\ K e. NN ) -> ( B ^ ( K - 1 ) ) e. CC )
66	65	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. NN /\ K e. NN ) /\ A e. RR ) -> ( B ^ ( K - 1 ) ) e. CC )
67		recn 10026	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR -> A e. CC )
68	67	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. NN /\ K e. NN ) /\ A e. RR ) -> A e. CC )
69	64, 66, 68	mulassd 10063	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. NN /\ K e. NN ) /\ A e. RR ) -> ( ( B x. ( B ^ ( K - 1 ) ) ) x. A ) = ( B x. ( ( B ^ ( K - 1 ) ) x. A ) ) )
70	63, 69	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. NN /\ K e. NN ) /\ A e. RR ) -> ( ( B ^ K ) x. A ) = ( B x. ( ( B ^ ( K - 1 ) ) x. A ) ) )
71	70	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. NN /\ K e. NN ) /\ A e. RR ) -> ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) = ( |_ ` ( B x. ( ( B ^ ( K - 1 ) ) x. A ) ) ) )
72	71, 61	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. NN /\ K e. NN ) /\ A e. RR ) -> ( ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) mod ( B ^ K ) ) = ( ( |_ ` ( B x. ( ( B ^ ( K - 1 ) ) x. A ) ) ) mod ( B x. ( B ^ ( K - 1 ) ) ) ) )
73	53, 62, 72	3brtr4d 4685	. . . . 5 |- ( ( ( B e. NN /\ K e. NN ) /\ A e. RR ) -> ( ( B x. ( |_ ` ( ( B ^ ( K - 1 ) ) x. A ) ) ) mod ( B ^ K ) ) <_ ( ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) mod ( B ^ K ) ) )
74		reflcl 12597	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B ^ ( K - 1 ) ) x. A ) e. RR -> ( |_ ` ( ( B ^ ( K - 1 ) ) x. A ) ) e. RR )
75	48, 74	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. NN /\ K e. NN ) /\ A e. RR ) -> ( |_ ` ( ( B ^ ( K - 1 ) ) x. A ) ) e. RR )
76		remulcl 10021	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ ( |_ ` ( ( B ^ ( K - 1 ) ) x. A ) ) e. RR ) -> ( B x. ( |_ ` ( ( B ^ ( K - 1 ) ) x. A ) ) ) e. RR )
77	22, 75, 76	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. NN /\ K e. NN ) /\ A e. RR ) -> ( B x. ( |_ ` ( ( B ^ ( K - 1 ) ) x. A ) ) ) e. RR )
78		modsubdir 12739	. . . . . 6 |- ( ( ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) e. RR /\ ( B x. ( |_ ` ( ( B ^ ( K - 1 ) ) x. A ) ) ) e. RR /\ ( B ^ K ) e. RR+ ) -> ( ( ( B x. ( |_ ` ( ( B ^ ( K - 1 ) ) x. A ) ) ) mod ( B ^ K ) ) <_ ( ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) mod ( B ^ K ) ) <-> ( ( ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) - ( B x. ( |_ ` ( ( B ^ ( K - 1 ) ) x. A ) ) ) ) mod ( B ^ K ) ) = ( ( ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) mod ( B ^ K ) ) - ( ( B x. ( |_ ` ( ( B ^ ( K - 1 ) ) x. A ) ) ) mod ( B ^ K ) ) ) ) )
79	12, 77, 19, 78	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( B e. NN /\ K e. NN ) /\ A e. RR ) -> ( ( ( B x. ( |_ ` ( ( B ^ ( K - 1 ) ) x. A ) ) ) mod ( B ^ K ) ) <_ ( ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) mod ( B ^ K ) ) <-> ( ( ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) - ( B x. ( |_ ` ( ( B ^ ( K - 1 ) ) x. A ) ) ) ) mod ( B ^ K ) ) = ( ( ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) mod ( B ^ K ) ) - ( ( B x. ( |_ ` ( ( B ^ ( K - 1 ) ) x. A ) ) ) mod ( B ^ K ) ) ) ) )
80	73, 79	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( ( B e. NN /\ K e. NN ) /\ A e. RR ) -> ( ( ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) - ( B x. ( |_ ` ( ( B ^ ( K - 1 ) ) x. A ) ) ) ) mod ( B ^ K ) ) = ( ( ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) mod ( B ^ K ) ) - ( ( B x. ( |_ ` ( ( B ^ ( K - 1 ) ) x. A ) ) ) mod ( B ^ K ) ) ) )
81	4, 42, 80	3eqtr3d 2664	. . 3 |- ( ( ( B e. NN /\ K e. NN ) /\ A e. RR ) -> ( ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) mod B ) = ( ( ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) mod ( B ^ K ) ) - ( ( B x. ( |_ ` ( ( B ^ ( K - 1 ) ) x. A ) ) ) mod ( B ^ K ) ) ) )
82	81	3impa 1259	. 2 |- ( ( B e. NN /\ K e. NN /\ A e. RR ) -> ( ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) mod B ) = ( ( ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) mod ( B ^ K ) ) - ( ( B x. ( |_ ` ( ( B ^ ( K - 1 ) ) x. A ) ) ) mod ( B ^ K ) ) ) )
83	82	3comr 1273	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. NN /\ K e. NN ) -> ( ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) mod B ) = ( ( ( |_ ` ( ( B ^ K ) x. A ) ) mod ( B ^ K ) ) - ( ( B x. ( |_ ` ( ( B ^ ( K - 1 ) ) x. A ) ) ) mod ( B ^ K ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   |_cfl 12591   mod cmo 12668   ^cexp 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861

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