Theorem dprd2d2 18443

Description: The direct product of a collection of direct products. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprd2d2.1	|- ( ( ph /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) -> S e. (SubGrp ` G ) )
dprd2d2.2	|- ( ( ph /\ i e. I ) -> G dom DProd ( j e. J |-> S ) )
dprd2d2.3	|- ( ph -> G dom DProd ( i e. I |-> ( G DProd ( j e. J |-> S ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dprd2d2	|- ( ph -> ( G dom DProd ( i e. I , j e. J |-> S ) /\ ( G DProd ( i e. I , j e. J |-> S ) ) = ( G DProd ( i e. I |-> ( G DProd ( j e. J |-> S ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   i, j, G   i, I, j   j, J   ph, i, j

Allowed substitution hints:   S( i, j)   J( i)

Proof of Theorem dprd2d2

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 5227	. . . . . 6 |- Rel ( { i } X. J )
2	1	rgenw 2924	. . . . 5 |- A. i e. I Rel ( { i } X. J )
3		reliun 5239	. . . . 5 |- ( Rel U_ i e. I ( { i } X. J ) <-> A. i e. I Rel ( { i } X. J ) )
4	2, 3	mpbir 221	. . . 4 |- Rel U_ i e. I ( { i } X. J )
5	4	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> Rel U_ i e. I ( { i } X. J ) )
6		dprd2d2.1	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) -> S e. (SubGrp ` G ) )
7	6	ralrimivva 2971	. . . 4 |- ( ph -> A. i e. I A. j e. J S e. (SubGrp ` G ) )
8		eqid 2622	. . . . 5 |- ( i e. I , j e. J |-> S ) = ( i e. I , j e. J |-> S )
9	8	fmpt2x 7236	. . . 4 |- ( A. i e. I A. j e. J S e. (SubGrp ` G ) <-> ( i e. I , j e. J |-> S ) : U_ i e. I ( { i } X. J ) --> (SubGrp ` G ) )
10	7, 9	sylib 208	. . 3 |- ( ph -> ( i e. I , j e. J |-> S ) : U_ i e. I ( { i } X. J ) --> (SubGrp ` G ) )
11		dmiun 5333	. . . 4 |- dom U_ i e. I ( { i } X. J ) = U_ i e. I dom ( { i } X. J )
12		dmxpss 5565	. . . . . . 7 |- dom ( { i } X. J ) C_ { i }
13		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> i e. I )
14	13	snssd 4340	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> { i } C_ I )
15	12, 14	syl5ss 3614	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> dom ( { i } X. J ) C_ I )
16	15	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. i e. I dom ( { i } X. J ) C_ I )
17		iunss 4561	. . . . 5 |- ( U_ i e. I dom ( { i } X. J ) C_ I <-> A. i e. I dom ( { i } X. J ) C_ I )
18	16, 17	sylibr 224	. . . 4 |- ( ph -> U_ i e. I dom ( { i } X. J ) C_ I )
19	11, 18	syl5eqss 3649	. . 3 |- ( ph -> dom U_ i e. I ( { i } X. J ) C_ I )
20		dprd2d2.2	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> G dom DProd ( j e. J |-> S ) )
21		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) -> i e. I )
22		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) -> j e. J )
23	8	ovmpt4g 6783	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. I /\ j e. J /\ S e. (SubGrp ` G ) ) -> ( i ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) = S )
24	21, 22, 6, 23	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) -> ( i ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) = S )
25	24	anassrs 680	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ i e. I ) /\ j e. J ) -> ( i ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) = S )
26	25	mpteq2dva 4744	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( j e. J |-> ( i ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) = ( j e. J |-> S ) )
27	20, 26	breqtrrd 4681	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> G dom DProd ( j e. J |-> ( i ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) )
28	27	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. i e. I G dom DProd ( j e. J |-> ( i ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) )
29		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ i G
30		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ i dom DProd
31		nfcsb1v 3549	. . . . . . . 8 |- F/_ i [_ x / i ]_ J
32		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ i x
33		nfmpt21 6722	. . . . . . . . 9 |- F/_ i ( i e. I , j e. J |-> S )
34		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ i j
35	32, 33, 34	nfov 6676	. . . . . . . 8 |- F/_ i ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) j )
36	31, 35	nfmpt 4746	. . . . . . 7 |- F/_ i ( j e. [_ x / i ]_ J |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) )
37	29, 30, 36	nfbr 4699	. . . . . 6 |- F/ i G dom DProd ( j e. [_ x / i ]_ J |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) )
38		csbeq1a 3542	. . . . . . . 8 |- ( i = x -> J = [_ x / i ]_ J )
39		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( i = x -> ( i ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) = ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) )
40	38, 39	mpteq12dv 4733	. . . . . . 7 |- ( i = x -> ( j e. J |-> ( i ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) = ( j e. [_ x / i ]_ J |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) )
41	40	breq2d 4665	. . . . . 6 |- ( i = x -> ( G dom DProd ( j e. J |-> ( i ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) <-> G dom DProd ( j e. [_ x / i ]_ J |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) ) )
42	37, 41	rspc 3303	. . . . 5 |- ( x e. I -> ( A. i e. I G dom DProd ( j e. J |-> ( i ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) -> G dom DProd ( j e. [_ x / i ]_ J |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) ) )
43	28, 42	mpan9 486	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> G dom DProd ( j e. [_ x / i ]_ J |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) )
44		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ y ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) j )
45		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ j x
46		nfmpt22 6723	. . . . . . 7 |- F/_ j ( i e. I , j e. J |-> S )
47		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ j y
48	45, 46, 47	nfov 6676	. . . . . 6 |- F/_ j ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) y )
49		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( j = y -> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) = ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) y ) )
50	44, 48, 49	cbvmpt 4749	. . . . 5 |- ( j e. [_ x / i ]_ J |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) = ( y e. [_ x / i ]_ J |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) y ) )
51		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ i j = z
52	31	nfcri 2758	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ i j e. [_ x / i ]_ J
53	51, 52	nfan 1828	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ i ( j = z /\ j e. [_ x / i ]_ J )
54	38	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = x -> ( j e. J <-> j e. [_ x / i ]_ J ) )
55	54	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = x -> ( ( j = z /\ j e. J ) <-> ( j = z /\ j e. [_ x / i ]_ J ) ) )
56	53, 55	equsexv 2109	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. i ( i = x /\ ( j = z /\ j e. J ) ) <-> ( j = z /\ j e. [_ x / i ]_ J ) )
57		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ ( i = x /\ j = z ) ) -> i = x )
58		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ ( i = x /\ j = z ) ) -> x e. I )
59	57, 58	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ ( i = x /\ j = z ) ) -> i e. I )
60	59	biantrurd 529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ ( i = x /\ j = z ) ) -> ( j e. J <-> ( i e. I /\ j e. J ) ) )
61	60	pm5.32da 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( ( ( i = x /\ j = z ) /\ j e. J ) <-> ( ( i = x /\ j = z ) /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) ) )
62		anass 681	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( i = x /\ j = z ) /\ j e. J ) <-> ( i = x /\ ( j = z /\ j e. J ) ) )
63		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( <. x , z >. = <. i , j >. <-> <. i , j >. = <. x , z >. )
64		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- i e. _V
65		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- j e. _V
66	64, 65	opth 4945	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( <. i , j >. = <. x , z >. <-> ( i = x /\ j = z ) )
67	63, 66	bitr2i 265	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i = x /\ j = z ) <-> <. x , z >. = <. i , j >. )
68	67	anbi1i 731	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( i = x /\ j = z ) /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) <-> ( <. x , z >. = <. i , j >. /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) )
69	61, 62, 68	3bitr3g 302	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( ( i = x /\ ( j = z /\ j e. J ) ) <-> ( <. x , z >. = <. i , j >. /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) ) )
70	69	exbidv 1850	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( E. i ( i = x /\ ( j = z /\ j e. J ) ) <-> E. i ( <. x , z >. = <. i , j >. /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) ) )
71	56, 70	syl5bbr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( ( j = z /\ j e. [_ x / i ]_ J ) <-> E. i ( <. x , z >. = <. i , j >. /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) ) )
72	71	exbidv 1850	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( E. j ( j = z /\ j e. [_ x / i ]_ J ) <-> E. j E. i ( <. x , z >. = <. i , j >. /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) ) )
73		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
74		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( j = z -> ( j e. [_ x / i ]_ J <-> z e. [_ x / i ]_ J ) )
75	73, 74	ceqsexv 3242	. . . . . . . . 9 |- ( E. j ( j = z /\ j e. [_ x / i ]_ J ) <-> z e. [_ x / i ]_ J )
76		excom 2042	. . . . . . . . 9 |- ( E. j E. i ( <. x , z >. = <. i , j >. /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) <-> E. i E. j ( <. x , z >. = <. i , j >. /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) )
77	72, 75, 76	3bitr3g 302	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( z e. [_ x / i ]_ J <-> E. i E. j ( <. x , z >. = <. i , j >. /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) ) )
78		elrelimasn 5489	. . . . . . . . . 10 |- ( Rel U_ i e. I ( { i } X. J ) -> ( z e. ( U_ i e. I ( { i } X. J ) " { x } ) <-> x U_ i e. I ( { i } X. J ) z ) )
79	4, 78	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( U_ i e. I ( { i } X. J ) " { x } ) <-> x U_ i e. I ( { i } X. J ) z )
80		df-br 4654	. . . . . . . . 9 |- ( x U_ i e. I ( { i } X. J ) z <-> <. x , z >. e. U_ i e. I ( { i } X. J ) )
81		eliunxp 5259	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , z >. e. U_ i e. I ( { i } X. J ) <-> E. i E. j ( <. x , z >. = <. i , j >. /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) )
82	79, 80, 81	3bitri 286	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( U_ i e. I ( { i } X. J ) " { x } ) <-> E. i E. j ( <. x , z >. = <. i , j >. /\ ( i e. I /\ j e. J ) ) )
83	77, 82	syl6bbr 278	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( z e. [_ x / i ]_ J <-> z e. ( U_ i e. I ( { i } X. J ) " { x } ) ) )
84	83	eqrdv 2620	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> [_ x / i ]_ J = ( U_ i e. I ( { i } X. J ) " { x } ) )
85	84	mpteq1d 4738	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( y e. [_ x / i ]_ J |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) y ) ) = ( y e. ( U_ i e. I ( { i } X. J ) " { x } ) |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) y ) ) )
86	50, 85	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( j e. [_ x / i ]_ J |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) = ( y e. ( U_ i e. I ( { i } X. J ) " { x } ) |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) y ) ) )
87	43, 86	breqtrd 4679	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> G dom DProd ( y e. ( U_ i e. I ( { i } X. J ) " { x } ) |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) y ) ) )
88		dprd2d2.3	. . . . 5 |- ( ph -> G dom DProd ( i e. I |-> ( G DProd ( j e. J |-> S ) ) ) )
89	26	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. I ) -> ( G DProd ( j e. J |-> ( i ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) ) = ( G DProd ( j e. J |-> S ) ) )
90	89	mpteq2dva 4744	. . . . 5 |- ( ph -> ( i e. I |-> ( G DProd ( j e. J |-> ( i ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) ) ) = ( i e. I |-> ( G DProd ( j e. J |-> S ) ) ) )
91	88, 90	breqtrrd 4681	. . . 4 |- ( ph -> G dom DProd ( i e. I |-> ( G DProd ( j e. J |-> ( i ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) ) ) )
92		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ x ( G DProd ( j e. J |-> ( i ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) )
93		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ i DProd
94	29, 93, 36	nfov 6676	. . . . . 6 |- F/_ i ( G DProd ( j e. [_ x / i ]_ J |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) )
95	40	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( i = x -> ( G DProd ( j e. J |-> ( i ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) ) = ( G DProd ( j e. [_ x / i ]_ J |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) ) )
96	92, 94, 95	cbvmpt 4749	. . . . 5 |- ( i e. I |-> ( G DProd ( j e. J |-> ( i ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) ) ) = ( x e. I |-> ( G DProd ( j e. [_ x / i ]_ J |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) ) )
97	86	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( G DProd ( j e. [_ x / i ]_ J |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) ) = ( G DProd ( y e. ( U_ i e. I ( { i } X. J ) " { x } ) |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) y ) ) ) )
98	97	mpteq2dva 4744	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( G DProd ( j e. [_ x / i ]_ J |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) ) ) = ( x e. I |-> ( G DProd ( y e. ( U_ i e. I ( { i } X. J ) " { x } ) |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) y ) ) ) ) )
99	96, 98	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ph -> ( i e. I |-> ( G DProd ( j e. J |-> ( i ( i e. I , j e. J |-> S ) j ) ) ) ) = ( x e. I |-> ( G DProd ( y e. ( U_ i e. I ( { i } X. J ) " { x } ) |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) y ) ) ) ) )
100	91, 99	breqtrd 4679	. . 3 |- ( ph -> G dom DProd ( x e. I |-> ( G DProd ( y e. ( U_ i e. I ( { i } X. J ) " { x } ) |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) y ) ) ) ) )
101		eqid 2622	. . 3 |- (mrCls ` (SubGrp ` G ) ) = (mrCls ` (SubGrp ` G ) )
102	5, 10, 19, 87, 100, 101	dprd2da 18441	. 2 |- ( ph -> G dom DProd ( i e. I , j e. J |-> S ) )
103	5, 10, 19, 87, 100, 101	dprd2db 18442	. . 3 |- ( ph -> ( G DProd ( i e. I , j e. J |-> S ) ) = ( G DProd ( x e. I |-> ( G DProd ( y e. ( U_ i e. I ( { i } X. J ) " { x } ) |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) y ) ) ) ) ) )
104	99, 90	eqtr3d 2658	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. I |-> ( G DProd ( y e. ( U_ i e. I ( { i } X. J ) " { x } ) |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) y ) ) ) ) = ( i e. I |-> ( G DProd ( j e. J |-> S ) ) ) )
105	104	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ph -> ( G DProd ( x e. I |-> ( G DProd ( y e. ( U_ i e. I ( { i } X. J ) " { x } ) |-> ( x ( i e. I , j e. J |-> S ) y ) ) ) ) ) = ( G DProd ( i e. I |-> ( G DProd ( j e. J |-> S ) ) ) ) )
106	103, 105	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> ( G DProd ( i e. I , j e. J |-> S ) ) = ( G DProd ( i e. I |-> ( G DProd ( j e. J |-> S ) ) ) ) )
107	102, 106	jca 554	1 |- ( ph -> ( G dom DProd ( i e. I , j e. J |-> S ) /\ ( G DProd ( i e. I , j e. J |-> S ) ) = ( G DProd ( i e. I |-> ( G DProd ( j e. J |-> S ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   [_csb 3533   C_ wss 3574   {csn 4177   <.cop 4183   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   "cima 5117   Rel wrel 5119   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652  mrClscmrc 16243  SubGrpcsubg 17588   DProd cdprd 18392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-cntz 17750  df-oppg 17776  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-dprd 18394

This theorem is referenced by:  ablfaclem2  18485